Суммирование расходящихся рядов



Существует три подхода к определению понятия суммы ряда чисел [1]: в первом случае понятие суммы бесконечного числа членов считается бессмысленным. Сторонники второго подхода считали, что любая сумма может быть бесконечным множеством и что сумма может быть определена с помощью арифметических операций. При третьем подходе выделяются только те, которые могут быть включены в понятие суммы во всех числовых рядах, а остальные не исследуются. Этот подход, основанный на теории пределов, оказался очень эффективным. Этот подход все еще развивается сегодня в результате расширения класса множеств.

Рассмотрим задачу суммирования расходящихся рядов путем сведения к повторному ряду. Если сумма ряда определяется иначе, чем традиционным методом, ее принято называть обобщенной суммой ряда [2].

Как видите, ниже приводится краткое изложение.

называется двойным рядом. состоит из последовательности двойных действительных чисел.

В приложении математического анализа (1) двойной ряд часто рассматривается как повторяющийся ряд по внешнему виду:

или

В частности, можно заметить, что следующие повторяющиеся ряды со специальным видом эффективны при суммирования расходящихся рядов:

,

Расходящиеся знакопеременные ряды можно классифицировать по таким трем классом [2]:

1. Ряды с постоянным радиусом обвертывания:

;

Сумма такого ряда равна :

, , .

2. Ряды с ограниченным радиусом обвертывания: , , ;

3. Ряды с бесконечным радиусом обвертывания: , .

Ниже мы рассмотрим формулы суммирования расходящихся рядов с использованием специальных повторяющихся рядов, которые нужны на практике:

(1)

Доказательство:

Справа налево уравнения:

В частности, формула (1) доказана при и

, и в [2]:

, .

Задача 1. Рассчитайте сумму ниже:

Решение:

Согласно формуле (1):

Еще раз используем (1):

.

Как результат,

.

Приведем теперь примеры суммирования расходящихся рядов по следующим формулам, доказанным в [2]:

(2)

где -оператор разделения, .

– ряд сходится; может иметь обобщенную сумму.

(3)

Доказательство этого утверждения дается предположением в формуле (2).

Задача 2. Найдите сумму следующего ряда:

.

Решение :

Согласно формуле (3):

В этом случае результат не зависит от .

Задача 3. Найдите сумму следующего ряда:

.

Решение:

Согласно формуле (3):

.

Запишем правую и левую части уравнения следующим образом:

.

Подводить итоги, .

Задача 4. Найдите сумму следующего ряда:

.

Решение:

Согласно формуле (3):

.

Упрощая это выражение, приходим к равенству

На основе суммы, найденной в задаче 3 выше ( ):

, .

Литература:

1. Alimov Sh.O. Ashurov R. R. Matematik tahlil. (1-qism). Toshkent. “Kamolot-press”, 2012. 616-b.
2. Пономаренко А. Н. Метод суммирования расходящихся рядов путем сведения к повторному ряду//Молодой учёный.№ 12. 2013.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегральногo исчисления. — М: Наука, 1966.