Разработка нестандартного интегрированного урока для учащихся XI класса на тему «Решение стереометрических задач с Cabria 3D» | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Несмотря на коронавирус, электронный вариант журнала выйдет 6 июня.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №19 (309) май 2020 г.

Дата публикации: 12.05.2020

Статья просмотрена: 1 раз

Библиографическое описание:

Лисина, Т. А. Разработка нестандартного интегрированного урока для учащихся XI класса на тему «Решение стереометрических задач с Cabria 3D» / Т. А. Лисина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 19 (309). — С. 474-479. — URL: https://moluch.ru/archive/309/69893/ (дата обращения: 29.05.2020).



В статье представлена разработка интеграция уроков математики и информатики, на основе компонентов которых строится урок включающий в себя эстетическое воспитание. Для учащихся, представлены задачи различных типов и их разбор с помощью взаимодействия с программой помогающей создавать точные и эстетически привлекательные чертежи.

Ключевые слова: эстетическая культура, модель, стереометрия.

Неизбежность внедрения процессов информатизации и цифровизации образования ставит перед каждым учителем актуальную цель, которая включает в себя освоения компьютерных средств как нового инструмента организации организации обучения с целью повышения мотивации школьников и их познавательного интереса, учучшение содержания предмета и открытие новых видов его освоения. Стереометрия является одним из тех разделов математики, который вызывает у обучающихся трудности при решении задач, выявлении отдельных элементов чертежа. Именно при обучении стереометрии учителя используют различные модели фигур, будь то, каркасные или телескопические модели и даже комбинированные конструкции, которые включают и развертку фигур и наборы для сбора различных многогранников поэтому очевидно, что использование компьютерных средств будет наиболее эффективно в данной области. На основе данной мысли можно придти к выводу о том, что для эффективности усвоения знаний на уроках стереометрии важно использовать интегрированные уроки, связывая такие предметы как геометрия и информатика. С помощью готовых интерактивных моделей, продемонстрированных на интерактивных панелях (досках) можно иллюстрировать геометрические фигуры, доказывать теоремы, определять сечения и многое другое. Но все же есть ряд задач, для решения которых использование готовых чертежей неуместно. К примеру, задачи на построение сечений, углов, расстояний, где в первую очередь нужно сообразить как устроены рассматриваемые в них элементы. В данном контексте для использования подразумеваются программы, использующие виртуальное трехмерное моделирование и контруирование, реализующие интерактивность для учащихся. Итак, продемонстрируем данный урок стереометрии с использование интерактивных ресурсов информатики. Для формирования эстетической культуры обучающихся вспомним, что говорилось о модели использования геометрических задач. При использовании цифровых ресурсов для решения задачи так же можно выявить как внешнюю, так и внутренюю эстетику.

Целью урока является формирование эстетической культуры учащихся.

Задачи урока:

− сформировать умения различать виды геометрических задач;

− сформировать умения работать а программах Cabri 3D и Geogebra;

− рассмотреть решение задач на различных уровнях развития эстетического воспитания.

Тип урока: объяснительно иллюстративный с элементами интеграции.

Ход урока

Актуализация знаний. На данном этапе урока стоит вспомнить с учащимися основные понятия относящиеся к теме урока. Так же провести небольшой инструктаж по программам, которые будут использоваться на уроке.

Решение задач с помощью программы Cabri 3D. Рассмотрим задачу с эстетически привлекательной формулировкой и не менее привлекательным чертежом.

Задача 1. ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей, М — точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат на плоскости α. Вычислить площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

Учащимся предлагается сделать чертёж к задаче, но уже не в тетрадях, а в программе. Составление чертежа сопровождается комментариями учителя (рисунок 1, a).

Рис. 1. Чертеж к задаче 1

Решение: 1) В ходе выполнения чертежа предлагается ответить на вопросы:

  1. Лежат ли в плоскости α точки В и С?

На данный вопрос учащиеся смогут сразу ответить рассмотрев чертеж в программе с разных ракурсов

  1. Лежит ли в плоскости МОВ точка D?

OB ∈ MOB, D∈OB, то D∈MOB

  1. Назовите линию пересечения плоскостей MOB и ADO.

O∈MOB, O∈ADO⇨MOB∩ADO=BO, но так как BO — часть DB, то MOB∩ADO=DB

Учитель должен обратить внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

  1. По какой формуле можно найти площадь ромба?

Ответ на этот вопрос можно дать несколькими способами, что и требуется сделать по условию задачи

  1. способ. (см2) (по квадрату стороны и синусу угла между сторонами)
  2. способ. Нахождение площади через высоту и сторону ромба, поэтому достроим высоту на основании пирамиды ABCDM (рисунок 1, b)

Так как высота неизвестна, сначала нужно ее найти.

1) A=60°, AD=4, ∠DHA=90° ⇨ ∠ADH=30°, тогда катет AH=

2) Так как известен один из катетов и гипотенуза, то DH=

3) Так как DH=, AD=4 ⇨ (см2)

Таким образом в этой задаче можно увидеть не только простоту решения и чертежа, но и различные способы решения задачи. У учащихся в результате решения представленой задачи, формируются: чувственно эмоциональный компонент эстетического воспитания, где учащиеся могут самостоятельно определить внешне эстетически привлекательную задачу

Следующая задача прикладного типа, используется на прикладном уровне.

Задача 2. Египтяне, построив четырехугольную правильную пирамиду с высотой h через точку на боковом ребре, лежащую на расстоянии от плоскости основания, построили еще один уровень внутри в виде плоскости, параллельной плоскости основания, которая отсекает от пирамиды меньшую пирамиду. Найдите объем полученной меньшей пирамиды, если объем исходной пирамиды равен 54.

Снова составим рисунок с помощью программы (рисунок 2, a).

Рис. 2. Правильная пирамида к задаче 2

Решение: Пусть плоскость провели через точку А1 на ребре AS.

1) Так как эта плоскость параллельна плоскости основания, то она пересекает боковые грани по прямым A1B1, B1C1,C1D1, D1A1, параллельным соответственно AB, BC, CD, DA, причем SA1B1C1D1 тоже правильная четурехугольная пирамида

2) Рассмотрим плоскость ASO. Проведем (SO — высота исходной пирамиды) ⇨ , значит расстояние равно , на котором от плоскости основания проведена плоскость A1B1C1D1 (рисунок 3, b)

3) Следуя из пункта 3,

4) Из 4 пункта следует, что SQ=⇨∆ASB∼∆A1SB1

5)

Ответ: 16

В данной задаче использовался метод дополнительных построений. Для учащихся эффективно использовать прикладные задачи, так как на данном уровне развивается чувство прекрасного и ощущается взаимосвязь с реальным миром и реальными представлениями объекта, выбор тех или иных признаков обосновывается целесообразностью математического объекта, а программа 3D редактора помогает учащимся увидеть объект с разных ракурсов и разглядеть принадлежность элементов той или иной плоскости.

Следующий, процессуальный уровень, связан с задачами которые уже имеют внутренний эстетический аспект, то есть, используются задачи, которые имеют красивый способ или метод решения. Разберем одну из таких задач.

Задача 3. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точка M — середина ребра BC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей FSM и ASB.

б) В каком отношении плоскость FSM делит отрезок, соединяющий точку A с серединой ребра SD?

Для начала, стоит привлечь внимание учащихся на том, что пирамида не обязательно правильная, поэтому рассмотрим общий случай, неправильную пирамиду. Первое, что нужно сделать это построить чертеж с помощью уже ранее использованной програмы, снова с коментариями для учащихся (рисунок 3, a)

Рис. 3. Чертеж шестиугольной пирамиды SABCDEF

а) 1) Построим линию пересечения плоскостей: проведем прямую FM∈SFM, FM∈ABCDEF, проведем прямую AB∈ASB, AB∈ABCDEF

2) Прямые FM ∩AB в точке Q, точка Q∈FSM, Q∈ASB, аналогично, точка S∈FSM, S∈ASB, поэтому линия пересечения плоскостей может быть проведена через S и Q. Посмотрим как будут выглядеть обе плоскости, попросим учащихся закрасить полученные сечения(рисунок 3, b)

Теперь рассмотрим второй пункт.

б) Построим середину ребра SD с точкой A (рисунок 4, a)

Построим точку, где AP пройдет через плоскость FSM. Для этого построим проекцию AP в плоскости основания — это будет прямая AD. Далее определим точку пересечения AD и FM, ею является точка L, теперь соединим L с точкой S, пересечение LS и AP есть точка прокола (рисунок 4, b). Следующая задача — это определить отношение отрезков AN и NP, для этого определим положение точки L.

Рис. 4. Построение середины ребра SD

Развернем чертеж так, чтобы было видно только основание, с посощью интсрумента в программе Cabri 3D (рисунок 4, c)

∆BMF∼∆FQL (коэфициэнт подобия равен 2) ⇨. Обозначим сторону основания пирамиды за ɑ и получим

Вернемся в программу и рассмотрим элементы полученного чертежа подетально, для решения следующего этапа задачи(рисунок 5).

стереометрия

Рис. 5. Чертеж в деталях

На основе разобранных элементов чертежа можем применить теорему Минелая:. Так как

Отсюда получаем ответ , но у данной задачи есть еще один не менее красивый способ решения, рассмотрим и его. В представленной задаче процессуального уровня обоснование базируется на критериях эстетической привлекательности процесса решения задачи, что и было сделано при ее решении.

Следующий уровень, теоретический, подразумевает решение задач, где присутствуют эстетически привлекательные задачи с использованием обобщения и выдвижения гипотез.

Задача 4. Песочные часы состоят из двух одинаковых усеченных конусов, плоскости оснований которых параллельны. Высота песочных часов H=16. Радиус окружности, являющейся пересечением боковых поверхностей конусов, равен 1. Тангенс половины угла раствора каждого конуса равен. Найдите объем песочных часов V, умноженный на .(рисунок 6, a)

Изобразим чертеж к данной задаче с помощью инструментов использвемой нами программы

Рис. 6. Изображение песочных часов и их сечение с помощью программы Cabri3D

Рассмотрим сечение конусов плоскостью α, проходящей через их общую ось вращения (рисунок6, b)

1) На рисунке в плоскости α: DI — ось вращения конусов, отрезок DI совпадает с высотой песочных часов и равен 16.

2) Отрезки CD и DE являются радиусами окружности, лежащей в верхнем основании фигуры, а отрезки BO и OF являются радиусами окружности пересечения конусов, отсюда следует BO=OF=1.

3) Угол верхнего конуса ∠CKE делится пополам осью вращения на равные углы , поэтому .

4) Рассмотрим и Плоскости оснований конусов и плоскость, содержащая окружность пересечения конусов, параллельны друг другу ⇒ рассматриваемая плоскость сечения α будет пересекать эти плоскости по прямым, параллельным друг другу ⇒ .

5) Ось вращения перпендикулярна плоскостям оснований и плоскости пересечения конусов ⇒ △CKD и △BKO — прямоугольные треугольники.

6) Так как

7)

8) Объем усеченного конуса CBOFEDC можно посчитать как разность объемов конуса KCDE и конуса KBOF:

.

9) Объем песочных часов складывается из двух объемов усеченного конуса, так как ситуация с нижним конусом полностью аналогична ситуации с верхним конусом в силу симметрии задачи, поэтому их объемы совпадают объем песочных часов равен V=2⋅.

10) Помножим на получаем: V=2⋅496. Ответ: 496

На основе представленной задачи можно предложить учащимся составить задачу обратную данной или с каким-либо неизвестными компонентами, тем самым, развивая у учащихся логическое мышление. В данной задаче, обусловленной теоретическим уровнем, представлена цепочка умозаключений, которые привели к желаемому результату.

Таким образом, при решении задачи с использованием вспомогательных электронных средств, у учащихся в результате решения представленых задач, формируются три основных компонента: чувственно — эмоциональный, где основным объектом привлекательности является сама формулировка задачи и чертеж, рациональный обоснование ее эстетической привлекательности и деятельностный, который способствует созданию чертежа к рисунку или решению задачи эсетически привлекательным способом или методом, выбранным и обоснованным на базе рационального компонента.

Литература:

  1. Мамедяров, Д. М. Эстетическое воспитание учащихся на уроках математики / Д. М. Мамедяров. — Текст: непосредственный // Личность, семья и общество: вопросы педагогики и психологии: сб. ст. по матер. XLIX междунар. науч.-практ. конф.. — 2015. — № 2. — С. 49.
  2. Белошистая Задачи на построение в школьном курсе геометрии / Белошистая, В. А. — Текст: непосредственный // Математика в школе. — 2002. — № 9. — С. 47–50.
  3. Загвязинский, В. И. Исследовательская деятельность педагога: учеб.пособие / В. И. Загвязинский. — М.: Академия, 2008. — 176 с.
  4. Саранцев, Г. И. Как сделать обучение математике интересным: кн. для учителя / Г. И. Саранцев. — М.: Просвещение, 2011. — 160 с.
  5. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе [текст] / Г. И. Саранцев. — М.:Владос, 2005. — 183с.
Основные термины (генерируются автоматически): задача, FSM, плоскость, рисунок, учащийся, плоскость основания, SABCDEF, MOB, ASB, решение задач.


Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Начнем построение с основания пирамиды (построение основания удобно выполнять на полотне 2D, связанном с полотном 3D).

Обучение решению арифметических задач | Статья в журнале...

В процессе решения арифметических задач учащиеся учатся планировать и контролировать свою деятельность, овладевать приёмами, самоконтроля (проверка задачи прикидка задач и т. д.) у них воспитывается настойчивость, воля, развивается интерес к поиску решения задачи.

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

В каких плоскостях лежат основания цилиндра? (В параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость перейдет тоже в параллельную).

Решение многих стереометрических задач целесообразно свести к решению задачи планиметрических.

Перспектива и тени в архитектурных задачах | Статья в журнале...

Рис. 1. Условие задачи. Укажем на ортогональном чертеже условия задачи положение картинной плоскости t и выберем точку

Сдвинем одно из вертикальных ребер в картинную плоскость в любом направлении. Отложим на нем от основания картины от точки 50...

Частые ошибки при построении CSG-моделей | Статья в журнале...

решение задачи пространственной локализации треугольника одного примитива, относительно другого. Ошибки впервом этапе.

Если же два треугольника лежат в одной плоскости, то задача разбиения треугольников по линии пересечения будет решаться совершенно иначе.

Обучение учащихся использованию дополнительных построений...

4. Рассмотрим данную задачу на плоскости (рис.2). Проведем радиусы из центра круга к

5. Данилова Е. Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач.

Ключевые слова. обучение решению геометрических задач, дополнительное построение...

Невозможные фигуры и их моделирование | Статья в журнале...

Задачи исследования: Изучить виды и составить классификацию невозможных фигур.

невозможная фигура — это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного

При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура.

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

GeoGebra как средство решения стереометрических задач. Решение задачи, неважно какой сфере она принадлежит, начинается с её

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Решение задач с применением метода геометрических...

Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач...

Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Начнем построение с основания пирамиды (построение основания удобно выполнять на полотне 2D, связанном с полотном 3D).

Обучение решению арифметических задач | Статья в журнале...

В процессе решения арифметических задач учащиеся учатся планировать и контролировать свою деятельность, овладевать приёмами, самоконтроля (проверка задачи прикидка задач и т. д.) у них воспитывается настойчивость, воля, развивается интерес к поиску решения задачи.

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

В каких плоскостях лежат основания цилиндра? (В параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость перейдет тоже в параллельную).

Решение многих стереометрических задач целесообразно свести к решению задачи планиметрических.

Перспектива и тени в архитектурных задачах | Статья в журнале...

Рис. 1. Условие задачи. Укажем на ортогональном чертеже условия задачи положение картинной плоскости t и выберем точку

Сдвинем одно из вертикальных ребер в картинную плоскость в любом направлении. Отложим на нем от основания картины от точки 50...

Частые ошибки при построении CSG-моделей | Статья в журнале...

решение задачи пространственной локализации треугольника одного примитива, относительно другого. Ошибки впервом этапе.

Если же два треугольника лежат в одной плоскости, то задача разбиения треугольников по линии пересечения будет решаться совершенно иначе.

Обучение учащихся использованию дополнительных построений...

4. Рассмотрим данную задачу на плоскости (рис.2). Проведем радиусы из центра круга к

5. Данилова Е. Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач.

Ключевые слова. обучение решению геометрических задач, дополнительное построение...

Невозможные фигуры и их моделирование | Статья в журнале...

Задачи исследования: Изучить виды и составить классификацию невозможных фигур.

невозможная фигура — это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного

При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура.

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

GeoGebra как средство решения стереометрических задач. Решение задачи, неважно какой сфере она принадлежит, начинается с её

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Решение задач с применением метода геометрических...

Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач...

Задать вопрос