Применение различных способов решения геометрических задач для повышения заинтересованности учеников в самостоятельной работе | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 14 ноября, печатный экземпляр отправим 18 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №48 (286) ноябрь 2019 г.

Дата публикации: 30.11.2019

Статья просмотрена: 358 раз

Библиографическое описание:

Хасанова, Р. Г. Применение различных способов решения геометрических задач для повышения заинтересованности учеников в самостоятельной работе / Р. Г. Хасанова, М. Б. Махмудова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 48 (286). — С. 165-169. — URL: https://moluch.ru/archive/286/64441/ (дата обращения: 01.11.2020).



В современной педагогике преподавательская практика точных наук показывает, что для учащихся 7–9 классов обучение предмету математики, особенно геометрии, посредством предложения разных путей решения задач является одним из лучших методов, который может привлечь внимание ученика, повысить его заинтересованность и стремление к решению задач. В качестве примера такого подхода приведем решение следующей задачи несколькими разнообразными способами из областей геометрии:

В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника .

Решение:

Пусть — точка пересечения биссектрисы и медианы , тогда треугольники и являются прямоугольными, имеют общий катет и углы при вершине равны (Рис. 1). Отсюда следует, что , значит Покажем решение данной задачи разными способами.

Рис. 1.

Способ 1. Метод координат. Поставим точку — как начало координат, расположим на ось и на ось . Найдем координаты точек , которые равны . Поскольку точка находится в центре отрезка и имеет координаты , то используя формулу координаты середины отрезка найдем координаты точки :

Получаем координаты точки . Координаты точки можно представить в виде . Поскольку точка лежит на прямой линии , то ее координаты можно найти из уравнения прямой линии , которая выглядит следующим образом:

Подставив значения в уравнение, получим:

Соответственно координаты точки . Длина отрезка , а по условию задачи , следовательно, . Таким образом получим

Зная координаты вершины треугольника, воспользуемся формулой длины между двумя точка с заданными координатами и найдем стороны треугольника :

Способ 2. Метод векторов. Сделаем следующие обозначения: (Рис. 2). Мы знаем, что . Из свойства биссектрисы угла треугольника найдем :

Рис. 2.

Согласно разности векторов , а согласно формуле длины отрезка в пропорции . Нам из условия задачи известны длины векторов . Пусть будет. Тогда возведя в квадрат векторы получим:

Теперь соответственно сложив уравнения (1) и (2) найдем :

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1) найдем :

Найдём вектор

Итак

Способ 3. Метод тригонометрических функций. Пусть . Найдем согласно теореме косинусов из треугольников

Так как , то получим следующее уравнение:

Из треугольника следует, что:

Применив теорему Пифагора в треугольнике найдем

А из :

Согласно свойствам биссектрис найдем

тогда

Способ 4. Метод равенства площадей.

Рис. 3.

Так как (Рис. 3):

так как в треугольнике — медиана, которая делит ее на две равные по площади треугольники. Поэтому

— является медианой , тогда . С другой стороны,

Используя теорему Пифагора как в способе 3, найдем стороны треугольника

Способ 5. Применение теоремы осредней линии треугольника 1. Из конца медианы точки проведем параллельную линию к биссектрисе (Рис. 4). и — станет средней линией . Но и — станет средней линией , поэтому

Рис. 4.

Тогда,

Теперь, как и в предыдущих способах стороны можно найти с помощью теоремы Пифагор:

Способ 6. Применение теоремы осредней линии треугольника 2. Проведем параллельную линию (Рис. 5). Так как — средняя линия треугольника , отсюда следует, что — точка пересечения медиан , тогда:

Рис. 5.

Тогда

Теперь, как и в предыдущих способах стороны можно найти с помощью теоремы Пифагор:

Способ 7. Применение подобии треугольников. Пусть — точка пересечения отрезков и (Рис. 6). Треугольник — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому

.

http://www.problems.ru/show_document.php?id=1548237

Рис. 6.

По свойству биссектрисы треугольника .

Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда .

Из подобия треугольников и следует, что .

Поэтому . Следовательно, .

Таким образом, хотелось бы отметить, что привлечение учеников всевозможными способами к изучению материала — это первостепенная задача преподавателя, и использование разнообразных решений одной и той же задачи может вызвать конкурентоспособность среди учеников. Выяснение того, кто каким методом решил и чей способ решения наиболее оптимален, может вызвать большой интерес учеников.

Литература:

  1. Василевский А. Е. Методы решения математических задач. Минск, 1969.
  2. Литвиненко В. Н. Практикум по решению задач школьной математики (Геометрия). Выпуск IV. — М.: Просвещение, 1989.
  3. Шарипов Дж; Бурхонов У. Геометрия. Китоби дарси барои синфи 7–9 мактаби миёна. — Д.:Маориф, 2003.
  4. Пагарелов А. В. Геометрия. Китоби дарси барои синфи 7–9 мактаби миёна. — Д. 1993, 334 сах.
Основные термины (генерируются автоматически): координата, линия треугольника, сторона треугольника, треугольник, параллельная линия, подобие треугольников, помощь теоремы, предыдущий способ стороны, прямая линия, уравнение, условие задачи.


Похожие статьи

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треугольника по заданным сторонам треугольника, являются частными случаями

Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые...

Решение задач с применением метода геометрических...

Если на сторонах произвольного треугольника АВС построены треугольник АВМ, ВСN, АСР и при этом выполнены следующие условия

Еще одну аналогичную задачу, в которой треугольники, построенные на сторонах данного треугольника, не являются подобными...

Интегрированный урок на тему «Треугольник и его виды»

a) Что такое треугольник? (Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех попарно соединяющих их отрезка). b) Назовите вершины и стороны треугольника, изображенного на рисунке1.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

С составлением уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о

Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику

И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде...

Сумма площадей подобных прямоугольных треугольников...

Теорема 3.2 (теорема Пифагора – формулировка на языке площадей прямоугольных треугольников). Сумма площадей подобных прямоугольных треугольников, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади подобного им прямоугольного...

Геометрические задачи в научных трудах Абу Али ибн Сины и их...

так как стороны треугольника GDЕ равны, поскольку обе они отложены циркулем на одном и том же расстоянии. Таким образом построен равносторонний треугольник. Кроме того, стороны треугольника GDС равны сторонам треугольника GЕС, каждая равна своей соответственной.

Обобщение одной из основных задач аналитической геометрии

. Так как прямая параллельна сторонам прямоугольника, то и угловой коэффициент этой прямой будет такой же, как и у прямых, проходящих через эти параллельные стороны, т. е. . Итак, мы имеем угловой коэффициент и координаты одной точки искомой прямой.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Применяя теорему Пифагора, построим прямоугольный треугольник, катет

Координатный метод решения задачи. Именно этот метод очень удобно использовать при решении задач в

Для решения данной задачи этим способ необходимо найти координаты середины SM и...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

5. В прямоугольном треугольнике отрезки, на которые высота, опущенная из вершины

Виды уравнения прямой на плоскости. Углом между прямыми в плоскости понимают наименьший

В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые можно доказать без...

Похожие статьи

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треугольника по заданным сторонам треугольника, являются частными случаями

Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые...

Решение задач с применением метода геометрических...

Если на сторонах произвольного треугольника АВС построены треугольник АВМ, ВСN, АСР и при этом выполнены следующие условия

Еще одну аналогичную задачу, в которой треугольники, построенные на сторонах данного треугольника, не являются подобными...

Интегрированный урок на тему «Треугольник и его виды»

a) Что такое треугольник? (Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех попарно соединяющих их отрезка). b) Назовите вершины и стороны треугольника, изображенного на рисунке1.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

С составлением уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о

Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику

И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде...

Сумма площадей подобных прямоугольных треугольников...

Теорема 3.2 (теорема Пифагора – формулировка на языке площадей прямоугольных треугольников). Сумма площадей подобных прямоугольных треугольников, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади подобного им прямоугольного...

Геометрические задачи в научных трудах Абу Али ибн Сины и их...

так как стороны треугольника GDЕ равны, поскольку обе они отложены циркулем на одном и том же расстоянии. Таким образом построен равносторонний треугольник. Кроме того, стороны треугольника GDС равны сторонам треугольника GЕС, каждая равна своей соответственной.

Обобщение одной из основных задач аналитической геометрии

. Так как прямая параллельна сторонам прямоугольника, то и угловой коэффициент этой прямой будет такой же, как и у прямых, проходящих через эти параллельные стороны, т. е. . Итак, мы имеем угловой коэффициент и координаты одной точки искомой прямой.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Применяя теорему Пифагора, построим прямоугольный треугольник, катет

Координатный метод решения задачи. Именно этот метод очень удобно использовать при решении задач в

Для решения данной задачи этим способ необходимо найти координаты середины SM и...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

5. В прямоугольном треугольнике отрезки, на которые высота, опущенная из вершины

Виды уравнения прямой на плоскости. Углом между прямыми в плоскости понимают наименьший

В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые можно доказать без...

Задать вопрос