В статье рассматривается моделирование непрерывных случайных величин, вычисление параметров случайных величин по выборке, изучение свойства состоятельности выборочных оценок средствами языка программирования R.
Ключевые слова: моделирование, непрерывная случайная величина, язык R.
Пользуясь средствами языка программирования «R«, рассмотрим процесс реализации на ЭВМ и исследования на точность алгоритма моделирования непрерывной случайной величины (НСВ), распределенной по логнормальному закону L(m, σ):
(1)
Метод моделирования НСВ ξ с законом распределения L(m, σ) основан на связи логнормального распределения с нормальным N(µ, σ), а также последнего с равномерным R(a, b) распределением [3, стр. 61]:
(2)
Реализуем на языке программирования R функцию LogNorm для моделирования n независимых случайных чисел, имеющих логнормальное распределение:
Рассмотрим результат работы функции LogNorm с параметрами µ = 0.6, σ = 1 при моделирования n = 100 и n = 1000 независимых случайных чисел:
> ksi <- LogNorm(n, 0.6, 1);
На рис. 1–2 представлены графики теоретической плотности вероятности логнормального распределения и гистограммы плотности относительных частот для результатов моделирования n = 100 и n = 1000 НСВ, а на рис. 3–4 отображены графики эмпирической и теоретической функции распределения для соответствующих объёмов выборки. Можем заметить, что с увеличением объема выборки гистограмма плотности относительных частот стремится к полигону распределения вероятностей, а эмпирическая функция распределения — к теоретической.
Рис. 1. График теоретической плотности вероятности и гистограмма плотности относительных частот, n = 100
Рис. 2. График теоретической плотности вероятности и гистограмма плотности относительных частот, n = 1000
Рис. 3. Графики эмпирической и теоретической функции распределения, n = 100
Рис. 4. Графики эмпирической и теоретической функции распределения, n = 1000
Будем использовать следующий программный код для вычисления выборочных оценок параметров случайных величин по выборке и по интервальному статистическому ряду:
a) По выборке:
Среднее: > tildaX <- mean(log(ksi)); print(tildaX);
Дисперсия: > vd <- var(log(ksi)); print(vd);
Дисперсия (исправленная выборочная):
> MeanV <- function(N, n, X) { return (sum(n*X)/N); }
> SS0<-MeanV(N-1, 1, log(ksi)*log(ksi))-N*(tildaX*tildaX)/(N-1);
> print(SS0);
Среднее квадратическое отклонение: > S<-sqrt(SS0); print(S);
б) По интервальному статистическому ряду:
Cтроим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с надежностью γ = 0.95:
Чтобы убедиться в состоятельности выборочной оценки математического ожидания, реализуем средствами языка программирования «R» решение следующих задач: построить график стремления выборочной оценки параметра распределения к параметру распределения по вероятности с увеличением объема выборки n; построить линию параметра; построить доверительные границы, используя неравенство Чебышева. Реализацию решения выполняет следующий программный код:
Графический результат для объёма выборки n = 2000 приведён на рис. 5. На его основании можно утверждать, что с увеличением объёма выборки выборочная оценка математического ожидания стремится по вероятности к теоретическому математическому ожиданию распределения.
Для реализации решения задачи статистического моделирования на ЭВМ непрерывных случайных величин средствами языка программирования «R» на примере логнормального распределения были использованы следующие встроенные функции языка:
– runif(n) — моделирование n равномерно распределенных случайных величин от 0 до 1;
– rep(0, n) — создание вектора из n нулей;
– log(x) — вычисление натурального логарифма числа x;
– sqrt(x) — вычисление квадратного корня числа x;
– mean(x) — вычисление математического ожидания вектора х;
– var(x) — вычисление дисперсии вектора x;
– exp(x) — вычисление экспоненты числа x;
– sum(x) — вычисление суммы элементов вектора x.
Рис. 5. График сходимости выборочной оценки к параметру распределения, n=2000.
Литература:
- Лобач В. И. Имитационное и статистическое моделирование: Практикум для студентов мат. и экон. спец. / В. И. Лобач, В. П. Кирлица, В. И. Малюгин, С. Н. Сталевская. — Минск: БГУ, 2004. — 189 с.
- Харин Ю. С., Степанова М. Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. — Минск: Университетское, 1987. — 304 с.
- Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. — М.: Статистика, 1980. — 95 с.
