Выражение дифференциального уравнения малых колебаний маятника-гасителя с помощью динамической теоремы Кориолиса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 31 октября, печатный экземпляр отправим 4 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №39 (329) сентябрь 2020 г.

Дата публикации: 25.09.2020

Статья просмотрена: 62 раза

Библиографическое описание:

Алесковская, А. Э. Выражение дифференциального уравнения малых колебаний маятника-гасителя с помощью динамической теоремы Кориолиса / А. Э. Алесковская. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 39 (329). — С. 12-14. — URL: https://moluch.ru/archive/329/73792/ (дата обращения: 20.10.2020).



Рассмотрена возможность определения гироскопических давлений на подшипники при использовании инерционных динамических гасителей колебаний маятникового типа.

Ключевые слова: инерционные динамические гасители колебаний маятникового типа, гироскопические давления на подшипники.

Рассматривается опыт использования инерционных динамических гасителей колебания при действии на объект, установленный на упругом фундаменте, двух возмущающих сил с различными частотами. Решение этой проблемы достигается путем использования двух инерционных динамических гасителей колебаний, если их настроить на резонанс с частотами возмущающих сил. При этом исследуются дифференциальные уравнения движения для системы с тремя степенями свободы.

Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Невесомые стержни центробежного регулятора длиной , на концах которых находятся маятники и массы , закреплены на вертикальной оси с помощью цилиндрического шарнира .

Расчётная схема центробежного регулятора представлена на рис. 1.

В результате возмущений регулятор может быть выведен из равновесного состояния и представлен самому себе. При отклонении стержня регулятора на малый угол от положения относительного равновесия он начинает совершать малые колебания около этого положения с угловой скоростью (рис.2). При этом будем считать, что — угловая скорость вращения регулятора вокруг вертикальной оси остаётся неизменной (регулятор не соединён с машиной). Массой стержней и трением пренебречь. Маятники и принять за материальные точки.

Расчётная схема центробежного регулятора

Рис. 1. Расчётная схема центробежного регулятора

Максимальные гироскопические давления на подшипники можно определить по формуле:

,

(1)

где — расстояние между подшипниками и .

Так как маятник вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси , то будет существовать только нормальная сила инерции, равная по модулю

.

(2)

Три силы , , , приложенные к точке можно рассматривать как находящиеся в равновесии. Составим векторное уравнение, выражающее принцип Даламбера для материальной точки

.

(3)

Спроектировав уравнение (3) на касательную к относительной траектории маятника

.

(4)

По отношению к подвижной системе отсчёта уравнение относительного движения материальной точки в векторной форме имеет вид:

,

(5)

где — ускорение точки по отношению к системе ; — сила тяжести точки; — реакция стержня , направленная вдоль стержня; — центробежная сила инерции, направленная от центра вращения по прямой линии , величина которой вычисляется по формуле

;

(6)

— сила инерции Кориолиса, причём

,

(7)

где — масса маятника ; — вектор относительной скорости маятника .

Эта сила согласно правилу Жуковского направлена перпендикулярно к плоскости в сторону противоположную положительному направлению оси , так как вектор расположен на вертикальной оси , а вектор относительной скорости лежит в этой плоскости.

Спроектируем векторное уравнение (5) на касательную (рис.1) к относительной траектории, имея в виду, что

; ; ;

; .

Получаем дифференциальное уравнение

.

(8)

После преобразований уравнения (8), учитывая, что имеем

.

(9)

Находим окончательно дифференциальное уравнение собственных малых колебаний маятника центробежного регулятора в относительном движении

.

(10)

Для нахождения угловой скорости , сначала перепишем уравнение (10) разделив переменные и учтя, что , а затем проведём замену переменных, для этого умножим обе части дифференциального уравнения на

.

(11)

Проинтегрируем

.

(12)

Откуда находим − угловую скорость собственного вращения маятника

.

(13)

Находим - момент инерции относительно собственной оси маятника (шара)

.

(14)

Итак, после подстановки (13) и (14) в формулу (1) находим максимальные гироскопические давления на подшипники при применении гасителя колебаний маятникового типа при прохождении стержнем с маятником положения относительного равновесия.

(15)

Литература:

  1. Комкин А. И. Вибрация. Воздействие, нормирование. Защита //Безопасность Жизнедеятельности. М: Изд. Новые Технологии. 2004..№ 5, приложение стр.47.
  2. Серов М. В., Аверьянова Г. М., Александрова С. Г. Опыт применения теории колебаний к практическим вопросам применения инерционных динамических гасителей колебаний. Известия МГТУ «МАМИ» № 1(15), 2013, т. 3, с 118–124.
Основные термины (генерируются автоматически): вертикальная ось, угловая скорость, центробежный регулятор, динамический гаситель колебаний, дифференциальное уравнение, маятниковый тип, векторное уравнение, относительное движение, относительное равновесие, расчетная схема.


Ключевые слова

инерционные динамические гасители колебаний маятникового типа, гироскопические давления на подшипники
Задать вопрос