Отображения, сохраняющие нулевые произведения | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 11 июля, печатный экземпляр отправим 15 июля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №24 (314) июнь 2020 г.

Дата публикации: 09.06.2020

Статья просмотрена: 12 раз

Библиографическое описание:

Каримов, Х. К. Отображения, сохраняющие нулевые произведения / Х. К. Каримов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 24 (314). — С. 8-10. — URL: https://moluch.ru/archive/314/71452/ (дата обращения: 03.07.2020).



При изучении алгебр линейных операторов отображения между ними играют важную роль. Отображения, такие как изоморфизм, гомоморфизм, дифференцирование и автоморфизм различных алгебр операторов, определённых в гильбертовых пространствах, были изучены во многих работах([1]- [5]).

В 1997 г. Шемрлом [2], было введено понятие 2-локального автоморфизма и 2-локального дифференцирования, и в этой работе он рассматривал отображений на алгебре всех линейных ограниенных операторов на гильбертовом пространстве, в бесконечномерном сепарабельном случае, показав, что если — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство, тогда каждый 2-локальный автоморфизм алгебры является автоморфизмом. Аналогичный результат был получен для 2-локального дифференцирования.

В 2004 г. [3] было получено аналогичное описание для конечномерного случая, а именно доказано, что если — алгебра матриц над комплексными числами, и 2-локальный *– автоморфизм на этой алгебре, тогда является *автоморфизмом.

В работе Аюпова и Кудайбергенова [4] были изучены 2-локальные дифференцирования и 2-локальные автоморфизмы на алгебре всех линейных ограниченных операторов на произвольном гильбертовом пространстве и было показано, что если — произвольное гильбертого пространство, — алгебра всех ограниченных линейных операторов на , тогда каждый 2-локальный автоморфизм на этой алгебре, является автоморфизмом.

Многие ученые изучали и аддитивные, или линейные отображения, сохраняющие нулевые произведения, в которых одно из отображений в операторных алгебрах, и в большинстве случаев показано, что отображение сохраняет нулевого произведение тогда и только тогда, когда отображение записано в виде умножения гомоморфизма с центральным элементом алгебры.

Пусть — гильбертово пространство, — алгебра всех линейных ограниченных операторов на — некоторое подмножество алгебры . Множество называется коммутантом множество . Ясно, что коммутант является унитальной подалгеброй алгебры . Бикоммутант множество содержить само множество .

Определение 1. Если для *-подалгеброй выполняется равенство тогда называется алгеброй фон Неймана.

Множество называется центром алгеброй .

Пусть — гильбертово пространство над полем комплексных чисел и — алгебра всех ограниченных линейных операторов на . Обазначим через — тождественной оператор на и пусть — решетка проекторов в . Рассмотрим алгебру фон Неймана на т. е. слабо замкнуто *-подалгебру в содержащий оператор и обозначим через операторную норму на Множество — полная ортомодулярная решетка относительно естественного частичного порядка на порожденное конусом — положительных операторов

Два проекторы называется эквивалентными(обозначается через ), если существует частичная изометрия c начальным проектором и конечным проектором т. е. Отношение является также отношением эквивалентности на

Проектор называется конечным, если для из следует, что

Алгебра фон Неймана называется

конечной, если — конечный проектор;

полуконечной, если каждый ненулевой проектор из содержит ненулевой конечной проектор;

бесконечной, если — неконечно;

собственно бесконечной, если каждый ненулевой проектор из является бесконечным(т. е. неконечным);

чисто бесконечным или типа III, если каждый ненулевой проектор из является бесконечным.

Говорят, что проектор мажорируется проектором , если существует проектор такой, что , и обозначается . Предположим, что — система ортогональных проекторов в центре , удовлетворяющие условия . Система называется максимальной системой ортогональных проекторов, если для любой системой ортогональных проекторов в центре , с условием , при каждой найдётся такой, что .

Алгебра фон Неймана называется типа I, если она содержит точный Абелева проектор (т. е. — абелева(коммутативная) алгебра фон Неймана).

Это означает, что центральный носитель проектора (т. е. наименьше центральный проектор в мажорирующий ) является тождественным оператором . Алгебра фон Неймана с ненулевым абелевым проектором называется непрерывным. Для произвольная алгебра фон Неймана и может быть разложена единственным способом в прямую сумму алгебр фон Неймана типа (конечный тип), типа (собственно бесконечная типа I), типа (конечно непрерывная), типа (полуконечная, собственно бесконечная, непрерывная) и

Пусть и некоторые алгебры операторов, и — отображение алгебры в алгебру .

Определение 2. Линейные отображение называется сохраняет нулевыми произведениями, если из условия следует равенство .

Следующая теорема известна с работы [1], и в этом предполагается, что алгебра имеет максимальной системой ортогональных проекторов

Теорема 1. Пусть и алгебры фон Неймана действующие в комплексных гильбертовых пространствах, соответственно и Если ограниченное сюръективное линейное отображение, тогда следующие условия эквивалентны:

(1) — сохраняет нулевое произведение

(2) Существуют такой обратимый элемент и гомоморфизм, для любого имеет место .

Пусть и алгебры матриц -го порядка над алгебры и рассматриваемые в приведенной теореме.

С помощью ограниченное сюръективное линейное отображение сохраняющие нулевое произведение , приведем отображение следующем образом:

Тогда по теореме 1, мы будем имеет следующей теореме.

Теорема 2. Существуют такой элемент и отображение , для любого элемента имеет место .

Литература:

  1. Cui Jianlian and Hou Jinchuan, Linear maps on von Neumann algebras preserving zero products or tr-rank, Bull. Austral. Math. Soc. Vol. 65 (2002).
  2. P. Semrl, Local automorphisms and derivations on, Proc. Amer. Math. Soc. 125, 2677–2680 (1997).
  3. S. O. Kim, J. S. Kim, Local automorphisms and derivations on Mn, Proc. Amer. Math. Soc. 132, no. 5, 1389–1392 (2004).
  4. Sh. Ayupov, K. Kudaybergenov, 2-local derivations and automorphisms on B(H), J. Math. Anal. Appl. 395, no. 1, 15–18 (2012).
  5. D. R. Larson and A. R. Sourour, Local derivations and local automorphisms of B(X), Proc. Sympos. Pure Math. 51, Part 2, Providence, Rhode Island 1990, pp. 187–194.
Основные термины (генерируются автоматически): алгебра, проектор, фон, отображение, ненулевой проектор, гильбертово пространство, конечный проектор, линейное отображение, максимальная система, нулевое произведение.


Похожие статьи

2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

Если для любого ненулевого центрального проектора существует конечный абеловый проектор , такой, что , тогда называется алгеброй типа .

Пусть множество всех измеримых отображений из в и пусть факторизация этого множества по отношению равенства почти всюду.

Сравнение продуктивности учебной доски и проектора...

В этой статье анализируется использование учебной доски и проектора в начертательной геометрии, черчении, техническом черчении, начертательной геометрии и инженерной графике, методике преподавания инженерной графики и других предметов...

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Линейный оператор называется ассоциативным дифференцированием на алгебре , если для любых .

Для коммутативных AW* — алгебр M критерием существования ненулевых

Следующая теорема описывает линейное пространство. для алгебр фон Неймана, имеющих...

Использование элементов линейной алгебры в разработке игры...

− визуальное отображение движения объекта; − исследование влияния внутренних параметров объекта (например

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае...

О пространствах A2-ядер | Статья в журнале «Молодой ученый»

Скалярное произведение на евклидовом пространстве E, порожденное системой корней Ф, обозначается через . Двойственным к Фкорнем является. Пусть - максимальный корень, и -максимальный короткий корень. Действие группы Вейля W системы Ф на группу характеров...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Пусть - множество комплексных чисел и - пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Следующие операторы. называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы , определенный по формуле (2) и они играют...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

В общем случае число ненулевых элементов матрицы комбинаторного типа равно k = 2n×n / 2

Построив для каждого объекта из представленной выборки систему вида (1), и применив

Таким образом, имеем переопределенную систему линейных неравенств комбинаторного типа.

Об одном применение леммы Морса | Статья в журнале...

По этой причине гильбертово пространство называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства, а

Следовательно, в силу леммы Морса существует взаимно-однозначное отображение. из в некоторое окрестность точки такое, что.

Имитационное моделирование квантового алгоритма решения...

Пусть, дана квадратная система линейных алгебраических уравнений.

Собственный вектор — это такой ненулевой вектор , что для

Матрица поворота в двумерном пространстве широко используется в линейной алгебре для описания преобразований векторов.

Похожие статьи

2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

Если для любого ненулевого центрального проектора существует конечный абеловый проектор , такой, что , тогда называется алгеброй типа .

Пусть множество всех измеримых отображений из в и пусть факторизация этого множества по отношению равенства почти всюду.

Сравнение продуктивности учебной доски и проектора...

В этой статье анализируется использование учебной доски и проектора в начертательной геометрии, черчении, техническом черчении, начертательной геометрии и инженерной графике, методике преподавания инженерной графики и других предметов...

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Линейный оператор называется ассоциативным дифференцированием на алгебре , если для любых .

Для коммутативных AW* — алгебр M критерием существования ненулевых

Следующая теорема описывает линейное пространство. для алгебр фон Неймана, имеющих...

Использование элементов линейной алгебры в разработке игры...

− визуальное отображение движения объекта; − исследование влияния внутренних параметров объекта (например

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае...

О пространствах A2-ядер | Статья в журнале «Молодой ученый»

Скалярное произведение на евклидовом пространстве E, порожденное системой корней Ф, обозначается через . Двойственным к Фкорнем является. Пусть - максимальный корень, и -максимальный короткий корень. Действие группы Вейля W системы Ф на группу характеров...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Пусть - множество комплексных чисел и - пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Следующие операторы. называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы , определенный по формуле (2) и они играют...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

В общем случае число ненулевых элементов матрицы комбинаторного типа равно k = 2n×n / 2

Построив для каждого объекта из представленной выборки систему вида (1), и применив

Таким образом, имеем переопределенную систему линейных неравенств комбинаторного типа.

Об одном применение леммы Морса | Статья в журнале...

По этой причине гильбертово пространство называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства, а

Следовательно, в силу леммы Морса существует взаимно-однозначное отображение. из в некоторое окрестность точки такое, что.

Имитационное моделирование квантового алгоритма решения...

Пусть, дана квадратная система линейных алгебраических уравнений.

Собственный вектор — это такой ненулевой вектор , что для

Матрица поворота в двумерном пространстве широко используется в линейной алгебре для описания преобразований векторов.

Задать вопрос