Создание новых метрик в метрических пространствах при решении задач математического моделирования | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 29 августа, печатный экземпляр отправим 16 сентября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №25 (315) июнь 2020 г.

Дата публикации: 23.06.2020

Статья просмотрена: 5 раз

Библиографическое описание:

Калашников, С. Н. Создание новых метрик в метрических пространствах при решении задач математического моделирования / С. Н. Калашников, О. С. Бабушкина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 25 (315). — С. 79-84. — URL: https://moluch.ru/archive/315/71959/ (дата обращения: 15.08.2020).



В статье сформированы примеры функций со специальными свойствами для синтеза новых метрик в метрических пространствах.

Ключевые слова: метрика, метрическое пространство, аксиома, неубывающая функция, производная, интеграл.

Как и многие структуры абстрактной математики, понятие метрики в метрических пространствах относится к простому геометрическому понятию — расстоянию между двумя точками на плоскости. Метрики, будучи удобным способом оценить то, насколько один объект отличается от другого, имеют большое значение при построении математических моделей различных процессов и объектов.

Множество называется метрическим пространством , если для всех его элементов определена такая числовая функция двух аргументов, что для любых выполняются три аксиомы :

Элементы метрического пространства называют также точками , функцию метрикой или расстоянием между точками

Перечисленные аксиомы согласуются с привычным представлением о свойствах расстояния. Аксиома 3 имеет существенное значение, когда точки попарно различны, в противном случае она следует из двух предыдущих аксиом [1, с. 16].

Для создания новых метрик используем специальные неубывающие функции , которые обращаются в нуль только при и удовлетворяют условию Применяя эти функции к имеющимся метрикам , получим новые метрики . Для таких функций выполняются следующие свойства: при .

Рассмотрим свойство производной функции при

. Учтём, что и воспользуемся определением производной для произвольной функции

т. е. при

— неубывающая функция, значит её производная .

В целом , то есть с увеличением значение производной уменьшается, следовательно, уменьшается коэффициент наклона касательных. Тогда в качестве производной подойдет выходящая, например, из значения 1, убывающая и повсюду положительная функция из известных функций, от которой необходимо взять интеграл и подобрать константу интегрирования так, чтобы выполнялось условие .

Проверим выполнение аксиом метрики для функции

.

  1. Функция неубывающая и обращается в нуль только при . Следовательно, при .

по 1-ой аксиоме для исходной метрики .

по той же аксиоме.

  1. Проверка симметричности по 2-ой аксиоме для исходной метрики : .
  2. Проверка неравенства треугольника для по 3-ей аксиоме для исходной метрики и свойствам неубывающей функции :

.

Далее представлен графический анализ неубывающих функций со свойством и условием позволяющих создавать (синтезировать) новые метрики в метрических пространствах [2].

Проверка свойства проведена в работе либо аналитически, либо графически как проверка положительности значений функции двух переменных

В качестве производной первой функции выберем функцию вида — убывающая и положительная показательная функция при . Выберем значение , тогда .

Находим неопределённый интеграл от :

Значение константы интегрирования определяется условием :

Графики функций представлены на рис. 1.

График функции  и её производной

Рис. 1. График функции и её производной

Докажем аналитически выполнение свойства как неотрицательность значений функции двух переменных

, то есть

или

При этом меняются от 0 до бесконечности.

Рассмотрим — градиент функции — вектор, вдоль которого происходит наибольшее возрастание значений функции

.

Из положительности компонент вектора градиента делаем вывод, что при любых значениях при их дальнейшем увеличении значение функции будет увеличиваться, начиная с , т. е. при любых значениях — что и требовалось доказать.

Таким образом, функцию можно использовать для создания новых метрик по имеющимся метрикам :

если — метрика, то также является метрикой.

В качестве производной второй функции выберем дробно-иррациональную функцию вида .

Находим неопределённый интеграл от :

Подберем константу интегрирования так, чтобы выполнялось условие :

Графики функций представлены на рис. 2.

График функции  и её производной

Рис. 2. График функции и её производной

Докажем аналитически выполнение свойства как неотрицательность значений функции двух переменных

, то есть

или

При этом меняются от 0 до бесконечности.

.

Также как и в первом примере из положительности компонент вектора градиента делаем вывод, что при любых значениях при их дальнейшем увеличении значение функции будет увеличиваться, начиная с , т. е. при любых значениях — что и требовалось доказать.

Таким образом, функцию можно использовать для создания новых метрик по имеющимся метрикам :

если — метрика, то также является метрикой.

Для третьего примера возьмем убывающую и повсюду положительную дробно-рациональную функцию вида После реализации тех же действий, что и в предыдущих примерах, получается следующий результат:

Графики функций представлены на рис. 3.

График функции  и её производной

Рис. 3. График функции и её производной

Докажем выполнение свойства как неотрицательность значений функции двух переменных

. В данном случае воспользуемся графическим методом.

При этом меняются от 0 до бесконечности.

На рис. 4 представлен график функции двух переменных , из которого видно, что при любых значениях .

График функции двух переменных

Рис. 4. График функции двух переменных

Таким образом, функцию можно использовать для создания новых метрик по имеющимся метрикам :

если — метрика, то — также является метрикой.

Функции в рассмотренных трех примерах различны, но у них есть общее свойство, которое заключается в том, что производные этих функций неотрицательны , однако уменьшаются с увеличением параметра . Это выражается как в графиках производных, так и в уменьшении коэффициента наклона касательных к графикам. При этом .

В метрическом пространстве (плоскость, состоящая из пар вещественных чисел — вещественная плоскость с декартовыми координатными осями) основная естественная метрика — евклидова метрика (расстояние между точками на плоскости)

.

С помощью выбранных функций

и

созданы новые метрики на базе евклидовой метрики

и соответственно.

Таким образом, в данной работе построены примеры функций для синтеза новых метрик в метрических пространствах с требуемыми свойствами, а также созданы новые метрики на основе евклидовой метрики и построенных функций .

Литература:

1. Филимоненкова, Н. В. Конспект лекций по функциональному анализу: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2015. — 176 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

2. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.

Основные термины (генерируются автоматически): метрика, функция, график функции, метрическое пространство, создание новых метрик, выполнение свойства, график функций, евклидова метрика, исходная метрика, неубывающая функция.


Ключевые слова

метрика, метрическое пространство, аксиома, неубывающая функция, производная, интеграл

Похожие статьи

Внедрение системы мониторинга метрик в серверное приложение...

Для каждой из метрик мы можем сконфигурировать время хранения значения, тренда и единицы измерения метрики. В случае если данные метрик памяти приходят в Байтах, а мы хотим отображать их на графиках в Мегабайтах, можно выполнять обработку входящих данных...

Обзор некоторых алгоритмов нестрогого сопоставления записей...

Это свойство позволяет метрикам образовывать метрические пространства произвольной размерности. Такие метрические пространства не обязательно являются евклидовыми, так, например, метрики Левенштейна и Дамерау-Левенштейна образуют неевклидовы...

Математические аспекты метода Вагнера — Фишера

Наиболее популярная из существующих метрик — это функция Левенштейна–Дамерау. ОПР.3. Расстояние Левенштейна равно минимальному

На базе метрики Левенштейна — Дамерау построено большое число поисковых алгоритмов, в т. ч.: сигнатурные алгоритмы, алгоритмы...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Эти решающие функции определяются как меры близости новых объектов с имеющимися представителями каждого класса. Для детерминированных признаков чаще всего используются меры типа расстояние (метрика Хэмминга, евклидова метрика, метрика Минковского...

Соотношение между усредненными модулями гладкости функции...

Множество всех измеримых, - периодических функций для которых.

, . Известно, что - неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция и.

Пусть , и , . Тогда для функции справедлива оценка. . Далее, рассмотрим пространство в случае , , и обозначим как .

Выбор метрики сравнения слов.

Основная метрика, которая применялась для сравнения строк — расстояние Левенштейна. Данный алгоритм должен быть достаточно

В ходе выполнения работы был реализован алгоритм поиска на основе хэширования. Основная метрика, которая применялась для...

Метод естественной кластеризации данных | Статья в журнале...

Однако использование различных метрик, особенно таких распространенных как евклидово расстояние

В качестве метрики использовалась так называемая «манхэттенская метрика», в

Слева — исходная таблица. Справа — результаты кластеризации стандартного метода...

Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых...

Введение. Хорошо известно, что интегральные операторы с ядрами Пуассона и Коши проектируют классы Гельдера на единичной окружности на соответствующие классы аналитических функций ([1], [2]) На этом основаны многие вопросы математической физики...

Алгоритмы распознавания объектов | Статья в сборнике...

некая функция, вектор параметров семейства кривых, координаты точек пространства .

Сегментация является важной процедурой, так как результаты выполнения данной

Так же существуют алгоритмы, основанные на кластеризации пространства цветов.

Распознавание и извлечение 3D-моделей по двумерным...

Во время обучения происходит процесс минимизации двух функций потерь, одна функция отвечает за соответствие трёхмерной модели её скрытому представлению, другая функция отвечает за соответствие скрытого представления трёхмерной модели скрытому...

Похожие статьи

Внедрение системы мониторинга метрик в серверное приложение...

Для каждой из метрик мы можем сконфигурировать время хранения значения, тренда и единицы измерения метрики. В случае если данные метрик памяти приходят в Байтах, а мы хотим отображать их на графиках в Мегабайтах, можно выполнять обработку входящих данных...

Обзор некоторых алгоритмов нестрогого сопоставления записей...

Это свойство позволяет метрикам образовывать метрические пространства произвольной размерности. Такие метрические пространства не обязательно являются евклидовыми, так, например, метрики Левенштейна и Дамерау-Левенштейна образуют неевклидовы...

Математические аспекты метода Вагнера — Фишера

Наиболее популярная из существующих метрик — это функция Левенштейна–Дамерау. ОПР.3. Расстояние Левенштейна равно минимальному

На базе метрики Левенштейна — Дамерау построено большое число поисковых алгоритмов, в т. ч.: сигнатурные алгоритмы, алгоритмы...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Эти решающие функции определяются как меры близости новых объектов с имеющимися представителями каждого класса. Для детерминированных признаков чаще всего используются меры типа расстояние (метрика Хэмминга, евклидова метрика, метрика Минковского...

Соотношение между усредненными модулями гладкости функции...

Множество всех измеримых, - периодических функций для которых.

, . Известно, что - неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция и.

Пусть , и , . Тогда для функции справедлива оценка. . Далее, рассмотрим пространство в случае , , и обозначим как .

Выбор метрики сравнения слов.

Основная метрика, которая применялась для сравнения строк — расстояние Левенштейна. Данный алгоритм должен быть достаточно

В ходе выполнения работы был реализован алгоритм поиска на основе хэширования. Основная метрика, которая применялась для...

Метод естественной кластеризации данных | Статья в журнале...

Однако использование различных метрик, особенно таких распространенных как евклидово расстояние

В качестве метрики использовалась так называемая «манхэттенская метрика», в

Слева — исходная таблица. Справа — результаты кластеризации стандартного метода...

Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых...

Введение. Хорошо известно, что интегральные операторы с ядрами Пуассона и Коши проектируют классы Гельдера на единичной окружности на соответствующие классы аналитических функций ([1], [2]) На этом основаны многие вопросы математической физики...

Алгоритмы распознавания объектов | Статья в сборнике...

некая функция, вектор параметров семейства кривых, координаты точек пространства .

Сегментация является важной процедурой, так как результаты выполнения данной

Так же существуют алгоритмы, основанные на кластеризации пространства цветов.

Распознавание и извлечение 3D-моделей по двумерным...

Во время обучения происходит процесс минимизации двух функций потерь, одна функция отвечает за соответствие трёхмерной модели её скрытому представлению, другая функция отвечает за соответствие скрытого представления трёхмерной модели скрытому...

Задать вопрос