Деформационный расчет симметричных систем из упругих нитей с учетом влияния начального натяжения и перепада температур | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 1 мая, печатный экземпляр отправим 5 мая.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Физика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (355) март 2021 г.

Дата публикации: 25.03.2021

Статья просмотрена: 19 раз

Библиографическое описание:

Порядин, А. И. Деформационный расчет симметричных систем из упругих нитей с учетом влияния начального натяжения и перепада температур / А. И. Порядин, И. А. Порядин. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 13 (355). — С. 8-16. — URL: https://moluch.ru/archive/355/79510/ (дата обращения: 19.04.2021).



В статье предложена и экспериментально апробирована методика определения провиса симметричных систем из упругих нитей от центральной нагрузки. Численным методом получена рабочая таблица, позволяющая наряду с провисом определить усилия в нити для проверки прочности подвесных систем по деформированному состоянию без применения сложного математического аппарата. Предложенная методика деформационного расчета позволяет учитывает влияние начального натяжения и перепада температур, что ведет к снижению риска аварий при эксплуатации подвесных (вантовых) систем.

Ключевые слова : деформационный расчет, провис, упругая нить, начальное натяжение, перепад температур.

Основные теоретические подходы сложились в первой половине XX века под влиянием массового строительства линий электропередач (ЛЭП). Большинство методик основано на аппроксимации уравнения цепной линии, описывающего деформированное состояние упругой нити от равномерных нагрузок. Соответствующие решения трансформированы в практические рекомендации по контролю провиса ЛЭП на стадии их монтажа.

Дальнейшее развитие этих методик нашло отражение в строительной отрасли, в частности при проектировании подвесных и вантовых конструкций. Основные усилия конструкторов были направлены на стабилизацию конструктивной формы от внешней нагрузки изменчивого характера, что, в свою очередь, породило множество различных конструктивных форм и соответствующих приближенных методик [1–3]. Стремление к стабилизации конструктивной формы отодвигало на второй план важность задачи определения провиса систем из упругих нитей (вантовых систем). В наиболее сложных случаях (мосты и большепролетные перекрытия на вантах, высотные мачты на оттяжках) деформационные расчеты выполняются на специализированных программных комплексах.

Таким образом сложилась ситуация, когда для достаточно широкого класса простых подвесных систем (канатных переправ, подвесок светофоров и контактных сетей над проезжей частью дорог, различного рода светильников над помещениями большой площади, спортивных тренажеров и т. п.) применяются указанные ранее приближенные решения, разработанные для стабильной конструктивной формы. Данный подход способен привести к значительным погрешностям определения деформированного состояния, возникновению непрогнозируемых усилий и, как следствие, к аварийным ситуациям. Зачастую обрыв троса приводит к человеческим жертвам [4]. Примечателен факт, что более 50 % аварийных ситуаций, по мнению авторов работы [5], происходят по причинам, не связанным с нарушением условий эксплуатации.

В связи с изложенным представляется целесообразным отдельно рассмотреть вопрос определения максимального провиса симметричных вантовых систем из упругих нитей, в которых величина сосредоточенной нагрузки превалирует над нагрузкой от собственного веса.

Теоретические положения. Рассмотрим нить из двух ( n=2 ) одинаковых ветвей l = 0,5∙L натянутую усилием N 0 между опорами А и В (рис.1) и затем нагруженную силой P .

Расчетная схема упругой нити

Рис.1. Расчетная схема упругой нити

Введем допущения: нить абсолютно невесомая и изготовлена из идеально упругого материала; изменение длины x = (l 1 — l) вследствие растяжения мало по сравнению с начальной длиной; площадь поперечного сечения нити S при натяжении не уменьшается.

Условие равновесия сил в точке приложения силы P :

(1)

В рамках принятых допущений приращение усилия ΔN можно найти по формуле (2)

взависимости от площади поперечного сечения нити S и модуля упругости материала E . Заменяя отношение l / l 1 косинусом угла φ, формулу (2) можно представить в следующем виде:

. (3)

Подставляя (3) в условие (1), после несложных алгебраических преобразований получим окончательное уравнение равновесия в виде:

(4)

При n=2 обе ветви размешены в одной вертикальной плоскости, т. е. принадлежат одной нити. Легко видеть, что уравнение (4) применимо и для пространственных ( n>2 ) симметричных систем из одинаково натянутых ветвей, см. рис.2.

Расчетная системы из упругих нитей при n = 3

Рис. 2. Расчетная системы из упругих нитей при n = 3

Решив уравнение (4) относительно φ , можно определить искомое значение провиса по деформированной схеме

h = l∙ tg φ (5)

и усилие N в нити с учетом влияния начального натяжения N 0

N = (6)

В реальных условиях начальное натяжение N 0 вант (при P = 0) под влиянием изменения температуры окружающей среды может существенно отличаться от величины предварительного натяжения N m , заданного при монтаже подвесной системы. С теоретической точки зрения учет влияния перепада температур сложностей не вызывает. При понижении температуры длина упругой нити укорачивается на величину

x = α∙l (t m — t) , (7)

где α — коэффициент линейного расширения материала нити (1/град.),

t, t m — конечная и начальная (монтажная) температура среды.

При неподвижно закрепленных концах из-за изменения длины, согласно закону Гука, в нити возникает дополнительное усилие N t

N t = x∙ES / l = α∙ES (t m — t). (8)

То есть для учета влияния перепада температуры значение начального натяжения N 0 для использования в уравнении (4) нужно предварительно вычислить в зависимости от монтажного усилия N m и температуры t m , зафиксированных на момент монтажа подвесной системы:

N 0 = N m + α∙ES (t m — t). (9)

Уравнение (4) представляет собой зависимость угла φ (в радианах) от четырех параметров φ= F (P, N 0 , E, S) . Для сокращения числа параметров воспользуемся методами теории подобия и размерностей. Как показано в [6, с.17], в соответствии с π-теоремой подобия в данном случае можно сократить число параметров до двух. Обозначим новые параметры:

— относительное удлинение нити от компоненты силы ;

— параметр относительного начального натяжения.

Подставив в уравнение (4) P =nES∙ε p , nN 0 = nES∙ε p 𝜂 , после преобразований получим зависимость угла φ = f (ε p , 𝜂) от двух параметров:

ε p = tg φ — sin φ ∙ (1 — ε p 𝜂). (10)

Заметим, что произведение ε p 𝜂 в правой части формулы представляет собой самостоятельную физическую величину ( ε n ), характеризующую относительное удлинение нити от начального натяжения: ε n = ε p 𝜂 = N 0 /(ES).

Для фиксированных значений деформаций от начального натяжения ε n величина ε p будет монотонно возрастать с увеличением угла φ от 0 до , поэтому для решения выбран алгоритм последовательных приближений методом бисекции. Зависимость тангенса угла φ от относительных параметров ε p и 𝜂 , полученная на основе компьютерных вычислений, показана на рис.3, а соответствующие численные значения приведены в табл.1.

Как видно из графиков на рис.3 зависимость тангенса угла φ от параметров ε p и 𝜂 имеет ярко выраженный нелинейных характер. Нелинейность в наибольшей степени проявляется при малых значениях параметра ε р , лежащих примерно в диапазоне от 0 до 0,004. Именно этот диапазон интересен для решения практических задач конструирования подвесных систем с превалирующим значением сосредоточенной полезной нагрузки по сравнению с собственным весом упругой нити.

Зависимость тангенса угла наклона нити от параметров εр и 𝜂

Рис. 3. Зависимость тангенса угла наклона нити от параметров ε р и 𝜂

Экспериментальная оценка . Измерения провиса проведены в условиях обычной общеобразовательной школы. Для испытаний выбраны следующие материалы: резиновый жгут диаметром 10 мм, состоящий из пучка тонких резинок в тканевой оплетке и стальная проволока диаметром 0,6 мм. В качестве груза применялись пластиковые бутыли номинальной емкостью 1,5 л — массой 43 г. и емкостью 4,0 л — массой 91 г., в которые доливался нужный объем воды. Плотность воды принята равной 1,0 кг/л, а ускорение свободного падения для перевода усилий в систему единиц СИ — 9,80665 м/с2. Значение модуля упругости для резинового жгута E = 1,835 МПа принято по результатам натурных измерений, а для стальной проволоки принято табличное значение E = 200 ГПа.

Испытание на провис упругой системы из резиновых жгутов проведены по Y -образной схеме , т. е. при n=3. Концы первого жгута закреплялись неподвижно. Один конец второго жгута зацеплялся за середину первого, а второй конец натягивался с помощью противовеса (пластиковая бутыль) таким образом, чтобы точка соединения жгутов совпала с заранее размеченным геометрическим центром системы (рис. 4). Таким образом создавалась система из 3-х равномерно натянутых упругих нитей, расположенных под углом 120 0 друг к другу. Величина начального натяжения определялась массой противовеса, который убирался после закрепления третьей ветви струбциной. Проведено две серии измерений: при начальном натяжении N 0 = 15,1 Н ( l = 640 мм), N 0 = 21,0 Н ( l = 670 мм). Результаты испытания и сравнение с теоретическими данными показаны на рис.5.

Испытание Y-образной упругой системы: а) общий вид; б) измерение провиса

Рис. 4. Испытание Y-образной упругой системы: а) общий вид; б) измерение провиса

Зависимость провиса h центра системы из 3-х резиновых жгутов от силы P

Рис. 5. Зависимость провиса h центра системы из 3-х резиновых жгутов от силы P

Воздействие перепада температур исследовалось при испытании стальной проволоки . Проведено 4 серии измерений. Две первых серии испытаний выполнены для проволоки длиной 18,68 м, натянутой монтажным усилием N m 40,13 Н. Вначале были сняты показания днем при температуре окружающей среды t m = +10 0 С, а затем, не меняя натяжения проволоки — ранним утром следующего дня при температуре t = -1 0 С.

Две следующие серии измерений сделаны для проволоки длиной 15,23 м, натянутой ранним утром усилием N m 10,70 Н. Замеры провиса сначала выполнены при температуре t m = -1 0 С, а затем — в полдень — при t = +9 0 С. Таким образом перепад температур в первом случае составил +11 0 С в первом случае, и -9 0 С — во втором. Общий вид (с неснятым противовесом) и измерение провиса показаны на рис.6. Графики зависимости стрелки провиса от величины центральной нагрузки P с учетом влияния перепада температур в сравнении с теоретическими данными приведены на рис. 7.

Испытание стальной проволоки: а) общий вид; б) зажим; в) измерение провиса

Рис. 6. Испытание стальной проволоки: а) общий вид; б) зажим; в) измерение провиса

Зависимость провиса h от силы P в условиях перепада температур

Рис. 7. Зависимость провиса h от силы P в условиях перепада температур

Как видно из графиков на рис. 5, 7 теоретические значения стрелки провиса вполне удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, что говорит о возможности применения на практике значений тангенса угла φ от относительных параметров ε p и 𝜂 , приведённых в табл.1.

Таблица 1

Таблица значений tg φ для расчета стрелы провиса

ε p ∙10 6

Значения tg φ ∙10 4 при 𝜂 , равном:

0

0,1

0,25

0,5

1

2

3

5

10

15

20

1

126

126

126

126

125

125

124

123

121

118

115

2

159

159

159

158

158

157

156

155

150

146

142

3

182

182

182

181

181

180

178

176

171

165

160

4

200

200

200

199

199

197

196

193

187

180

174

5

215

215

215

215

214

212

211

208

200

192

185

10

271

271

271

270

269

267

264

259

247

235

223

15

311

311

310

309

308

304

302

295

279

263

248

20

342

342

341

340

338

334

330

323

303

284

266

30

392

391

390

389

387

381

376

366

341

316

292

40

431

430

430

428

425

419

413

400

370

340

311

50

464

464

463

461

457

450

443

429

393

359

326

100

585

584

582

580

574

562

551

528

473

420

372

150

670

669

666

663

655

640

625

596

523

456

397

200

738

736

733

729

720

702

683

648

561

481

413

300

845

843

839

833

821

797

774

727

615

515

433

400

930

927

923

916

901

873

844

787

654

538

445

500

1003

999

994

986

969

936

902

837

683

554

454

1000

1265

1260

1252

1238

1212

1159

1106

1003

773

597

474

1500

1450

1443

1432

1415

1380

1310

1241

1108

820

616

482

2000

1597

1589

1576

1555

1512

1428

1345

1185

850

627

486

3000

1832

1821

1804

1776

1721

1610

1501

1295

888

639

491

4000

2020

2007

1986

1952

1884

1750

1619

1374

910

646

493

5000

2180

2164

2140

2101

2022

1866

1714

1434

925

650

495

10000

2765

2740

2701

2638

2511

2263

2027

1611

960

659

498

15000

3183

3150

3099

3015

2848

2523

2217

1702

974

662

499

20000

3522

3481

3419

3316

3112

2717

2353

1760

981

663

499

30000

4069

4014

3931

3794

3524

3006

2542

1830

989

665

500

40000

4515

4447

4346

4178

3846

3219

2670

1872

993

666

500

50000

4901

4821

4702

4504

4116

3388

2766

1900

995

666

500

100000

6376

6242

6042

5712

5069

3919

3030

1963

1000

667

500

Пример 1. Под куполом цирка смонтирована Y-образная система из 3-х стальных тросов диаметром d = 8 мм, расположенных под углом 120 0 друг к другу, см. рис.8. Тросы натянуты начальным усилием N 0 = 200 Н таким образом, что перекрывают здание цирка диаметром D = 50 м, и точка их взаимного соединения находится точно над центром арены. К этой точке подвешен канат акробата. Найти величину провиса h от акробата весом P = 700 Н. Модуль упругости тросов принять равным E = 140 ГПа, собственным весом тросов и подвешенного каната пренебречь.

Схема подвеса каната акробата

Рис. 8. Схема подвеса каната акробата

Решение. Вычисляем параметры натяжения:

По таблице 1 находим tg φ ≈ 0,400

Величина провиса = 1,0 (м).

Пример 2. Над рекой 7-го класса судоходности (вертикальный габарит для прохода судов не менее 7 метров) организована канатная переправа реверсного типа пролетом 240 м, см.рис.9. Стальной канат диаметром d = 32 мм при t m = 0 0 С натянут монтажным усилием N m = 320 кН таким образом, что расстояние от точки подвеса грузовой тележки до максимального уровня воды в реке составляет 16 м. Необходимо проверить запас провиса из условия непрерывного обеспечения габарита для прохода судов при t = +40 0 С, и запас прочности каната при t = -40 0 С, если предельная прочность каната на разрыв составляет [N] = 500 кН, а максимальная вес грузовой тележки (вместе с полезным грузом) P = 55 кН. Модуль упругости каната принять E = 140 ГПа, коэффициент температурного расширения α = 0,000012 1/гр.С. Собственным весом каната пренебречь (учтен в собственной массе грузовой тележки).

Схема канатной переправы

Рис. 9. Схема канатной переправы

Решение. Особенность данной схемы состоит в том, что растяжению подвержена весь трос длиной 2 ∙ 240 = 480 м, а провисает лишь нижний участок длиной 240 м. Поэтому принимаем длину ветви l = 240 / 2 = 120 м, а в качестве продольной жесткости ES при деформационном расчете будем принимать половину фактической величины ES = 140∙10 9 ∙ π∙d 2 /4 = 112600000 Н. Таким образом величина параметра ε р равна:

Максимальный провис возникает при положении грузовой тележки в середине пролета и t = + 40 0 С. Натяжение с учетом нагрева до t = +40 0 С:

N 0 = 320000 + 0,000012∙112600000∙(0–40) ≈ 266000 (Н).

Параметр начального натяжения:

При ε р = 488∙10– 6 и 𝜂= 9,67 из таблицы 1 находим tg φ ≈ 0,0690.

Тогда провис h = 120 ∙ 0,0690 = 8,28 (м).

Запас по габариту (16–7–8,28) = 0,72 (м) или 0,72/7∙100 % = 10,3 %.

Максимальное усилие в тросе будет при положении грузовой тележки в середине пролета и t = — 40 0 С. Натяжение с учетом остывания до t = -40 0 С:

N 0 = 320000 + 0,000012∙112600000∙(0+40) ≈ 374000 (Н).

Параметр начального натяжения:

При ε р = 488∙10– 6 и 𝜂= 13,6 из таблицы 1 находим tg φ ≈ 0,0588.

Провис h = 120 ∙ 0,0588 = 7,06 (м), а соответствующее усилие в тросе:

≈ 468000 (Н) ≈ 468 кН.

Запас по прочности троса: (500–468) /500 ∙ 100 % = 6,4 %.

Заключение. Применение методов теории подобия и размерностей позволило выявить два базовых параметра (ε р и 𝜂), характеризующих нелинейную связь провиса h предварительно натянутой симметричной системы из упругих нитей от центрально приложенной внешней нагрузки P . На основе численных расчетов сформирована расчетная таблица, позволяющая вычислять провис и максимальное усилие в нити с помощью обычного калькулятора. Немаловажным фактором при этом является возможность учета влияния перепада температур, который в условиях сурового климата России может достигать 80 0 С и более.

Литература:

  1. Кирсанов Н. М. Висячие и вантовые конструкции. — М.: Стройиздат, 1981. — 217 с.
  2. Рекомендации по проектированию висячих конструкций / утв. ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко 12 мая 1972 г. — URL: http://docs.cntd.ru/document/1200075325
  3. Приближенный расчет вантовых конструкций/ Строительно-информационный портал — 12 сентября 2020г. — URL: http://fccland.ru/prostranstvennye-konstrukcii/10825-priblizhennyy-raschet-vantovyh-konstrukciy.html.
  4. Статистика НС за 60 лет на канатных дорогах горнолыжных курортах мира / Проект Alp -2011г. — URL: http://alp.org.ua/?p=21730.
  5. Анализ аварийных ситуаций на канатных дорогах и повышение безопасности при эксплуатации канатных дорог / К. Л. Голубь, Л. Ю. Гузова, А. А. Григорьян [и др.] // Техника. Технологии. Инженерия. — 2018. — № 1 (7). — стр. 29–32. — URL: https://moluch.ru/th/8/archive/76/3014/.
  6. Архипов В. А., Коноваленко А. И. Практикум по теории подобия и анализу размерностей. -Томск: ТГУ, 2016. — 92 с.
Основные термины (генерируются автоматически): начальное натяжение, грузовая тележка, упругая нить, измерение провиса, нить, параметр, перепад температур, деформационный расчет, монтажное усилие, общий вид.


Ключевые слова

деформационный расчет, провис, упругая нить, начальное натяжение, перепад температур
Задать вопрос