Символы Ландау имеют широкий спектр приложений в области математического анализа, функционального анализа и математической физики. Ниже мы рассмотрим применение этих символов к задачам математического анализа.

Ключевые слова : символы Ландау, большое «О», маленькое «О», предельный знак, интегральная сумма.

Большое «О» и малое «о», известные под общим названием символы Ландау, находят применение во многих областях математики. В частности, эти символы широко используются при доказательстве ряда теорем математического анализа, получении асимптотических оценок и решении примеров. Ниже приведены основные определения и теоремы об этих символах, а также решения ряда интересных и актуальных примеров.

Определение 1 . Если функция определена вокруг точки , которую не нужно вводить себе, если

соотношение выполнено, то функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) функцией вокруг точки .

Пример 1. Функция бесконечно малая (бесконечно большая) функция вокруг точки .

Следует отметить, что если функция бесконечно мала вокруг точки , то вокруг нее функция бесконечно велика.

Определение 2. Для функций и есть число , если

неравенство выполнено то достаточно мало вокруг точки , то функция называется ограниченной функцией вокруг точки и обозначается через

Здесь означает, что данное соотношение применяется только вокруг точки .

Лемма 1. Пусть функции и определены на множестве , а точка предельная точка множества . Если справедливо уравнение

есть предел, справедливо уравнение

Определение 3. Если функции и определены вокруг точек , которые не нужно вводить себе, то пусть . Если для бесконечно малой функции выполнено уравнение , то

Знак означает, что скорость функции стремиться к нулю больше, чем скорость функции стремиться к нулю.

Пример 2. Для функций справедливо равенство , .

При решении следующих примеров мы используем «предельный знак сравнения» ([1], 354-ст.) , который позволяет легко проверять сходящих несобственных интегралов и рядов.

Пример 3. При каких значениях параметра числовой ряд сходится?

Решение: Запишем общий член ряди следующим образом:

Известно, что подходит следующее распределение:

.

Подставляем это уравнение в приведенное выше выражение. В результате получаем:

Следовательно, «по предельному знаку сравнения» ([1]) общими членами которого являются и , либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. — гармонический ряд, сходится к . Это приводит данного ряда сходится при .

Пример 4. Если функция монотонна и ограничена на , то докажите, что справедливо следующее равенство:

Решение. Так как функция монотонна и ограничена в , то существует интеграл Римана от функции.

На сегменте получаем следующее деление :

Построим нижний и верхний интегральные суммы Дарбу согласно этому делению.

Для наглядности назовем функцию возрастающей на :

Здесь . Поскольку функция является монотонным возрастающим,

Итак, мы можем написать:

Мы знаем это,

Здесь произвольный интегральная сумма от функции , соответствующей делению . Так,

Это приводит к следующему отношению:

Пример 5. Проверьте сходимость несобственного интеграла:

Решение. Для функции точек считаются особыми точками. Запишем заданный интеграл в следующем виде:

Теперь рассмотрим сходимость каждого интеграла правой части уравнения:

1)

Используем «предельный знак сравнения»:

Если рассматривать функцию , то для нее подходит следующее уравнение:

Следовательно, и сходятся одновременно. Отсюда следует, что функция сходится при выполнении неравенства .

2)

Если взять функцию , то существует конечный предел. Согласно «предельный знак сравнения» несобственные интегралы от функций и на интервалы сходятся одновременно. Следовательно, когда выполняется соотношение интеграл сходится.

3) Непосредственно проверяется, что интеграл также сходится при выполнении неравенства .

Следовательно, интеграл сходится при параметрах удовлетворяющих условию

Пример 6.

Решение. Запишем данное выражение в следующем виде:

Согласно лемме 1 справедливо соотношение Подставляя это в приведенное выше уравнение,

Известно, что предел этой суммы равен точному интегралу от функции полученному из пересечения [0;1]. Так,

Литература:

1. Alimov Sh. O. Ashurov R. R. Matematik tahlil. (1-qism). Toshkent. «Kamolot-press», 2012.
2. Robert W., Heath Jr., Angel Lozano. Landau symbols. Published online by Cambridge University Press: 10 December 2018.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегральногo исчисления. — М: Наука, 1966.
4. Настушка Козакова. Символы Ландау и некоторые пространство, связанные с ними. https://pandia.ru/text/78/099/121981.php