Оценка параметров надежности при нормальном законе распределения отказов средствами Excel | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 5 февраля, печатный экземпляр отправим 9 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Информационные технологии

Опубликовано в Молодой учёный №2 (397) январь 2022 г.

Дата публикации: 10.01.2022

Статья просмотрена: 9 раз

Библиографическое описание:

Ковальчук, В. В. Оценка параметров надежности при нормальном законе распределения отказов средствами Excel / В. В. Ковальчук, М. С. Бурзун. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2022. — № 2 (397). — С. 12-18. — URL: https://moluch.ru/archive/397/87714/ (дата обращения: 27.01.2022).



В статье проведена оценка показателей надежности безотказной работы системы. На примере показан расчет основных показателей средствами Excel.

Ключевые слова: безотказная работа, доверительный интервал, испытания, нормальный закон распределения, число отказов.

Определение показателей надёжности необходимо для формулирования требования по надежности к проектируемым устройствам или системам. Показатель надежности — это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта [1].

Поскольку отказы и сбои элементов являются случайными событиями, то теория вероятностей и математическая статистика являются основным аппаратом, используемым при исследовании надежности, а сами характеристики надежности должны выбираться из числа показателей, принятых в теории вероятностей [2, с. 13].

Количественные характеристики надежности при нормальном законе распределения отказов могут быть определены из следующих выражений:

(1)

P(t)= (2)

λ( )= (3),

где нормированная и центрированная функция Лапласа.

Произведем расчет параметров надежности испытаний, проведенных в течение 100 часов на 100 деталях, 34 из которых вышли из строя.

Для построения статистического ряда время испытаний разбивают на интервалы (разряды) и подсчитывают частоту, интенсивность и вероятность отказов, используя выражения (1), (2) и (3). Определяют доверительные интервалы математического ожидания и среднеквадратичного отклонения при нормальном законе распределения отказов и заданном коэффициенте доверия [3, с. 60].

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1

Результаты расчета основных показателей испытаний

Параметр

Разряды

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

n*

5

3

5

2

2

3

3

3

5

3

Pн(t)

0,935

0,917

0,896

0,870

0,841

0,805

0,767

0,725

0,680

0,633

fн(t)

0,983

0,986

0,988

0,990

0,991

0,992

0,993

0,993

0,994

0,994

λн(t)

1,050

1,074

1,102

1,137

1,178

1,232

1,294

1,369

1,460

1,570

Qн(t)

0,064

0,082

0,103

0,129

0,158

0,194

0,232

0,274

0,319

0,366

0,014

0,002

0,026

0,020

0,011

0,005

0,002

0,014

0,009

0,026

λн

0,085065269

Листинг фрагмента программы расчета показателей при нормальном законе распределения:

'Вычислим 43 строку таблицы(45)=============================Рн(t)

СтрокаТаблицы = 45

'a=(t-Tср)/Сигма

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

a = Abs(Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) / Сигма

'b=Фо

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend

If a <= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 1).Value Then

ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 2).Value

GoTo далее

End If

If a >= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

GoTo далее

End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value = a Then

ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

GoTo далее3

End If

If a < Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And a > Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value - a < a - Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

Else

ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

End If

GoTo далее3

End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend

далее3:

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 0.5 + ф0

Next

'Вычислим 44 строку таблицы(46)=============================fн(t)

СтрокаТаблицы = 46

СтолбецТаблицы = 4

Pi = Application.WorksheetFunction.Pi

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 1 - 1 / (Сигма * Sqr(2 * Pi)) * Exp((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) ^ 2 / (2 * (Сигма ^ 2)))

Next

'Заполним 45 строку таблицы(47)=============================Лямбда н(t)

СтрокаТаблицы = 47

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(46, n).Value / Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(45, n).Value

Next

Для определения доверительного интервала для математического ожидания по таблице квантилей распределения Стьюдента находят квантиль вероятности. Используя выражения (4) и (5) проводят расчеты

(4)

(5)

'Заполним 30 строку таблицы(32)=============================Tср min

СтрокаТаблицы = 32

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

СтепеньСвободыПриНормРаспред = КоличествоСтолбцовТаблицы + 1 - 2

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Tcp - Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(31, 4).Value * Сигма / Sqr(СтепеньСвободыПриНормРаспред)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 31 строку таблицы(33)=============================Tср max

СтрокаТаблицы = 33

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Tcp + Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(31, 4).Value * Сигма / Sqr(СтепеньСвободыПриНормРаспред)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Тср, min =

79,29380755 ч.

Тср, max =

172,43129 ч.

Для определения доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения по таблице квантилей χ 2 – квадрат распределения определяют квантили для заданных вероятностей P 1 и P 2 .

(0,05) =

3,32511

(0,95) =

16,919

'Заполним 32 строку таблицы(34)=============================X1(0,05)

СтрокаОсновнойТаблицы = 34

СтрокаТаблКвантили = 4

ВходнаяСтрочнаяВеличина = СтепеньСвободыПриНормРаспред

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяСтрочнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(4, 1).Value Then

СтрокаТабл = 4

GoTo СледующийПоиск10

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

GoTo СледующийПоиск10

End If

СтрокаТаблКвантили = 4

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value = ВходнаяСтрочнаяВеличина Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск10

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value And ВходнаяСтрочнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value - ВходнаяСтрочнаяВеличина < ВходнаяСтрочнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

Else

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

End If

GoTo СледующийПоиск10

End If

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск10:

СтолбецТаблКвантили = 2

ВходнаяВертикальнаяВеличина = 0.05

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяВертикальнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, 2).Value Then

СтолбецТабл = 2

GoTo СледующийПоиск11

End If

If ВходнаяВертикальнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

GoTo СледующийПоиск11

End If

СледующийПоиск11:

СтолбецТаблКвантили = 11

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value = ВходнаяВертикальнаяВеличина Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск12

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value And ВходнаяВертикальнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value - ВходнаяВертикальнаяВеличина < ВходнаяВертикальнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

Else

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

End If

GoTo СледующийПоиск12

End If

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск12:

x1 = Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТабл, СтолбецТабл).Value

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4).Value = x1

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 33 строку таблицы(35)=============================X2(0,95)

СтрокаОсновнойТаблицы = 35

СтрокаТаблКвантили = 4

ВходнаяСтрочнаяВеличина = СтепеньСвободыПриНормРаспред

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяСтрочнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(4, 1).Value Then

СтрокаТабл = 4

GoTo СледующийПоиск13

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

GoTo СледующийПоиск13

End If

СтрокаТаблКвантили = 4

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value = ВходнаяСтрочнаяВеличина Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск13

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value And ВходнаяСтрочнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value - ВходнаяСтрочнаяВеличина < ВходнаяСтрочнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

Else

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

End If

GoTo СледующийПоиск13

End If

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск13:

СтолбецТаблКвантили = 2

ВходнаяВертикальнаяВеличина = 0.95

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяВертикальнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, 2).Value Then

СтолбецТабл = 2

GoTo СледующийПоиск14

End If

If ВходнаяВертикальнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

GoTo СледующийПоиск14

End If

СледующийПоиск14:

СтолбецТаблКвантили = 2

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value = ВходнаяВертикальнаяВеличина Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск15

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value And ВходнаяВертикальнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value - ВходнаяВертикальнаяВеличина < ВходнаяВертикальнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

Else

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

End If

GoTo СледующийПоиск15

End If

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск15:

x1 = Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТабл, СтолбецТабл).Value

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4).Value = x1

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Получим минимальное σ min и максимальное σ max значения среднеквадратического отклонения:

(6)

(7)

'Заполним 34 строку таблицы(36)=============================Сигма min

СтрокаТаблицы = 36

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Сигма * Sqr((СтепеньСвободыПриНормРаспред - 1) / Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(35, 4).Value)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 35 строку таблицы(37)=============================Сигма max

СтрокаТаблицы = 37

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

СтепеньСвободыПриНормРаспред = КоличествоСтолбцовТаблицы + 1 - 2

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Сигма * Sqr((СтепеньСвободыПриНормРаспред - 1) / Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(34, 4).Value)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

52,40646615

118,2140815

Число разрядов, на которые следует группировать статистический ряд, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и часто в нем обнаруживают незакономерные колебания), с другой стороны, оно не должен быть слишком малым (свойства распределения при этом описываются статистическим рядом слишком грубо).

Литература:

  1. ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения.
  2. Федотов, А. В. Основы теории надежности и технической диагностики: конспект лекций / А. В. Федотов, Н. Г. Скабкин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010 – 64 с.
  3. Коваленко, В. Н. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики : учеб. пособие / В. Н. Коваленко. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2013. – 87 с.
Основные термины (генерируются автоматически): Таблица функции, строка таблицы, доверительный интервал, Сигма, математическое ожидание, распределение отказов, среднеквадратичное отклонение, статистический ряд, таблица, теория вероятностей.


Задать вопрос