О граничном аналоге теоремы Морера | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 марта, печатный экземпляр отправим 11 марта.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №3 (293) январь 2020 г.

Дата публикации: 20.01.2020

Статья просмотрена: 6 раз

Библиографическое описание:

Мамбетов А. Б., Беглербеков Р. Ж. О граничном аналоге теоремы Морера // Молодой ученый. — 2020. — №3. — С. 12-16. — URL https://moluch.ru/archive/293/66313/ (дата обращения: 24.02.2020).



Equation Chapter 1 Section 1

В статье доказана граничная теорема Морера для одной области Зигеля первого рода, определенная в пространстве комплексных симметрических матриц.

Ключевые слова: голоморфная функция, матрица, область Зигеля, голоморфное продолжение, ядро Пуассона, автоморфизм, унитарные преобразования, интеграл Пуассона, вещественно-аналитическая функция.

В монографии У.Рудина [1,с.295] доказан следующий результат:

если функция непрерывна на границе единичного шара из и интеграл

для всех (голоморфных) автоморфизмов единичного шара, то функция голоморфно продолжается в шар.

Обобщая этот результат на случай различных круговых областей, заменяя границу области ее остовом, А. М. Кытманов, С. Косбергенов, С. Г. Мысливец получили ряд известных результатов, называемых многомерным граничным аналогом теоремы Морера [2–4]. Все эти результаты являются существенно многомерными, так как на комплексной плоскости они неверны. В данной статье мы доказываем граничную теорему Морера для одной области Зигеля первого рода, определенную в пространстве комплексных симметрических матриц.

Рассмотрим в пространстве , , область , состоящая из всех квадратных симметричных матриц порядка с комплексными элементами :

.

Здесь знак означает положительную определенность эрмитовой матрицы .

Граница области состоит из матриц , для которых эрмитова матрица положительно полу определена: ее собственные значения неотрицательны и хотя бы одно равно нулю. На имеется множество, состоящее из вещественно симметрических матриц :

, которое называется остовом области .

Область является радиальной трубчатой областью, основанием которой служит конус в пространстве , состоящий из положительно определенных симметрических матриц порядка . Такие области называются областями Зигеля первого рода [5–6].

В [6] доказано, что всякая область Зигеля первого рода биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области. В частности, рассматриваемая область биголоморфно эквивалентна классической области второго типа , определенной в пространстве , , всех квадратных симметрических матриц порядка [5], [7]:

.

Остов (граница Шилова) области состоит из всех симметрических унитарных матриц порядка . Вещественная размерность остова равна .

Через обозначим биголоморфное отображение области на :

, (1)

при этом переходит в [7].

При отображении унитарные преобразования области , переводящие точку в себя, переходят в преобразования области , оставляющие точку неподвижной. Последние преобразования мы назовем унитарными преобразованиями области и обозначим через . Они имеют вид:

(2)

здесь — унитарная матрица.

Следуя [7, §3.5] обозначим — элемент объема в , а — элемент объема в . Там же доказано следующее соотношение

, (3)

где . Так как и , то (3) можно записать в виде

. (4)

Для дальнейших целей выясним, как преобразуется при отображении (1) ядро Пуассона области [7]:

Пусть .

Лемма 1. Справедливо равенство

, (5)

где — ядро Пуассона области см. [8]:

Рассмотрим следующее вложение круга в область :

, (6)

где — фиксированная точка. Если — произвольный автоморфизм области , то множество (6) под действием этого автоморфизма перейдет в некоторый аналитический диск с границей на .

Обозначим .

Теорема. Пусть — непрерывная ограниченная функция на . Если для функции выполнено условие

для всех автоморфизмов и фиксированного , то функция голоморфно продолжается в до функции класса непрерывной вплоть до .

Доказательство. Так как инвариантно относительно унитарных преобразований (2), то условие (7) будет выполняться для произвольных

В условии (7) вместо подставляем автоморфизм , переводящий точку из в точку :

.

Тогда

Обозначим . Тогда условие (8) примет вид:

Рассмотрим следующую параметризацию многообразия :

, , , , если . Здесь — группа специальных унитарных матриц, т. е. . Нормированная мера Лебега на многообразии может быть записана в виде см. [9]:

, где — есть дифференциальная форма, определяющая положительную меру на .

Теперь умножив (9) на и интегрируя по , по теореме Фубини получаем:

где — компонента вектора , . В полученном равенстве сделаем замену :

где — есть -я компонента автоморфизма . Известно, что по лемме 3.4 из [10] .

Тогда из (11) следует

Автоморфизм имеет вид

,

где матрица невырождена и зависит только от . Поэтому, если условие (12) выполнено для компонент отображения , то оно же будет выполняться и для компонент отображения

.

Обозначив компоненты отображения через (), из (12) получим

Теперь сделаем замену переменных . Тогда с учетом (4) и (5) получим

где — нормированная мера Лебега на , а

,

— ее -компонента. Так как матрица невырождена, то условие (14) будет выполняться и для компонент отображения

Значит

для всех .

Введем следующий оператор дифференцирования:

Лемма 2. Справедливо равенство

Обозначим через интеграл Пуассона

При помощи леммы 2 из условия (15) получаем

(16)

Функция является вещественно-аналитической в области . Рассмотрим ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точки , где -мерный единичный вектор, у которого на -м месте стоит :

где — мультииндексы:

Тогда условие (16) дает нам

т. е. все коэффициенты равны нулю при . Значит все . Следовательно, функция голоморфна в области и принадлежит классу .

Теорема полностью доказана.

Литература:

  1. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из . М.: Мир, 1984.
  2. Кытманов А. М., Мысливец С. Г. Об одном граничном аналоге теоремы Мореры. Сиб. Матем. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1350–1353.
  3. Косбергенов С., Кытманов А. М., Мысливец С. Г. О граничной теореме Мореры для классических областей. Сиб. Матем. журн. 1999. Т. 40, № 3. С. 595–604.
  4. Косбергенов С. О граничной теореме Мореры для матричного шара. Известия вузов. Математика. 2001. № 4. С.28–32.
  5. Фукс Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962.
  6. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Физматгиз, 1961.
  7. Хуа Ло-кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных. М.: ИЛ, 1959.
  8. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.:Наука, 1976.
  9. Кытманов А. М., Никитина Т. Н. Аналоги формулы Карлемана для классических областей. Мат. заметки. 1989. Т. 45, № 3. С. 87–93.
  10. Koranyi A. The Poisson integral for generalized half-planes and bounded symmetric domains. Ann. Math. 1965. V.82, N2. C.332–350.
Основные термины (генерируются автоматически): область, компонент отображения, матрица, граница области, унитарное преобразование области, симметрическая матрица порядка, эрмитова матрица, единичный шар, граничная теорема, элемент объема.


Похожие статьи

О свойствах положительно определенных матриц

Теорема 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существуют элементы такие, что

Матрица называется симметрическим произведением матриц и . Если матрицы и эрмитовы, то также эрмитова.

Пусть и эрмитовы матрицы и матрица строго положительна.

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве конечномерных вектор-функций, суммируемых с квадратом модуля.

Решение трехмерного уравнения Пуассона с использованием...

В литературе по методу конечных элементов описание эрмитовых элементов начинается с бикубических элементов.

В области с границей рассмотрим следующую задачу

в остальных случаях. В нашем случае обойтись одним преобразованием (7) нельзя.

Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного...

Разработаны алгоритмы получения матрицы жесткости объемного конечного элемента, поперечное сечение которого является треугольником.

Объем элемента равен объему тела вращений ячейки расчетной области вокруг оси симметрии на единичный угол.

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

Пусть гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3]. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства дают...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Методы распознавания образов используются в различных прикладных областях. В результате сбора и первичной обработки данных формируются описания объектов или явлений. Далее возникает проблема классификации объектов...

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

В данной работе рассматривается симметричная трехдиагональная матрица размера 3х3. Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа. Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Эквивалентность кривых в планиметрии | Статья в журнале...

Её ортогональная подгруппа состоит из матриц порядка , удовлетворяющих условию , где матрица, элементы которой транспонированы

Два пути и называются G-эквивалентными, если существует такой элемент , что для любого ( , § 3). Производной го порядка от пути x(t)...

Построение формальных решений системы нелинейных...

-единичная матрица порядка . В настоящей работе рассматриваетcя вопрос построения формальных частных решения системы (1) при наличии нулевого корня характеристического уравнения (2), т. е. так называемый критический случай [2]. Этот случай, а также случай...

Похожие статьи

О свойствах положительно определенных матриц

Теорема 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существуют элементы такие, что

Матрица называется симметрическим произведением матриц и . Если матрицы и эрмитовы, то также эрмитова.

Пусть и эрмитовы матрицы и матрица строго положительна.

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве конечномерных вектор-функций, суммируемых с квадратом модуля.

Решение трехмерного уравнения Пуассона с использованием...

В литературе по методу конечных элементов описание эрмитовых элементов начинается с бикубических элементов.

В области с границей рассмотрим следующую задачу

в остальных случаях. В нашем случае обойтись одним преобразованием (7) нельзя.

Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного...

Разработаны алгоритмы получения матрицы жесткости объемного конечного элемента, поперечное сечение которого является треугольником.

Объем элемента равен объему тела вращений ячейки расчетной области вокруг оси симметрии на единичный угол.

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

Пусть гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3]. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства дают...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Методы распознавания образов используются в различных прикладных областях. В результате сбора и первичной обработки данных формируются описания объектов или явлений. Далее возникает проблема классификации объектов...

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

В данной работе рассматривается симметричная трехдиагональная матрица размера 3х3. Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа. Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Эквивалентность кривых в планиметрии | Статья в журнале...

Её ортогональная подгруппа состоит из матриц порядка , удовлетворяющих условию , где матрица, элементы которой транспонированы

Два пути и называются G-эквивалентными, если существует такой элемент , что для любого ( , § 3). Производной го порядка от пути x(t)...

Построение формальных решений системы нелинейных...

-единичная матрица порядка . В настоящей работе рассматриваетcя вопрос построения формальных частных решения системы (1) при наличии нулевого корня характеристического уравнения (2), т. е. так называемый критический случай [2]. Этот случай, а также случай...

Задать вопрос