(B,C)-Резольвента фредгольмова оператора с двумерным ядром | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 3 октября, печатный экземпляр отправим 7 октября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №31 (321) июль 2020 г.

Дата публикации: 30.07.2020

Статья просмотрена: 8 раз

Библиографическое описание:

Усков, В. И. (B,C)-Резольвента фредгольмова оператора с двумерным ядром / В. И. Усков. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 31 (321). — С. 4-7. — URL: https://moluch.ru/archive/321/72927/ (дата обращения: 19.09.2020).



Для линейного фредгольмова оператора с нулевым индексом в частном случае двумерного ядра получена формула его (B,C)-резольвенты.

Ключевые слова: линейные операторы, фредгольмов оператор, банахово пространство, резольвента.

  1. Необходимые сведения

Пусть ‒ линейный фредгольмов оператор с нулевым индексом (далее, Ф-оператор), действующий из банахова пространства в банахово пространство . Операторы , линейные, действующие из в . Формулировка свойства, вполне определяющего Ф-оператор, приведена в [1].

Определение. Оператор , определяемый формулой

где — некоторые числа, назовем ( B , C )- резольвентой оператора .

Далее, для краткости, ( B , C )-резольвенту будем называть просто резольвентой.

Вводится проектор на , полуобратный оператор

. Рассматривается случай . Разложим элемент ядра по базису и элемент из по базису . Пространство ортонормируется введением скалярного произведения так, что . Тогда справедлива следующая

Лемма 1 [2] . Уравнение

равносильно системе

Пусть некоторые линейные операторы. Вводится обозначение: — сумма по всевозможным перестановкам из элементов и элементов . Отметим, что количество таких перестановок равно биномиальному коэффициенту . Будем полагать . Имеет место следующая

Лемма 2 [3]. Справедлив следующий аналог бинома Ньютона:

(1)

Замечание 1. Вчастности, если коммутативны по умножению, то формула (1) превращается в следующую:

Лемма 3 [4] . Пусть — линейные ограниченные операторы и таковы, что

Тогда оператор обратим и

Доказательство. Действительно, как операторная сумма бесконечной геометрической прогрессии, в силу леммы 2, имеем:

Следующая лемма является обобщением формулы дифференцирования определитель-функции , полученной в [5].

Лемма 4. Пусть

— определитель-функция, где — некоторые достаточно гладкие функции по совокупности переменных функция. Справедлива следующая формула дифференцирования:

Цель работы: получить аналитическое выражение для . Результаты работы могут применяться для аналитического исследования различных задач, связанных с применением свойства фредгольмовости некоторого линейного оператора.

  1. Вывод формулы ( B , C )-резольвенты

Рассмотрим уравнение

В силу леммы 1 оно равносильно системе

(2)

(3)

где , надлежит вычислить.

Наложим следующие

Условие 1. Операторы , , , ограничены.

Условие 2. Числа , достаточно малые, отличные по модулю от нуля, таковы, что

Тогда существует оператор

и равенство (2) можно обратить:

(4)

Подставив (4) в (3), получим систему для вычисления , :

в обозначениях

Далее, по формулам Крамера, получим решение системы

(5)

в обозначениях

Тогда, подставив (5) в (4), получим искомую формулу для резольвенты :

(6)

Замечание 2. Всилу условий 1,2 и леммы 3 имеем:

В силу условия 1 и замечания 2 выполнено при , по норме ограниченных операторов. Следовательно, особенности резольвенты (6) содержатся в функции . Для более удобного исследования преобразуем ее в виде скалярного многочлена по степеням переменных .

Разложим ее в ряд Маклорена [6] в окрестности точки , воспользовавшись леммой 4. Имеем:

(7)

в обозначении

Тем самым, получен следующий результат.

Теорема. Пусть выполнены условия 1,2. Тогда (B,C)-резольвента линейного Ф-оператора сдвумерным ядром определяется формулами (6), (7).

Литература:

  1. Усков В. И., Пантелеева А. Г. Исследование задачи Коши для некоторого возмущенного алгебро-дифференциального уравнения первого порядка на явление погранслоя // Молодой ученый. ‒ 2020. ‒ № 25 (315). ‒ С. 84‒87.
  2. Uskov V. Regularization of an algebro-differential first-order equation with a Fredholm operator in the derivative // Norwegian Journal of development of the International Science. — 2020. — No 38. — PP. 21‒22.
  3. Усков В. И. Решение задач для уравнений соболевского типа методом каскадной декомпозиции // Дисс… канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 2019. — 137 с.
  4. Ряд Неймана. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Неймана (дата обращения: 26.07.2020).
  5. Усков В. И., Анжаурова Т. М. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка // Молодой ученый. — 2019. — № 42 (280). — C. 1–6.
  6. Ряд Тейлора. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#Связанные_определения (дата обращения: 26.07.2020).
Основные термины (генерируются автоматически): оператор, банахово пространство, лемма, нулевой индекс, резольвента, сила леммы, формула.


Ключевые слова

резольвента, фредгольмов оператор, линейные операторы, банахово пространство

Похожие статьи

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

Обобщенная резольвента — симметрического оператора допускает представление вида , где обобщенная спектральная функция оператора .

. При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей...

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Лемма 2. Если спектральная матрица для самосопряженного оператора и есть собственное значение кратности , то .

2. Как известно, каждой спектральной функции минимального оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента , определенная формулой.

Отображения, сохраняющие нулевые произведения

При изучении алгебр линейных операторов отображения между ними играют важную роль. Отображения, такие как изоморфизм, гомоморфизм, дифференцирование и автоморфизм различных алгебр операторов, определённых в гильбертовых пространствах...

Условия существования собственных значений одной операторной...

. Следующая лемма установит связь между собственными значениями оператора и нулями функции . Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

В силу леммы 1 это означает, что . Так как для любого имеет место соотношение.

Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых...

Введение. Хорошо известно, что интегральные операторы с ядрами Пуассона и Коши проектируют классы Гельдера на единичной окружности на соответствующие классы аналитических функций ([1], [2]) На этом основаны многие вопросы математической физики...

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора

Лемма. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора. Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем...

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Теорема 1. При каждом фиксированном резольвента оператора действует по формуле (1). При доказательстве теоремы 1 используются элементы функционального анализа.

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Доказательство вытекает последовательным применением леммы. Из леммы вытекает что, для малости остаточного члена, необходимо хорошая гладкость, как самой интерполируемой функции, так и интерполяционной формулы.

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

Теорема 1. Оператор имеет резонанс с нулевой энергией тогда и только тогда, когда и при некотором .

Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор имеет резонанс с нулевой энергией, тогда решение уравнения равно (с точностью до константы) функции .

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Согласно известной теореме М. А. Наймарка, для любой спектральной функции оператора существует в некотором гильбертовом пространстве такое самосопряженное расширение оператора , что ортогональная спектральная функция оператора связана с формулой.

Похожие статьи

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

Обобщенная резольвента — симметрического оператора допускает представление вида , где обобщенная спектральная функция оператора .

. При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей...

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Лемма 2. Если спектральная матрица для самосопряженного оператора и есть собственное значение кратности , то .

2. Как известно, каждой спектральной функции минимального оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента , определенная формулой.

Отображения, сохраняющие нулевые произведения

При изучении алгебр линейных операторов отображения между ними играют важную роль. Отображения, такие как изоморфизм, гомоморфизм, дифференцирование и автоморфизм различных алгебр операторов, определённых в гильбертовых пространствах...

Условия существования собственных значений одной операторной...

. Следующая лемма установит связь между собственными значениями оператора и нулями функции . Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

В силу леммы 1 это означает, что . Так как для любого имеет место соотношение.

Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых...

Введение. Хорошо известно, что интегральные операторы с ядрами Пуассона и Коши проектируют классы Гельдера на единичной окружности на соответствующие классы аналитических функций ([1], [2]) На этом основаны многие вопросы математической физики...

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора

Лемма. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора. Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем...

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Теорема 1. При каждом фиксированном резольвента оператора действует по формуле (1). При доказательстве теоремы 1 используются элементы функционального анализа.

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Доказательство вытекает последовательным применением леммы. Из леммы вытекает что, для малости остаточного члена, необходимо хорошая гладкость, как самой интерполируемой функции, так и интерполяционной формулы.

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

Теорема 1. Оператор имеет резонанс с нулевой энергией тогда и только тогда, когда и при некотором .

Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор имеет резонанс с нулевой энергией, тогда решение уравнения равно (с точностью до константы) функции .

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Согласно известной теореме М. А. Наймарка, для любой спектральной функции оператора существует в некотором гильбертовом пространстве такое самосопряженное расширение оператора , что ортогональная спектральная функция оператора связана с формулой.

Задать вопрос