Биангулярная система координат | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 13 марта, печатный экземпляр отправим 17 марта.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №30 (320) июль 2020 г.

Дата публикации: 24.07.2020

Статья просмотрена: 28 раз

Библиографическое описание:

Дмитриевская, Д. И. Биангулярная система координат / Д. И. Дмитриевская. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 30 (320). — С. 17-20. — URL: https://moluch.ru/archive/320/72803/ (дата обращения: 02.03.2021).



В данной статье исследуется биангулярная система координат, а также изучается её связь с другими координатами, а также рассматриваются примечания к данной системе координат. При написании работы были использованы методы математического анализа, аналитической геометрии, векторного и тензорного анализа.

Ключевые слова: биангулярные, система координат, методы, связи, отношения, функции, углы.

This article explores the biangular coordinate system, as well as examines its relationship with other coordinates, and also discusses the notes to this coordinate system. When writing the work, the methods of mathematical analysis, analytical geometry, vector and tensor analysis were used.

Keywords: biangular, coordinate system, methods, connections, relationships, functions, angles.

Системы координат — это методы описания местоположения точек в пространстве. Двумя самыми популярными системами в двух измерениях являются декартовы (или прямоугольные) координаты и полярные координаты. Первая описывает координату, используя две точки (x и y), а последняя полагается на одну точку и один угол (r и θ). Естественным преимуществом другой системы является то, что каждое местоположение (точка P) определяется с использованием двух углов, и . Эта система представляет собой биангулярную систему координат (рис. 1) [1].

Биангулярные координаты.

Рис. 1. Биангулярные координаты.

Рассмотрю две точки и в плоскости . Назову эти точки полюсами и ось проведенную через и — полярной осью. означает биангулярные координаты точки , образованной через пересечение двух лучей в точке , один выходит из точки под углом (измеряется против часовой стрелки) от полярной оси , а другой луч — от точки под углом (измеряется по часовой стрелке) от полярной оси [2].

Попробуйте сами, держа руки вертикально вверх перед собой и позволяя локтям быть полюсами (рис. 2). Держа локти на месте, двигайте предплечьями в плоскости параллельно к фронтальной части тела. Ваши предплечья представляют собой лучи от полюсов, каждые из которых создают угол, один из точки и один из точки , и пересечение этих лучей является биангулярной координатой или точкой , описываемой этими углами — левая рука образует угол, , с горизонталью от точки , а правая рука образует угол, , с горизонталью от точки .

Держите свои предплечья горизонтально, т. е. и (рис. 2), а затем увеличивайте углы в одном темпе. Какая кривая описывается пересечениями ваших рук? [3]

Движения руками как биангулярные связи .

Рис. 2. Движения руками как биангулярные связи .

Затем начните с горизонтально расположенного левого предплечья, , а правое предплечье вертикально, (рис. 3). Уменьшайте угол с той же скоростью, что и увеличиваете . Какая кривая описывается пересечением предплечий в этот раз? Вы «чувствуете» или «видите» ?

Движения руками как биангулярные связи

Рис. 3. Движения руками как биангулярные связи

Изучение биангулярных координат имеет интересную историю, предлагает изучающим ее богатую атмосферу, в которой изучаются тригонометрия, геометрия и функции, а также позволяет задать вопросы «что если» и обнаруживать закономерности, отношения и связи, а также приводит к их пониманию.

Примечание к вычислениям в биангулярной системе. Для начала нужно преобразовать биангулярные координаты в прямоугольные координаты. Рисунок (4) демонстрирует, как найти прямоугольные координаты точки : — длина отрезка , — длина отрезка , а — длина линейного сегмента . Точка находится на пересечении лучей выходящих из и .

Определение прямоугольных координат точки P, заданных биангулярными координатами

Рис. 4. Определение прямоугольных координат точки P, заданных биангулярными координатами

Если у меня есть отношения между и и скажем или , такую функцию или отношение называют биангалярным соотношением, и полученный график всех точек P определяется с помощью построения графика биангулярной связи [4].

При изучении биангулярных координат и биангулярных связей в качестве вводного действия остается определение прямоугольных координат . Обычно эта проблема решается так. Опускается перпендикуляр от P до точки Q на полярной оси AB. В левом треугольнике , , и в правом треугольнике : . Теперь, решая эти уравнения для и , а затем упрощая и используя тригонометрическое тождество для , получаем прямоугольное представление для точки :

Скажем, для построения конкретной биангулярной связи или , мы используем параметрическую сюжетную процедуру для биангулярной функции или неявное построение графика для биангулярной связи, которое не является функцией.

Вывод. Биангулярные координаты изящно описывают некоторые кривые, представления которых неуклюжи в других системах. Однако ценность их исследования заключается не столько в том, что эта система может выполнить, сколько в том, что она может рассказать нам о формах, функциях и системах координат в целом. Исследование биангулярных координат захватывает дух и дает радость математического открытия и изучения, поскольку эта система приятна и свежа в использовании.

Литература:

  1. Baeumler H. W. Биангулярные координаты / H. W. Baeumler, M. A. Thesis // University of Buffalo, 1950.
  2. Biggin T. О биангулярных координатах и расширении системы в трехмерном пространстве // Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 25(1891) 237–258.
  3. Carnot L. N. M. Gґeomґetrie de Position / L. N. M. Carnot, J. B. M. Dupart // Paris, 1803.
  4. Nelson D. Bipolar coordinates and plotters // PRIMUS, 4(1994) 77–83.
  5. Walton W. О биангулярных координатах // Q. J. of Pure and App. Math . , 9 (1868) 47–57.
Основные термины (генерируются автоматически): координата, система координат, полярная ось, угол, связь, движение руками, длина отрезка, система, функция, часова стрелка.


Похожие статьи

Построение графиков функций в полярных и декартовых...

Таким образом, имеем две системы координат: (X, Y), которую назовем системой математических координат (в литературе чаще

График строится в виде отрезков прямых, проведенных через точки (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1). Пример 1. Построение графиков функций в...

Размножение объектов массивом в системе моделирования...

Здесь можно ввести численные значения координат или, нажав «Указать центр массива», указать точку на экране.

Отрицательное значение задает отсчет по часовой стрелке.

Угол места ИРИ отсчитывается вниз по оси , а азимут измеряется от оси против часовой стрелки в...

Методология моделирования функционирования многоэлементных...

Неподвижная (земная) система координат (U, V) используется для определения траектории движения ММ (рис. 1).

Текущее значение Q — курсового угла, отсчитывается от оси U по часовой стрелке. Координаты мобильной машины в неподвижной системе координат...

Алгоритмы обработки информации в системе технического зрения...

Установив соответствие между координатами сцены и чувствительной поверхностью датчика, удобно характеризовать положение объекта

При вычислении этих признаков предварительно должны быть найдены координаты угловых точек контура, что является отдельным этапом...

Расчет собственных колебаний вант методом явного...

Также произведен расчет системы с учётом нелинейности в растягивающих усилиях и отмечено, что данный факт значительно влияет на конечные

Разделим ванту на равных частей длиной , тем самым получаем узлов в нашей системе.

Качурин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками.

Исследование системы векторного управления...

Раз обе системы координат неподвижны относительно друг друга, cosγ и sinγ представляют собой числовые значения соответствующих тригонометрических функций. Перевод составляющих вектора тока статора из системы координат (u — v) в систему координат...

Новые алгоритмы для многозвенных рук роботов

Рука робота состоит из п отрезков прямых, т. е. звеньев произвольной конечной длины каждое

Рука имеет нормальную форму, если каждое соединение находится как можно ближе к С

Во время каждого движения одновременно перемещаются не более четырех звеньев.

Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...

Система координат ENU — система координат, начало которой связано с центром масс объекта, а оси направлены на север, вертикально вверх и на восток. То есть эта система координат совпадает с нормальной системой координат, связанной с объектом (NORM)...

Моделирование обработки сложной поверхности детали в составе...

Ось системы координат РИ расположена параллельно оси подвижной системы координат заготовки.

Найти связь между системами координат РИ и винтовой поверхности можно с помощью матричных равенств соответственно для случаев обработки правой и левой канавок

Численное моделирование и исследование переходных процессов...

В декартовой системе координат (х,у), связанной с телом, направление вектора скорости совпадает с осью Х, которая нормальна к поверхности преграды. При решении задачи удобно обратить движение и считать, что деформируемое тело до удара находиться в состоянии...

Похожие статьи

Построение графиков функций в полярных и декартовых...

Таким образом, имеем две системы координат: (X, Y), которую назовем системой математических координат (в литературе чаще

График строится в виде отрезков прямых, проведенных через точки (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1). Пример 1. Построение графиков функций в...

Размножение объектов массивом в системе моделирования...

Здесь можно ввести численные значения координат или, нажав «Указать центр массива», указать точку на экране.

Отрицательное значение задает отсчет по часовой стрелке.

Угол места ИРИ отсчитывается вниз по оси , а азимут измеряется от оси против часовой стрелки в...

Методология моделирования функционирования многоэлементных...

Неподвижная (земная) система координат (U, V) используется для определения траектории движения ММ (рис. 1).

Текущее значение Q — курсового угла, отсчитывается от оси U по часовой стрелке. Координаты мобильной машины в неподвижной системе координат...

Алгоритмы обработки информации в системе технического зрения...

Установив соответствие между координатами сцены и чувствительной поверхностью датчика, удобно характеризовать положение объекта

При вычислении этих признаков предварительно должны быть найдены координаты угловых точек контура, что является отдельным этапом...

Расчет собственных колебаний вант методом явного...

Также произведен расчет системы с учётом нелинейности в растягивающих усилиях и отмечено, что данный факт значительно влияет на конечные

Разделим ванту на равных частей длиной , тем самым получаем узлов в нашей системе.

Качурин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками.

Исследование системы векторного управления...

Раз обе системы координат неподвижны относительно друг друга, cosγ и sinγ представляют собой числовые значения соответствующих тригонометрических функций. Перевод составляющих вектора тока статора из системы координат (u — v) в систему координат...

Новые алгоритмы для многозвенных рук роботов

Рука робота состоит из п отрезков прямых, т. е. звеньев произвольной конечной длины каждое

Рука имеет нормальную форму, если каждое соединение находится как можно ближе к С

Во время каждого движения одновременно перемещаются не более четырех звеньев.

Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...

Система координат ENU — система координат, начало которой связано с центром масс объекта, а оси направлены на север, вертикально вверх и на восток. То есть эта система координат совпадает с нормальной системой координат, связанной с объектом (NORM)...

Моделирование обработки сложной поверхности детали в составе...

Ось системы координат РИ расположена параллельно оси подвижной системы координат заготовки.

Найти связь между системами координат РИ и винтовой поверхности можно с помощью матричных равенств соответственно для случаев обработки правой и левой канавок

Численное моделирование и исследование переходных процессов...

В декартовой системе координат (х,у), связанной с телом, направление вектора скорости совпадает с осью Х, которая нормальна к поверхности преграды. При решении задачи удобно обратить движение и считать, что деформируемое тело до удара находиться в состоянии...

Задать вопрос