Расчет собственных колебаний вант методом явного интегрирования уравнения движений | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 18 июля, печатный экземпляр отправим 22 июля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Архитектура, дизайн и строительство

Опубликовано в Молодой учёный №20 (310) май 2020 г.

Дата публикации: 15.05.2020

Статья просмотрена: 37 раз

Библиографическое описание:

Копров, Р. О. Расчет собственных колебаний вант методом явного интегрирования уравнения движений / Р. О. Копров. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 20 (310). — С. 186-190. — URL: https://moluch.ru/archive/310/70131/ (дата обращения: 10.07.2020).



В настоящее время очень стремительно развиваются методы расчета на устойчивость, а также деформационные, динамические и аэродинамические расчёты, имеющие особо важное значение для вантовых и висячих мостов, основой которых служат системы из растянутых кабелей. Статья посвящена расчёту собственных колебаний ванты методом явного интегрирования уравнений движений без учёта внешних воздействий. Выполнено сравнение предлагаемого метода с общеизвестными алгоритмами определения характеристик собственных колебаний вант. Также произведен расчет системы с учётом нелинейности в растягивающих усилиях и отмечено, что данный факт значительно влияет на конечные параметры колебаний вант.

Ключевые слова: колебания вант, вантовые мосты, собственные колебания, динамический расчёт, растянутый кабель, нелинейное поведение.

Для описания колебания вант используется известное уравнение струны, описывающее малые поперечные колебания однородной натянутой струны. Исторически это первый пример уравнения математической физики — гиперболического вида:

,

где a — константа, отражающая свойства струны; x — координата вдоль струны; t — время; y(x,t) — отклонение струны от положения равновесия.

Данное уравнение не учитывает нелинейное поведение вант, что подтверждается в многих работах [2, 3]. Под нелинейным поведение подразумевается, геометрическая нелинейность, возникающая в вантовых элементах, вследствие этого продольное усилие изменяется по длине элемента.

Рассмотрим ванту длиной l, шарнирно закрепленную по концам с опорами в одном уровне равномерно загруженной собственным весом. Реализуем метод явного интегрирования уравнений движения для расчёта собственных колебаний.

Решаемые технические задачи:

– проанализировать характеристики колебаний, полученные по известным зависимостям и методом интегрирования;

– выполнить расчет собственных колебаний с учётом геометрической нелинейности.

Для решения поставленной задачи приняты необходимые исходные данные (таблица). Расчет колебаний будет представлен как в линейной постановке, так и с учетом геометрической нелинейности. Для первого случая натяжение принимается постоянным по всей длине струны.

Исходные данные

Длина ванты , м

Удельный вес , кг/м3

Площадь поперечного сечения , м2

Модуль Юнга , кН/м2

Скорость распространения волны , м/с

Натяжение , кН

100,0

7850,0

0,012

2,06∙108

300,0

4905,0

Разделим ванту на равных частей длиной , тем самым получаем узлов в нашей системе. Так как колебания изменяются во времени, зададимся временным шагом:

Рис. 1. Расчетная схема

Для того, чтобы определить собственные колебания струны, зададим системе возмущение в момент времени в виде начальной скорости . Струну длинной разделим на равных частей с шагом , тем самым получаем узлов в нашей системе. Анализ колебаний вантового элемента произведем для первой формы колебаний. На Рис. 2 показаны три первые формы колебаний струны.

E:\Учеба\Магистратура\ДИССЕРТАЦИЯ\forma_b.png

Рис. 2. Основные формы колебаний

Первую форму колебаний описывает закон синусоиды, тогда в каждом узле вычислим начальную скорость по формуле:

,

где — начальная скорость в i-ом узле ();

— форма колебаний в виде синусоиды;

— расстояние от левой опоры до i-го узла.

Имея скорости в явном виде, вычислим во всех узлах системы смещение :

.

Рассмотрим расчетную схему более детально, выделив два смежных элемента и вырежем узел, указан все действующие силы (см. Рис. 3).

C:\Users\Роман\Desktop\Расчетная схема-Лист1.jpg

Рис. 3. Схема к расчету равнодействующей силы P(i)

Основываясь на предположении, что отклонения струны от равновесия малы, сделаем ряд упрощений:

  1. Длина участка струны в деформированном состоянии практически равна длине участка в положении равновесия, поэтому добавочным напряжением вследствие удлинения струны можно пренебречь. Следовательно, силы и по модулю равны силе натяжения струны .
  2. Углы наклона 𝛼 малы, поэтому tg𝛼 ≈ sin𝛼 ≈ 𝛼 и, следовательно, можно положить , .

Спроецируем все действующие силы в узле на ось Y и получим выражение для определения силы действующей на узловую сосредоточенную массу и соответствующее ей ускорение:

;

Далее вычислим приращение скорости и определим результирующую скорость на данном временном шаге:

Принимая вычислим шаг по длине и времени . Они должны быть достаточно малыми, чтобы избежать численной погрешности.

м;

сек.

Для , следуя выше изложенному алгоритму, вычислим на каждом временном шаге неизвестные параметры. Данная задача решается численно с применением среды Matlab, так как расчёты получаются очень трудоемкими, в связи с малым дискретным шагом по времени . На основании полученных после расчета данных построим графики зависимости скорости и вертикальных перемещений от времени t (Рис. 4, 5).

E:\Учеба\Магистратура\ДИССЕРТАЦИЯ\1-я статья\График скорости б.н.jpg

Рис. 4. График зависимости от при

E:\Учеба\Магистратура\ДИССЕРТАЦИЯ\1-я статья\График перемещений б.н.jpg

Рис. 5. График зависимости от при

Определим период колебаний , это есть расстояние вдоль оси абсцисс от 0 до первого положительного экстремума (Рис. 4):

сек.

Сравним полученное расчетное значение с теоретическим. В соответствии с [4] период колебаний определяется по формуле:

,

Тогда сек.

Следует сделать вывод, что выбранный алгоритм точно описывает линейные колебания струны.

Расчёт собственных колебаний ванты сучётом геометрической нелинейности

Для учёта нелинейности, вышеизложенный алгоритм дополним определением продольного усилия в i-ом узле системы. Ранее мы сделали допущение и не учитывали дополнительные напряжения, возникающие, вследствие, удлинения струны. Учтем это использовав закон Гука, тогда получим следующее:

, где ,

,

где — длина элемента после удлинения, — приращение длины участка h, вследствие изменения геометрии системы; EA — продольная жесткость ванты.

Подставив в искомое выражение получим выражение для определения натяжения с учетом геометрической нелинейности:

Также измениться сила, действующая на узловую сосредоточенную массу m:

На Рис. 6 представлено сравнение скорости и перемещений в линейной постановке задачи и с учетом геометрической нелинейности.

E:\Учеба\Магистратура\ДИССЕРТАЦИЯ\1-я статья\График с нелинейностью.jpg

Рис. 6. Графики скорости и вертикальных перемещений колебаний ванта от при

Как видим из сравнительных графиков, учёт нелинейности в продольных усилиях не оказывает значительного влияния на колебания струны в данных условиях при задании возмущения в виде начальной скорости. Периоды собственных колебаний составляют: без учета нелинейности сек., с учётом нелинейности сек.

Метод интегрирования уравнений движения можно использовать для исследования нелинейных колебаний вант, в том числе и с внешним сосредоточенным демпфером при различных внешних воздействиях.

Литература:

  1. Вантовые мосты / А. А. Петропавловский, Е. И. Крыльцов, Н. Н. Богданов и др.; Под ред. А. А. Петропавловского. — М.: Транспорт, 1985. — 224 с.
  2. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 240 с.
  3. Качурин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. — М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 224 с.
  4. Cable stays. Recommendation of French interministerial commission on Prestressing. — CIP Setra, 2002. — 197 с.
Основные термины (генерируются автоматически): геометрическая нелинейность, учет нелинейности, начальная скорость, форма колебаний, собственное колебание ванты, узловая сосредоточенная масса, расчетная схема, продольное усилие, график зависимости, временный шаг.


Ключевые слова

динамический расчет, колебания вант, вантовые мосты, собственные колебания, растянутый кабель, нелинейное поведение

Похожие статьи

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

При учете геометрической нелинейности эта погрешность значительно уменьшается.

После этого найденное решение подставляется в вектор дополнительных узловых сил (4), который

решение задачи с учетом геометрической нелинейности. Рис. 2. Зависимость прогибов от...

Анализ работы вантовых элементов конструкций с внешним...

Ключевые слова: колебания вант, вантовые мосты, собственные колебания, внешний сосредоточенный демпфер.

Рис. 3. Расчетная схема ванта с внешним сосредоточенным демпфером. В данной задаче при расчете колебаний ванта, также учтено собственное...

Исследование колебаний распределенных систем

Методом Рэлея определена собственная частота поперечных колебаний балки.

Частота продольных колебаний. с-1. Подойдем к этому вопросу с другой стороны.

Основные термины (генерируются автоматически): форма колебаний, скорость звука, распределенная нагрузка...

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Численный метод решения уравнения колебаний балки при...

Рассматривается задача численного решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий.

Начальные возмущения для задачи считаются известными.

Для проверки будем использовать начальные условия , и в качестве точки отсчёта возьмём шаг .

Расчет напряженно-деформированного состояния цилиндрической...

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

Рис. 1. График зависимостей продольных напряжений σр в заглубленном трубопроводе от.

Подкрепление оболочки цилиндрическими панелями резко снижает влияние ее начальных несовершенств формы на...

Расчёт фундаментных плит методом конечных элементов

Геометрическая нелинейность в задаче расчета... Использование линейных моделей для расчета напряженно-деформированного

Модель продольных перемещений заглубленного трубопровода при воздействии ударной нагрузки. Поиск допустимого управления в задаче...

Сравнение расчетных схем для оценки... | Молодой ученый

В работе рассмотрена прочностная надежность одного из главных элементов поршневого двигателя, поршневого пальца. Проведено сравнение расчетных схем для оценки напряженно-деформированного состояния поршневого пальца. Выведены формулы для оценки изгибных...

Совершенствование методов расчета и новые конструктивные...

Необходим учет пространственной работы сооружения, выбор расчетной модели с учетом физической, геометрической и конструктивной нелинейности системы, анализ нелинейной упругости, ползучести и релаксации материалов и т. д. Надо исследовать всё то, что...

Результаты расчета оценочных параметров устойчивости...

Устойчивость движения автомобиля зависит от многих факторов и параметров. Работы многих исследователей посвящены изучению этого вопроса. Авторами статьи сделано предположение о влиянии на величины расчетных оценочных параметров устойчивости движения...

Похожие статьи

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

При учете геометрической нелинейности эта погрешность значительно уменьшается.

После этого найденное решение подставляется в вектор дополнительных узловых сил (4), который

решение задачи с учетом геометрической нелинейности. Рис. 2. Зависимость прогибов от...

Анализ работы вантовых элементов конструкций с внешним...

Ключевые слова: колебания вант, вантовые мосты, собственные колебания, внешний сосредоточенный демпфер.

Рис. 3. Расчетная схема ванта с внешним сосредоточенным демпфером. В данной задаче при расчете колебаний ванта, также учтено собственное...

Исследование колебаний распределенных систем

Методом Рэлея определена собственная частота поперечных колебаний балки.

Частота продольных колебаний. с-1. Подойдем к этому вопросу с другой стороны.

Основные термины (генерируются автоматически): форма колебаний, скорость звука, распределенная нагрузка...

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Численный метод решения уравнения колебаний балки при...

Рассматривается задача численного решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий.

Начальные возмущения для задачи считаются известными.

Для проверки будем использовать начальные условия , и в качестве точки отсчёта возьмём шаг .

Расчет напряженно-деформированного состояния цилиндрической...

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

Рис. 1. График зависимостей продольных напряжений σр в заглубленном трубопроводе от.

Подкрепление оболочки цилиндрическими панелями резко снижает влияние ее начальных несовершенств формы на...

Расчёт фундаментных плит методом конечных элементов

Геометрическая нелинейность в задаче расчета... Использование линейных моделей для расчета напряженно-деформированного

Модель продольных перемещений заглубленного трубопровода при воздействии ударной нагрузки. Поиск допустимого управления в задаче...

Сравнение расчетных схем для оценки... | Молодой ученый

В работе рассмотрена прочностная надежность одного из главных элементов поршневого двигателя, поршневого пальца. Проведено сравнение расчетных схем для оценки напряженно-деформированного состояния поршневого пальца. Выведены формулы для оценки изгибных...

Совершенствование методов расчета и новые конструктивные...

Необходим учет пространственной работы сооружения, выбор расчетной модели с учетом физической, геометрической и конструктивной нелинейности системы, анализ нелинейной упругости, ползучести и релаксации материалов и т. д. Надо исследовать всё то, что...

Результаты расчета оценочных параметров устойчивости...

Устойчивость движения автомобиля зависит от многих факторов и параметров. Работы многих исследователей посвящены изучению этого вопроса. Авторами статьи сделано предположение о влиянии на величины расчетных оценочных параметров устойчивости движения...

Задать вопрос