Анализ системы уравнений «хищник — жертва» и доказательство первого и второго законов Вольтерры | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 марта, печатный экземпляр отправим 11 марта.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (292) январь 2020 г.

Дата публикации: 08.01.2020

Статья просмотрена: 19 раз

Библиографическое описание:

Сауленко Е. П. Анализ системы уравнений «хищник — жертва» и доказательство первого и второго законов Вольтерры // Молодой ученый. — 2020. — №2. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/archive/292/66101/ (дата обращения: 22.02.2020).



В данной статье рассмотрена система дифференциальных уравнений Лотки — Вольтерры, а также приведены формулировки доказательства первого и второго законов Вольтерры.

Ключевые слова: математика, дифференциальные уравнения, система Лотки — Вольтерры.

Существует множество практических приложений теории дифференциальных уравнений, одним из таковых является исследование конкуренции двух некоторых групп, называемых условно «хищниками» и «жертвами». Модель, описывающая данные взаимоотношения, была предложена в начале XX века Альфредом Лоткой и Вито Вольтеррой, работавшими независимо друг от друга.

Модель Лотки — Вольтерры представляет собой систему дифференциальных уравнений вида:

Где и — количество жертв и хищников соответственно,

— коэффициент рождаемости жертв, — коэффициент убыли хищников. При встречах хищников и жертв происходит убийство жертв с коэффициентом β, сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом .

Для данной модели Вито Вольтерра вывел три закона [1], в данной статье мы рассмотрим и приведем доказательства для первого и второго закона Вольтерры. Все законы приведены в формулировке, представленной в учебном пособии «Модели динамики популяций» С. В. Соколова [2]δ

Первый закон Вольтерры сформулирован следующим образом: «Процесс уничтожения жертвы хищником нередко приводит к периодическим колебаниям численности популяций обоих видов, зависящим только от скорости роста популяций хищника и жертвы и от исходного соотношения их численности. Колебания численности двух видов периодическое, с периодом, зависящим как от начальной численности, так и от коэффициентов системы».

Докажем его, основываясь на методе В. И. Арнольда [3].

Теорема: Фазовые кривые системы замкнуты

Доказательство: Приведем данную систему к уравнению с разделяющимися переменными вида

Его интегральные кривые совпадают с фазовыми кривыми исходной системы в области, где x, y, bx-l и k-ay отличны от 0.

Следовательно,

Аналогично можем записать , где , и . Графики функций p и q имеют вид ям (рисунок 1 и 2), тогда и график функции p+q имеет такой же вид.

Рис. 1. Эскиз графика функции p(x)

Рис. 2. Эскиз графика функции q(y)

Следовательно, линии уровня функции p+q являются замкнутыми кривыми (Рисунок 3), совпадающими с фазовыми кривыми исходной системы (Рисунок 4). Теорема доказана.

Рис. 3. Линии уровня функции p+q

Рис. 4. Фазовые кривые системы Лотки-Вольтерра

Из замкнутости фазовых кривых следует, что x и y меняются со временем периодически. Первый закон Вольтерры доказан.

Второй закон Вольтерры: «Средняя численность популяции для каждого вида постоянна, независимо от начального уровня, при условии, что специфические скорости увеличения численности популяций, а также эффективность хищничества постоянны. Средняя численность популяции не зависит от начальной численности, но зависит от коэффициентов системы» [2].

Докажем второй закон, основываясь на методе из [2], для этого вычислим среднее значение количества хищников и жертв для произвольной фазовой кривой в положительном квадранте.

Произведем для удобства замену . Перепишем исходную систему в виде:

Проинтегрируем первое уравнение на промежутке [0;T], где T –период колебаний.

Учитывая формулу Ньютона — Лейбница, свойства интеграла [4] и свойства периодических функций:

Получаем:

Аналогично, интегрируя второе уравнение:

Второй закон Вольтерры доказан.

Выводы:

  1. Фазовые кривые системы уравнений Лотки-Вольтерра замкнуты
  2. Численность популяций хищников и жертв меняется периодически
  3. Период колебаний зависит от начальной численности популяций и коэффициентов системы
  4. Средняя численность популяции не зависит от начального значения, но зависит от коэффициентов системы

Литература:

  1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 228 с.
  2. Соколов С. В. Модели динамики популяций: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018. 61 с.
  3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –– Новое издание, исправл. –– М.: МЦНМО, 2012. 344 с.: ил.
  4. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 6-е изд, дополн.— М.: МЦНМО, 2012. — XVIII + 702 с. Библ.: 55 назв. Илл.: 65.
Основные термины (генерируются автоматически): численность популяции, исходная система, кривой, вид, уравнение, система, период колебаний, начальная численность, линия уровня функции, коэффициент системы, жертва, эскиз графика функции.


Похожие статьи

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

Математическому моделированию системы «хищник-жертва» посвящено большое число работ [1–3, 6–8

Колебания численности связаны с реакцией популяции на внешние воздействия и внутренние

Период и амплитуда колебаний зависят от механизмов регуляции численности...

Модель Базыкина — Свирежева «хищник — жертва» для...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно

Общая численность популяций на отрезке в момент времени подсчитывается по формулам.

Поэтому колебания в системе «хищник-жертва» в рассматриваемой модели могут возникнуть...

Математическое моделирование в биологии | Статья в журнале...

Если известна скорость роста популяции v(t), то мы можем найти прирост численности популяции

Для составления дифференциального уравнения, отражающего существование бактерий в этих

Таким образом, необходимое дифференциальное уравнение имеет вид

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

К системе уравнений (1) для случая отрезка длины необходимо добавить начальные и граничные условия. В качестве начальных условий задается значение функций и в начальный момент времени: при , . В качестве граничных условий рассматриваются два варианта

Модель Базыкина-Свирежева хищник-жертва | Статья в журнале...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно

функция , система уравнений , модель , уравнение , собственное значение матрицы

Исследуется система двух дифференциальных уравнений , представляющая собой...

Математическая модель конкуренции двух популяций на...

система уравнений, уравнение, популяция, выполнение неравенства, собственное значение матрицы, общая численность популяций, общая численность популяции, значение параметров, высокая подвижность особей...

Математическая модель одиночной популяции на билокальном...

Исследуется система двух дифференциальных уравнений, представляющая собой математическую модель одиночной популяции на билокальном ареале. Рассматриваются обобщенная логистическая популяция и популяция Олли. Осуществляется поиск...

О моделях А. Д. Базыкина «хищник — жертва» | Статья в журнале...

Эта система уравнений имеет неустойчивую стационарную точку и и устойчивую и , являющуюся центром [5]. В малой окрестности этой точки происходят колебания с частотой . Все траектории этой системы образуют замкнутые циклы [6]. Модель Вольтерра не учитывает...

Похожие статьи

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

Математическому моделированию системы «хищник-жертва» посвящено большое число работ [1–3, 6–8

Колебания численности связаны с реакцией популяции на внешние воздействия и внутренние

Период и амплитуда колебаний зависят от механизмов регуляции численности...

Модель Базыкина — Свирежева «хищник — жертва» для...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно

Общая численность популяций на отрезке в момент времени подсчитывается по формулам.

Поэтому колебания в системе «хищник-жертва» в рассматриваемой модели могут возникнуть...

Математическое моделирование в биологии | Статья в журнале...

Если известна скорость роста популяции v(t), то мы можем найти прирост численности популяции

Для составления дифференциального уравнения, отражающего существование бактерий в этих

Таким образом, необходимое дифференциальное уравнение имеет вид

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

К системе уравнений (1) для случая отрезка длины необходимо добавить начальные и граничные условия. В качестве начальных условий задается значение функций и в начальный момент времени: при , . В качестве граничных условий рассматриваются два варианта

Модель Базыкина-Свирежева хищник-жертва | Статья в журнале...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно

функция , система уравнений , модель , уравнение , собственное значение матрицы

Исследуется система двух дифференциальных уравнений , представляющая собой...

Математическая модель конкуренции двух популяций на...

система уравнений, уравнение, популяция, выполнение неравенства, собственное значение матрицы, общая численность популяций, общая численность популяции, значение параметров, высокая подвижность особей...

Математическая модель одиночной популяции на билокальном...

Исследуется система двух дифференциальных уравнений, представляющая собой математическую модель одиночной популяции на билокальном ареале. Рассматриваются обобщенная логистическая популяция и популяция Олли. Осуществляется поиск...

О моделях А. Д. Базыкина «хищник — жертва» | Статья в журнале...

Эта система уравнений имеет неустойчивую стационарную точку и и устойчивую и , являющуюся центром [5]. В малой окрестности этой точки происходят колебания с частотой . Все траектории этой системы образуют замкнутые циклы [6]. Модель Вольтерра не учитывает...

Задать вопрос