Уравнения в целых числах во внеурочной деятельности по математике | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 18 июля, печатный экземпляр отправим 22 июля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №20 (310) май 2020 г.

Дата публикации: 16.05.2020

Статья просмотрена: 2 раза

Библиографическое описание:

Зубачева, И. Ю. Уравнения в целых числах во внеурочной деятельности по математике / И. Ю. Зубачева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 20 (310). — С. 581-582. — URL: https://moluch.ru/archive/310/70178/ (дата обращения: 07.07.2020).



Статья посвящена описанию курса внеурочной деятельности по математике «Уравнения в целых числах» для обучающихся в 7–8-х классах основной школы.

Ключевые слова: внеурочная деятельность, задача, целочисленное уравнение, диофантовы уравнения,

Уравнения в целых числах, в частности, диофантовы уравнения — интереснейший раздел математики, внимание к которому постоянно растет.

Диофант — великий математик прошлого, написавший фундаментальный труд — «Арифметику», состоявший из 13 книг. Значительная часть известных нам книг «Арифметики» посвящена решению неопределённых уравнений и систем неопределённых уравнений 2-й степени. Диофант описал некоторые общие методы решения данных уравнений. Эти методы вполне доступны учащимся 7–8-х классов, поэтому нами был разработан курс внеурочной деятельности по математике «Уравнения в целых числах».

Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту общего образования внеурочная деятельность является неотъемлемой частью учебно-воспитательного процесса. Внеурочная деятельность организуется во внеучебное время и предназначена для удовлетворения индивидуальных потребностей обучающихся. В программу внеурочной деятельности по математике могут быть включены такие разделы, которые или вообще не изучаются в школьном курсе, или изучаются недостаточно глубоко, но представляют интерес как в историческом, так и в научном плане. В частности, таким разделом математики является решение целочисленных или диофантовых уравнений.

Актуальность данной темы связана с тем, что задачи, сводящиеся к диофантовым уравнениям, входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике профильного уровня, а решение этих задач вызывает значительные затруднения у выпускников общеобразовательных учреждений.

Целочисленные уравнения — важная тема школьного курса математики, которой на уроках практически не уделяется внимания, хотя многие теоретико-числовые задачи могут быть сведены к решению уравнений в целых числах. Именно теоретико-числовые задачи составляют содержание одного из самых сложных и высоко оцениваемых заданий государственной итоговой аттестации по математике профильного уровня — задания № 19. Многие выпускники, сдающие профильный ЕГЭ по математике, даже не пытаются приступить к решению задания № 19, хотя для него вполне достаточно иметь знания по математике на уровне 5–6 классов. Выпускники не готовы решать сложные задачи, требующие принимать решение в нестандартной ситуации, у них не сформированы соответствующие навыки. В школьных учебниках подобного рода задач явно недостаточно. Курс внеурочной деятельности «Уравнения в целых числах» позволяет определенным образом восполнить этот пробел. Кроме того, данный курс может благоприятно влиять на развитие мышления учащихся.

Целями курса «Уравнения в целых числах» являются:

 углубление и расширение математического кругозора обучающихся;

 повышение интереса к математике;

 развитие логического мышления и творческих способностей учащихся;

 знакомство учеников с простейшими целочисленными математическими моделями.

В процессе изучения курса внеурочной деятельности числах учащиеся:

 смогут познакомиться с понятием диофантовых уравнений различных степеней и со способами их решения;

 смогут решать некоторые логические задачи путем сведения их к уравнениям в целых числах.

Курс строится индуктивно с элементами дедуктивных рассуждений и эвристики, начинается с занимательных задач и числовых головоломок. Данные задачи имеют высокий развивающий потенциал, способствуют формированию критического мышления, приучают к анализу получаемой информации, помогают адекватно ее оценить.

Прежде, чем рассматривать основные задачи курса, предполагается знакомство с неизвестными для учащихся приемами рациональных вычислений и первыми теоретико-числовыми задачами. На этом этапе происходит первичное знакомство с построением простейших арифметических моделей.

Дальнейшее изучение теоретического материала происходит блоками через систему тематически ориентированных задач, цель которых — подвести учащихся к самостоятельному формулированию гипотез и их дальнейшей проверке.

Основными темами курса являются следующие: занимательные и провоцирующие задачи; вычислительные лайфхаки; уравнения и неравенства; диофантовы уравнения первой и второй степеней; сюжетные задачи.

Приведем некоторые примеры.

Задача «Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 5» [1] сводится к диофантову уравнению второго порядка

которое решается простым перебором. Учащиеся 7 класса, знакомые с формулами сокращенного умножения, легко сумеют разложить левую часть на множители и обратить внимание на то, что правая часть может быть представлена в виде произведения двух целых чисел всего четырьмя различными способами. Но именно эта простая задача позволяет построить математическую модель, использовать прием разложения на множители и применить данный алгоритм к решению других задач. Интересно, что такого рода задачи часто встречаются на математических олимпиадах различного ранга, и учащимся будет интересно попробовать себя в решении сложных задач.

Большое впечатление на учащихся произвела следующая задача: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?». Она интересна не только тем, что сводится к диофантову уравнению первого порядка и может быть решена различными способами, но и тем, что взята из рассказа А. П. Чехова «Репетитор» [3]. Ребятам было интересно познакомиться с творчеством великого писателе не на уроке литературы, а в курсе математики, а уникальное вычислительное приспособление — русские счеты, на которых считал герой рассказа, многие увидели впервые в жизни. Тем самым были осуществлены интеграционные связи математики, истории и литературы [2].

Таким образом, при изучении курса учащиеся получат сведения по методам решения неопределенных уравнений, приобретут навыки сведения реальных ситуаций к арифметическим моделям, научатся производить содержательные рассуждения и строить простейшие алгоритмы. Это поможет им глубже изучить числа и их свойства и в дальнейшем позволит хорошо подготовиться к ЕГЭ по математике.

Литература:

  1. Буфеев С. В. Коллекция задач по арифметике целых чисел. — М.: ЛЕНАНД, 2014. — 272 с.
  2. Полякова, Т. С. Интеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования / Т. С. Полякова, И. Ю. Жмурова. — Текст: непосредственный // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66–72.
  3. А. П. Чехов. Полное собрание сочинений и писем в 30-ти томах. Сочинения. Том 2. М., Наука, 1983.
Основные термины (генерируются автоматически): внеурочная деятельность, задача, уравнение, число, математик, учащийся, целое, профильный уровень, решение.


Ключевые слова

задача, внеурочная деятельность, целочисленное уравнение, диофантовы уравнения

Похожие статьи

Развитие познавательного интереса на уроках математики

Решение занимательных математических задач — это приобщение учащихся к творческому

Эстетический потенциал школьной математики в большой мере проявляется при изучении

А в 6 классе при изучении темы «Сложение и вычитание рациональных чисел» известен...

Пути реализации прикладной направленности обучения математике

задача, прикладная направленность обучения, прикладная направленность, математик, практическое содержание, учащийся, математическое образование, практическая деятельность, практическая задача, реальная... К вопросу о прикладной направленности...

Система подготовки обучающихся к ЕГЭ в процессе преподавания...

− Наличие алгоритмов решения задач основных типов, в том числе, и характерных для

− Наличие дополнительного времени на решение задач профильного уровня и заданий с

Таким образом, приизучении физики набазовом уровне (2 часа в неделю)абсолютно у каждого...

«Математический бой» как одно из средств повышения...

Математический бой — это соревнование двух команд в решении математических задач, а также в умении представлять свои решения с четкими обоснованиями ключевых моментов и в умении проверять чужие решения, оппонировать.

В ходе игры решаются следующие задачи

Формирование позитивной мотивации студентов посредством...

В статье исследуется проблема формирования позитивной мотивации у студентов посредством математического моделирования процесса принятия решений в профессионально ориентированных учебных задачах.

Задания для развития информационной компетенции на уроках...

Благодаря таким задачам, школьники видят, что математика находит применение в любой области деятельности, и это, в свою очередь, повышает интерес к предмету, а это напрямую взаимосвязано с уровнем информационной компетенции. Сложности источника информации.

Об использовании сведений из истории математики на уроках

Например, решение задач по математике на краеведческом материале. Решение задач, содержащих краеведческий материал, прививает учащимся интерес к математике, развивает их познавательную активность, стимулирует развитие самостоятельности...

Противоречивые задачи в школьном курсе математики

При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к условию и делать проверку

Вот почему решение задач данного вида необходимо использовать на уроках математики.

х = 7.5 — не удовлетворяет смыслу задачи, т. к. число должно быть целым.

Проектирование учебной деятельности младших школьников...

Прием моделирования учебной деятельности учащихся продолжается как процесс подготовки к решению задач на движение постепенным усложнением решаемых задач. В учебнике «Математика», 2 класс читаем: Составьте по схематическому чертежу задачу и реши ее. Рис. 2.

Похожие статьи

Развитие познавательного интереса на уроках математики

Решение занимательных математических задач — это приобщение учащихся к творческому

Эстетический потенциал школьной математики в большой мере проявляется при изучении

А в 6 классе при изучении темы «Сложение и вычитание рациональных чисел» известен...

Пути реализации прикладной направленности обучения математике

задача, прикладная направленность обучения, прикладная направленность, математик, практическое содержание, учащийся, математическое образование, практическая деятельность, практическая задача, реальная... К вопросу о прикладной направленности...

Система подготовки обучающихся к ЕГЭ в процессе преподавания...

− Наличие алгоритмов решения задач основных типов, в том числе, и характерных для

− Наличие дополнительного времени на решение задач профильного уровня и заданий с

Таким образом, приизучении физики набазовом уровне (2 часа в неделю)абсолютно у каждого...

«Математический бой» как одно из средств повышения...

Математический бой — это соревнование двух команд в решении математических задач, а также в умении представлять свои решения с четкими обоснованиями ключевых моментов и в умении проверять чужие решения, оппонировать.

В ходе игры решаются следующие задачи

Формирование позитивной мотивации студентов посредством...

В статье исследуется проблема формирования позитивной мотивации у студентов посредством математического моделирования процесса принятия решений в профессионально ориентированных учебных задачах.

Задания для развития информационной компетенции на уроках...

Благодаря таким задачам, школьники видят, что математика находит применение в любой области деятельности, и это, в свою очередь, повышает интерес к предмету, а это напрямую взаимосвязано с уровнем информационной компетенции. Сложности источника информации.

Об использовании сведений из истории математики на уроках

Например, решение задач по математике на краеведческом материале. Решение задач, содержащих краеведческий материал, прививает учащимся интерес к математике, развивает их познавательную активность, стимулирует развитие самостоятельности...

Противоречивые задачи в школьном курсе математики

При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к условию и делать проверку

Вот почему решение задач данного вида необходимо использовать на уроках математики.

х = 7.5 — не удовлетворяет смыслу задачи, т. к. число должно быть целым.

Проектирование учебной деятельности младших школьников...

Прием моделирования учебной деятельности учащихся продолжается как процесс подготовки к решению задач на движение постепенным усложнением решаемых задач. В учебнике «Математика», 2 класс читаем: Составьте по схематическому чертежу задачу и реши ее. Рис. 2.

Задать вопрос