Изучение экспоненциальных зависимостей физических процессов на уроках математики | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 14 декабря, печатный экземпляр отправим 18 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №50 (392) декабрь 2021 г.

Дата публикации: 09.12.2021

Статья просмотрена: 1019 раз

Библиографическое описание:

Имашева, Ш. К. Изучение экспоненциальных зависимостей физических процессов на уроках математики / Ш. К. Имашева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 50 (392). — С. 526-528. — URL: https://moluch.ru/archive/392/86273/ (дата обращения: 03.12.2024).



В статье рассматриваются примеры из физики из различных разделов физики. Объединяющим фактором этих примеров является экспоненциальный характер математического описания физических процессов.

Ключевые слова: экспоненциальная зависимость, экспонента, число Е, скорость изменения физической величины, дифференциальное уравнение.

Одним из задач исследования прикладной математики является изучение физических процессов, в которых скорость изменения некоторой величины пропорциональна уже достигнутому значению самой этой величины .

Обозначим через y(t) значение рассматриваемой физической величины в момент времени t . Через y мы обозначим изменение величины у за малый промежуток t от t до t+t то есть

y = y(t+t)-y(t)

Скорость изменения величины у можно приближенно представить отношением . Если для величины y скорость ее изменения в момент времени t пропорциональна достигнутому значению y(t) этой величины, то мы приходим к соотношению

 ky,

где k коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом, так и отрицательным.

При t это соотношение можно писать в таком виде:

= ky

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. С ним школьники старших классов знакомы с математики. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y(t) = y(0) , (1)

где у(0) называется начальным условием, т. е. значение величины у в момент времени t=0 , е — основание натуральных логарифмов.

Функции в зависимости от некоторых величин, содержащие число «е», называют экспонентами. Формулу (1) в большинстве случаев пишут так:

y(t) = y(0) exp kt.

Экспоненциальные зависимости в физических явлениях

Пример 1 . Катер массы m движется по озеру со скоростью 0 . В момент t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости F = -r, найти скорость катера в зависимости от времени.

Анализ: После выключения двигателя катер движется только под действием силы сопротивления воды. Поэтому уравнение движения катера в скалярном виде:

r = ma -r = m или = -( )

Последнее выражение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Значит убывание скорости катера прямо пропорционально самой скорости катера.

Дифференциальное уравнение напишем в такой форме:

=-(

)dt

Интегрируя это выражение

=

получим ln =-( ) t

откуда

= 0

Пример 2. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t . Объем сосуда V , первоначальное давление p 0 . Процесс считать изотермическим и скорость откачки, не зависящей от давления и равной С .

Примечание: Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Анализ: За время dt объем откачки газа равен dV=Cdt

Поскольку, процесс изотермически, напишем:

pV=const

Или

d(PV) = VdP + PdV = 0

откуда

Следовательно,

или

Проинтегрировав

-

найдем уравнение давления газа в зависимости от времени:

p=p 0

Пример 3 . Найти закон радиоактивного распада как функцию времени t. В начальный момент (t=0) мы имели N 0 атомов радиоактивных атомов. Из эксперимента известно, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющихся атомов.

Анализ: Из условия задачи мы можем написать следующие уравнения:

Знак минус перед скоростью распада означает, что идет убыль численности не распавшихся атомов.

Поскольку t0, последнее выражение напишем в форме дифференциального уравнения:

Отсюда найдем закон радиоактивного распада:

N=N 0

Если принимается во внимание понятие периода полураспада Т, то этот закон примет вид

N=N 0

Пример 4. Известно, что при наличии разности температур между телом и окружающей средой теплоотдача тела за время t определяется формулой

Q k(T — T c )t

Q — количество отдаваемой теплоты тела к окружающей среде за время t; Т — температура тела, T c — температура окружающей среды, коэффициент k зависит от поверхности и природы тела.

Пусть тело нагрето до температуры Т 0 ; температуру окружающей среды считаем постоянной (Т с Т 0 ). Найти зависимость температуры Т тела от времени охлаждения t.

Анализ: При охлаждении тела количество отдаваемой теплоты выражается через Q=СT. Тогда мы можем написать следующее уравнение:

СT= — k(T — T c )t

или

-

.

Следовательно,

-

Знак минус выбран потому, что возрастанием времени t температура Т тела уменьшается.

Разделяя переменные, получим

= —

Отсюда

= — t +

Подставляя начальное условие T t =0 =T 0 , найдем С. C = T 0 -T C .

Окончательно закон охлаждения тела в условиях постоянства температуры окружающей среды имеет вид

T=T c + (T 0 -T C )

В условиях T C =0 получим

T=T 0

Пример 5. Установить формулу, характеризующую динамику цепной ядерной реакции в зависимости от времени, если известно следующие параметры данной реакции: скорость развития цепной реакции зависит от коэффициента k размножения нейтронов и от среднего времени  между двумя последовательными актами деления. Таким образом, коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость прироста нейтронов приблизительно равен .

Анализ: Прирост числа нейтронов за единицу времени характеризует следующее дифференциальное уравнение:

Интегрируя это уравнение, получим

N=N 0

Пример 6. Доказано, что параллельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменьшает свою интенсивность.

Если толщина слоя достаточно мала, то изменение интенсивности пучка пропорционально толщине слоя:

Ik 1 l

А количество поглощенных квантов (или рассеянных частиц) пропорционально интенсивности пучка:

I = — k 2 I

Коэффициенты k 1 и k 2 зависят от свойств поглощающей среды. Найти закон ослабления интенсивности излучения при прохождении через поглощающую среду.

Анализ: Объединяя обе формулы, приведенные в условии задачи, получим:

I — kIl

Отсюда:

I=I 0 .

Литература:

  1. Осятинский С. Д., Л. З. Румшиский. Экспонента // Квант. — 1972. — № 12. с.19–25.
  2. Слободецкий И. Ш., Асламазов Л. Г. Задачи но физике.- М.: Наука, 1980.—(Библиотечка «Квант», вып. 5). — 198 с.
Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, окружающая среда, момент времени, дифференциальное уравнение первого порядка, единица времени, коэффициент пропорциональности, начальное условие, последнее выражение, радиоактивный распад, Скорость откачки.


Ключевые слова

дифференциальное уравнение, экспоненциальная зависимость, экспонента, число Е, скорость изменения физической величины

Похожие статьи

Роль симметрии в теоретической физике

В статье авторы рассматривают симметрии в теоретической физике, показывают их роль и применение, а также их следствия при преобразованиях.

Вероятностный подход к доказательству классических теорем

В статье приводятся задачи теории вероятностей, в решении которых возникают классические константы π и e. Показана вероятностная интерпретация теоремы Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.

Геометрические приложения определенного интеграла в задачах о добавочной выгоде производителя и потребителя и при нахождении коэффициента Джини

В статье рассматриваются некоторые задачи экономики, при решении которых используется нахождение площади плоской фигуры.

Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных полях

В данной работе в явном виде найдены зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной механической энергии во внешних симметричных потенциальных полях. Также получены точные выражения для зависимостей периода от ...

Метод матрицы переноса в полупроводниках

В этой статье мы рассмотрим способ вычисления волновых функций в слоистых наноструктурах со ступенчатым потенциалом, называемый методом матриц переноса.

Экспериментальное подтверждение закона Малюса

В данной статье описывается метод экспериментальной проверки Закона Малюса. Линейно поляризованный свет проходит через поляризационный фильтр. Определяется интенсивность света как функция от углового положения поляризационного фильтра. Статья предназ...

Сравнение точности методов численного интегрирования на примере элементарных функций

В статье авторы проводят вычислительный эксперимент, посредством которого производится сравнение возможностей различных методов численного интегрирования на примере элементарной функции.

Электрон и дельта-функция Дирака

Статья посвящена рассмотрению некоторых свойств дельта-функции и теорию Дирака. А также приведены несколько примеров по применению этой функций к механическим физическим задачам.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой пространственной фигуры вращения максимальной площади поверхности при заданных ограничениях на ее ширину

Целью научного исследования является формализация задач о построении оптимальных выпуклых тел в форме задач оптимального управления и нелинейного программирования, исследование свойств полученных задач, разработка, реализация и сравнение численных ме...

Математическое моделирование физической модели автоколебания тока

В статье рассматриваются методы математического моделирования автоколебаний тока в электрических цепях с нелинейными элементами. Приводятся основные дифференциальные уравнения, описывающие динамику тока в контуре с индуктивностью, емкостью и нелинейн...

Похожие статьи

Роль симметрии в теоретической физике

В статье авторы рассматривают симметрии в теоретической физике, показывают их роль и применение, а также их следствия при преобразованиях.

Вероятностный подход к доказательству классических теорем

В статье приводятся задачи теории вероятностей, в решении которых возникают классические константы π и e. Показана вероятностная интерпретация теоремы Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.

Геометрические приложения определенного интеграла в задачах о добавочной выгоде производителя и потребителя и при нахождении коэффициента Джини

В статье рассматриваются некоторые задачи экономики, при решении которых используется нахождение площади плоской фигуры.

Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных полях

В данной работе в явном виде найдены зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной механической энергии во внешних симметричных потенциальных полях. Также получены точные выражения для зависимостей периода от ...

Метод матрицы переноса в полупроводниках

В этой статье мы рассмотрим способ вычисления волновых функций в слоистых наноструктурах со ступенчатым потенциалом, называемый методом матриц переноса.

Экспериментальное подтверждение закона Малюса

В данной статье описывается метод экспериментальной проверки Закона Малюса. Линейно поляризованный свет проходит через поляризационный фильтр. Определяется интенсивность света как функция от углового положения поляризационного фильтра. Статья предназ...

Сравнение точности методов численного интегрирования на примере элементарных функций

В статье авторы проводят вычислительный эксперимент, посредством которого производится сравнение возможностей различных методов численного интегрирования на примере элементарной функции.

Электрон и дельта-функция Дирака

Статья посвящена рассмотрению некоторых свойств дельта-функции и теорию Дирака. А также приведены несколько примеров по применению этой функций к механическим физическим задачам.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой пространственной фигуры вращения максимальной площади поверхности при заданных ограничениях на ее ширину

Целью научного исследования является формализация задач о построении оптимальных выпуклых тел в форме задач оптимального управления и нелинейного программирования, исследование свойств полученных задач, разработка, реализация и сравнение численных ме...

Математическое моделирование физической модели автоколебания тока

В статье рассматриваются методы математического моделирования автоколебаний тока в электрических цепях с нелинейными элементами. Приводятся основные дифференциальные уравнения, описывающие динамику тока в контуре с индуктивностью, емкостью и нелинейн...

Задать вопрос