Алгебраические уравнения (двухчленные, трехчленные, многочленные) | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 31 октября, печатный экземпляр отправим 4 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №50 (288) декабрь 2019 г.

Дата публикации: 15.12.2019

Статья просмотрена: 236 раз

Библиографическое описание:

Кодзоева, А. А. Алгебраические уравнения (двухчленные, трехчленные, многочленные) / А. А. Кодзоева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 50 (288). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/288/65111/ (дата обращения: 22.10.2020).



Алгебраическим уравнением (неравенством) называют уравнение (неравенство), в левой части которого находится многочлен степени 𝑛 ≥ 0, а в правой — ноль. Многочлен или полином можно рассматривать как сумму одночленов или мономов, каждый из которых представляет собой произведение с числовым коэффициентом нескольких переменных, возведенных в целые неотрицательные степени. Степенью, или порядком, монома называют сумму степеней, входящих в него переменных. Степень многочлена — наибольшая степень входящего в него монома.

Корни двучленного алгебраического уравнения n-го порядка azn + b = 0 находят по формуле z = .

В общем случае для n> 4 не существует формул, выражающих корни алгебраического уравнения через его коэффициенты. Однако справедлив результат, утверждающий наличие корня для любого алгебраического уравнения ненулевой степени.

В простейшем случае при, а=1 имеем хn -1 = 0

Тогда

а) при n= 1 имеем х — 1 = 0 <=> х = 1;

б) при n=2 имеем х² -1 = 0 <=> (х — 1) (х +1) = 0 <=> x₁ =1, х₂ = -1;

в) при n=3 имеем х³ -1 = 0 <=> (х -1) (х² + x + l) = 0<=>x = 1 — единственный действительный корень.

Можно показать, что в общем случае для двучленных уравнений хⁿ — а = 0 справедливы следующие утверждения:

1) при любом положительном, а уравнение хⁿ — а = 0 имеет:

а) при любом нечетном n (n = 2k-1, k∈N) только один действительный корень;

б) при любом четном n (n = 2k, k∈N) только два действительных корня;

2) при, а=0 уравнение хⁿ — а = 0 имеет только один корень х=0;

3) при любом отрицательном, а уравнение, хⁿ-а=0 имеет:

а) при любом нечетном n (n = 2k-1, k∈N) только один действительный корень;

б) при любом четном n (n = 2k, k∈N) не имеет действительных корней.

Пример 1. Решить уравнение.

х4–625 = 0

Решение:

х4–625 = 0 ↔ х1 = = 5, х2 = - = — 5

Ответ: {-5;5}.

Пример 2. Решить уравнение х3–27 = 0.

Решение:

х3–27 = 0 ↔ х3 = 27 ↔ х = = 3.

Ответ: {3}.

Пример 3. Решить уравнение х5 -12 = 0.

Решение:

х5–12 = 0 ↔ х5 = 12 ↔ х = .

Ответ: {}.

Пример 4. Решить уравнение х2 + 4 = 0.

Решение:

x² + 4 = 0 <=> x² = -4 <=> x є 0.

Ответ: ∅.

Пример 5. Решить уравнение x⁶+ 123 = 0

Решение:

х6 + 123 = 0 ↔ х6 = -123 ↔ x є 0.

Ответ: ∅.

Пример 6. Решить уравнения: a) x3 = 0; б) x12 = 0.

Решение:

а) х2 = 0 ↔ х = 0.

б) х12 = 0 ↔ х = 0.

Ответ: а) 0; б) 0.

Трехчленные уравнения. Биквадратные уравнения.

Алгебраическое уравнение вида ах²ⁿ + вхⁿ + с = 0 называется трехчленным, если n≥2, n∈N, а≠0, в≠0, с≠0.

При n=2 трехчленное уравнение ах⁴ + вх² + с = 0 называется биквадратным уравнением.

Заменой переменной xn=t трехчленное уравнение ах²ⁿ + вхⁿ + с = 0 преобразуется в квадратное at² + bt + с = 0.

В частности, для биквадратного уравнения замена х² = t приводит его к квадратному уравнению at² + bt + с = 0.

Пример 1. Решить уравнение x⁴-13x2+36=0.

Решение:

Имеем биквадратное уравнение. Положив x²=t, получим квадратное уравнение t²-13t + 36 = 0 <=> t₁ = 4, t₂ = 9.

Задача свелась к решению уравнений

x² = 4 <=> x₁, ₂ =±2;

x² =9 <=> х₃, ₄ =±3.

Ответ: {±2; ±3}.

Пример 2. Решить уравнение х⁴-3x2–10=0.

Решение:

Положив x² = t, получаем квадратное уравнение t²-3t-10 = 0 <=> t₁ =-2, t₂ =5.

Теперь задача сводится к решению уравнений х² = -2, х² = 5.

Уравнение х² =-2 не имеет действительных корней, уравнение х² = 5 имеет два корня x₁ =-√5, х₂=√5.

Ответ: {±√5}.

Пример 3. Решить уравнение x6–3x3+2=0.

Решение:

Имеем трехчленное уравнение. Положив x³=t, получаем

x⁶=(x³)²=t²,

Ответ: {1; ³√2}.

Многочлен степени 𝑛 = 1 называют линейным членом. В курсе математики средней школы мы сталкиваемся также с «многочленами бесконечной степени» [3, c. 63].

Полиномом (многочленом) от переменной называют выражение вида

Где аi — коэффициенты полинома, an ≠ 0 — старший коэффициент, a0 — свободный член, n — степень полинома.

Если an = 1, то полином называется приведённым. Для многочленов определены операции сложения, вычитания, умножения. Операция деления определена не для любой пары многочленов, но, как и для целых чисел, возможно деление с остатком.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn(z) на линейный многочлен z-z0 равен значению многочлена Pn(z) при z-z0.

Корнем многочлена Pn(z) называется такое число z = z0, что Pn(z0) = 0.

Рассмотрим уравнение

anzn + an-1zn-1 + … + a0 = 0, т. е. алгебраическое уравнение n-ой степени. В некоторых частных случаях корни такого уравнения выражаются через его коэффициенты по определенному правилу.

  1. Корни алгебраического уравнения второй степени az2 + bz + c = 0 находятся по формуле z1,2 = , здесь ± — два значения квадратного корня из комплексного числа.
  2. Теорема Гаусса (основная теорема алгебры многочленов).

Уравнение anzn + an-1zn-1+…+a1z+a0=0, где n Є N, ai Є C, имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный).

Рассмотрим произвольный многочлен Pn(z) ненулевой степени n. Согласно основной теореме алгебры он имеет комплексный корень z1 и поэтому делится на (z-z1), т. е. Pn(z) = Pn-1(z)* (z-z1). Если n-1>0, то многочлен Pn-1(z) имеет корень z2, тогда Pn-1(z) = Pn-2(z)* (z-z2), т. е. Pn(z) = Pn-1(z)* (z-z1)* (z-z2) и т. д.

Таким образом, из теоремы Гаусса вытекает наличие у многочлена n-ой степени ровно n корней (считая кратные).

Следствие. Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом an разлагается в произведение n сомножителей вида (z-z0), т. е. anzn + an-1zn-1+…+a1z + a0 = an (z-z1)*(z-z2)*…(z-zn), и это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

В этом разложении некоторые множители могут оказаться одинаковыми, тогда Pn(z) = an (z-z1) k1 * (z-z2) k2*…*(z-zn)ks, причем k1+ k2 + … ks = n (ki — кратность корня zi).

Из свойств сопряженных комплексных чисел вытекают некоторые результаты о корнях многочленов с действительными коэффициентами.

Теорема. Если комплексное число z0 является корнем многочлена Pn(z) с действительными коэффициентами, то сопряженное число также является корнем этого многочлена.

Доказательство. Из равенства следует равенство =0.

Следствие. Если комплексное число z0 = a0 + b0i, (b0 ≠ 0) является корнем многочлена Pn(z) с действительными коэффициентами, то этот многочлен делится нацело на квадратный трехчлен z2–2az + a2 + b2, также имеющий действительные коэффициенты.

Доказательство. Пусть Pn(z) имеет комплексный корень z0 = a + bi, тогда он имеет и корень . Следовательно, Pn(z) делится нацело на (z-z0)*(z-) = z-a-bi)*(z-a+bi) = z2–2az + a2 + b2.

Литература:

  1. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — Москва: Наука, 2015. — 544 с.
  2. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — Москва: Наука, 2014. — 832 с.
  3. Королёва Т. М. Пособие по математике для поступающих в вузы. Часть 1 / Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман — Москва: Изд-во МИИГА и К, 2015. — 144 с.
  4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — Москва: Наука, 2015. — 432 с.
  5. Литвиненко В. Н. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия / В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. — Москва: Просвещение, 2013. — 352 с.
  6. Лунц Г. Л. Функции комплексного переменного / Г. Л. Лунц, Л. Э. Эльсгольц. — Москва: Государственное изд-во физико-математической литературы, 2015. — 300 с.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, алгебраическое уравнение, корень, многочлен, биквадратное уравнение, квадратное уравнение, комплексное число, корень многочлена, общий случай, трехчленное уравнение.


Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений | Статья в журнале...

Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнениеуравнение вида ax2+ bx + c

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако...

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале...

Ключевые слова: кубическое уравнение, действительные корни, многочлен, конечные промежутки, аналитический, границы.

Так что если кубическое уравнение имеет два или три одинаковых корня, то этот способ позволяет точно аналитическими формулами найти эти корни.

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений. Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью...

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа. Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Для периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1). имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень . Используя результаты работы [5], в этой статье мы...

Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Решение однородного уравнения для уравнения (2) раскладывается по базису [6]: Метод вариации произвольных постоянных приводит к решению.

Рассмотрим характеристическое уравнение. Пусть — его корни, — его дискриминант. Выпишем базисные функции

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы.

Одной из основных задач, для решения которой применяется метод наименьших квадратов, является решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных меньше, чем...

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Статья посвящена одному из разделов теории чисел — диофантовым уравнениям — как средству реализации интеграционных связей математического образования. Учитель готовится к хорошему уроку всю жизнь… и, чтобы дать ученикам искорку знаний...

решение уравнения , коэффициент уравнения , общее решение...

. Возможны три случая: Если , то уравнение (1) имеет одно вещественное и два взаимно сопряженных комплексных решения.

. Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид : (1). Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее...

Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений | Статья в журнале...

Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнениеуравнение вида ax2+ bx + c

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако...

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале...

Ключевые слова: кубическое уравнение, действительные корни, многочлен, конечные промежутки, аналитический, границы.

Так что если кубическое уравнение имеет два или три одинаковых корня, то этот способ позволяет точно аналитическими формулами найти эти корни.

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений. Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью...

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа. Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Для периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1). имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень . Используя результаты работы [5], в этой статье мы...

Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Решение однородного уравнения для уравнения (2) раскладывается по базису [6]: Метод вариации произвольных постоянных приводит к решению.

Рассмотрим характеристическое уравнение. Пусть — его корни, — его дискриминант. Выпишем базисные функции

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы.

Одной из основных задач, для решения которой применяется метод наименьших квадратов, является решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных меньше, чем...

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Статья посвящена одному из разделов теории чисел — диофантовым уравнениям — как средству реализации интеграционных связей математического образования. Учитель готовится к хорошему уроку всю жизнь… и, чтобы дать ученикам искорку знаний...

решение уравнения , коэффициент уравнения , общее решение...

. Возможны три случая: Если , то уравнение (1) имеет одно вещественное и два взаимно сопряженных комплексных решения.

. Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид : (1). Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее...

Задать вопрос