Построение локально оптимальных систем с использованием проекционного метода | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 31 октября, печатный экземпляр отправим 4 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №38 (328) сентябрь 2020 г.

Дата публикации: 21.09.2020

Статья просмотрена: 1 раз

Библиографическое описание:

Балашенко, Н. С. Построение локально оптимальных систем с использованием проекционного метода / Н. С. Балашенко. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 38 (328). — С. 9-12. — URL: https://moluch.ru/archive/328/73648/ (дата обращения: 22.10.2020).



В данной работе рассматривается применение проекционных операторов при разрешении задачи синтеза локально оптимальных управлений объектом, структуру которого можно охарактеризовать наличием нелинейности. В основе рассматриваемой методики лежат проекторы, позволяющие отобразить рассматриваемую задачу синтеза на линейное многообразие и упростить ее разрешение.

Ключевые слова: задача Коши, локально оптимальное управление, нелинейность, проекционный оператор, функция оптимальности.

Пусть математическая модель объекта управления определена на основе нелинейных разностных уравнений с гладкой правой частью вида (1):

(1)

где — векторы исходных значений координат состояний, управлений, возмущений и выходных координат. Операторы определяют правые части уравнений системы (1). Свойства данных систем подробно изложены в работе [1].

При осуществлении синтеза оптимальных управлений для объекта, описываемого уравнением (1), необходимо использовать кусочно-линейные уравнения для учета типовых нелинейностей, подробно описываемые в работе [3]. Тогда объект управления типа (1) можно описать в виде задачи Коши для кусочно-линейных разностных уравнений согласно формуле (2):

(2)

где , , , — векторы отклонений состояний, управлений, возмущений и выходных координат от стационарных состояний , , , . — кусочно-линейные операторы класса , . Матрицы разностных уравнений объекта управления:

(3)

соответствуют матрицам Якоби в точках , , , .

Стоит отметить, что локально оптимальные ограниченные (ЛОУ) управления с обратной связью определяются равенством (4):

(4)

где — матрица обратной связи. Далее будут представлены базовые задачи, разрешение которых позволит вычислить управления .

На основе применения проекционных операторов ЛОУ можно представить управления в виде оптимальной выпуклой комбинации двух экстремальных граничных решений и , описываемой равенством (5):

(5)

где — так называемая «фильтрующая матрица», позволяющая выделить из множества расширенных векторов векторы управлений , а функция оптимальности подразумевает минимизацию функционала , определяемого с использованием евклидовой нормы, и определена соотношением (6):

(6)

где

,

.

Таким образом, на основе уравнений (5), (6) можно сформировать векторы управлений с обратной связью по состоянию , которые позволяют минимизировать норму векторов отклонений прогнозов управлений от программных значений .

Далее требуется задать «множества моделей», которые позволяют учесть нелинейности уравнений объекта типа (2) по координатам состояний или выхода и имеющие вид (7):

(7)

«Множества ограничений» — множества неравенств, ограничивающих расширенные векторы по координатам состояний или управлений . Для статических законов они имеют вид (8):

(8)

где — расширенный вектор «выходов-управлений», и — «точки линеаризации» для уравнений объекта, — постоянные граничные параметры.

Таким образом, базовые задачи позволяют оптимальные управления, позволяющие минимизировать функционал качества, определяемый евклидовой нормой отклонений вектора от значений , типа (9):

(9)

для статического закона c соответствующими множествами «моделей» (7) и «ограничений» (8), имеют вид (10):

(10)

где управления с помощью матрицы определяются из решений счетного числа задач конечномерной оптимизации: вычислить числовые векторы:

(11)

Задачи класса (11) можно разрешить с использованием проекционных операторов конечномерной минимизации. Следующим шагом является аппроксимация задач типа (10). Эллипсоиды ограничений аппроксимируют параллелепипед, причем область ограничений для векторов будет описываться в соответствии с уравнением (12):

(12)

Центр и полуоси эллипсоидов определяются согласно соотношениям (13):

(13)

Для случая, когда матрицы , замена переменных в (12) определяет новые переменные в соответствии с соотношением (14):

(14)

причем эллипсоид преобразуется в шар.

С учетом этого соотношения для определения статических ЛОУ потребуется разрешить базовые задачи вида (15):

(15)

Таким образом, на основе уравнений (15) можно сформулировать разностные операторы, характеризующие замкнутые системы, согласно соотношениям (16):

(16)

где — числовой параметр допустимости. Граничные условия для данной задачи могут быть представлены следующим образом:

(17)

Разностные операторы систем локально оптимального управления на основе (1), (3), (16) и (17) определяют задачу Коши:

(18)

с зависящей от координат состояния «функцией оптимальности»

где является числовым параметром, а именно точкой безусловного минимума на прямой, проходящей через точки и , которые определяются уравнением (19):

(19)

где — проекционный оператор на линейное подпространство , — матрица, определяющие проекцию на линейное многообразие , — коэффициенты оптимальности. Стоит отметить, что операторы и должны обладать следующими свойствами, доказательство которых приведено в [2] и [3]:

(20)

Данный проектор позволяет вычислить функцию оптимальности как проекцию точки безусловного минимума нормы на отрезок прямой, содержащий граничные элементы , согласно уравнению (18).

Таким образом, были построены математические модели замкнутых локально оптимальных систем, описываемые уравнениями (17) и (18). Успешный синтез системы, в свою очередь, приводит к задаче осуществления анализа устойчивости синтезированной системы. Провести данный анализ можно, например, с использованием метода сжимающих отображений, что представлено в работах [3], [4].

Литература:

1. Козлов В. Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2017. — 177 с.

2. Козлов В. Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем. — СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2018. — 190 с.

3. Козлов В. Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики. — СПб: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. — 165 с.

4. Козлов В. Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учебное пособие / В. Н. Козлов. — М: Проспект, 2014. — 173 c.

Основные термины (генерируются автоматически): управление, обратная связь, уравнение, функция оптимальности, вектор управлений, координата состояний, линейное многообразие, оптимальное управление, основа уравнений, проекционный оператор.


Ключевые слова

нелинейность, задача Коши, локально оптимальное управление, проекционный оператор, функция оптимальности
Задать вопрос