Применение различных способов решения геометрических задач для повышения заинтересованности учеников в самостоятельной работе



В современной педагогике преподавательская практика точных наук показывает, что для учащихся 7–9 классов обучение предмету математики, особенно геометрии, посредством предложения разных путей решения задач является одним из лучших методов, который может привлечь внимание ученика, повысить его заинтересованность и стремление к решению задач. В качестве примера такого подхода приведем решение следующей задачи несколькими разнообразными способами из областей геометрии:

В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника .

Решение:

Пусть — точка пересечения биссектрисы и медианы , тогда треугольники и являются прямоугольными, имеют общий катет и углы при вершине равны (Рис. 1). Отсюда следует, что , значит Покажем решение данной задачи разными способами.

Рис. 1.

Способ 1. Метод координат. Поставим точку — как начало координат, расположим на ось и на ось . Найдем координаты точек , которые равны . Поскольку точка находится в центре отрезка и имеет координаты , то используя формулу координаты середины отрезка найдем координаты точки :

Получаем координаты точки . Координаты точки можно представить в виде . Поскольку точка лежит на прямой линии , то ее координаты можно найти из уравнения прямой линии , которая выглядит следующим образом:

Подставив значения в уравнение, получим:

Соответственно координаты точки . Длина отрезка , а по условию задачи , следовательно, . Таким образом получим

Зная координаты вершины треугольника, воспользуемся формулой длины между двумя точка с заданными координатами и найдем стороны треугольника :

Способ 2. Метод векторов. Сделаем следующие обозначения: (Рис. 2). Мы знаем, что . Из свойства биссектрисы угла треугольника найдем :

Рис. 2.

Согласно разности векторов , а согласно формуле длины отрезка в пропорции . Нам из условия задачи известны длины векторов . Пусть будет. Тогда возведя в квадрат векторы получим:

Теперь соответственно сложив уравнения (1) и (2) найдем :

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1) найдем :

Найдём вектор

Итак

Способ 3. Метод тригонометрических функций. Пусть . Найдем согласно теореме косинусов из треугольников

Так как , то получим следующее уравнение:

Из треугольника следует, что:

Применив теорему Пифагора в треугольнике найдем

А из :

Согласно свойствам биссектрис найдем

тогда

Способ 4. Метод равенства площадей.

Рис. 3.

Так как (Рис. 3):

так как в треугольнике — медиана, которая делит ее на две равные по площади треугольники. Поэтому

— является медианой , тогда . С другой стороны,

Используя теорему Пифагора как в способе 3, найдем стороны треугольника

Способ 5. Применение теоремы осредней линии треугольника 1. Из конца медианы точки проведем параллельную линию к биссектрисе (Рис. 4). и — станет средней линией . Но и — станет средней линией , поэтому

Рис. 4.

Тогда,

Теперь, как и в предыдущих способах стороны можно найти с помощью теоремы Пифагор:

Способ 6. Применение теоремы осредней линии треугольника 2. Проведем параллельную линию (Рис. 5). Так как — средняя линия треугольника , отсюда следует, что — точка пересечения медиан , тогда:

Рис. 5.

Тогда

Теперь, как и в предыдущих способах стороны можно найти с помощью теоремы Пифагор:

Способ 7. Применение подобии треугольников. Пусть — точка пересечения отрезков и (Рис. 6). Треугольник — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому

.

Рис. 6.

По свойству биссектрисы треугольника .

Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда .

Из подобия треугольников и следует, что .

Поэтому . Следовательно, .

Таким образом, хотелось бы отметить, что привлечение учеников всевозможными способами к изучению материала — это первостепенная задача преподавателя, и использование разнообразных решений одной и той же задачи может вызвать конкурентоспособность среди учеников. Выяснение того, кто каким методом решил и чей способ решения наиболее оптимален, может вызвать большой интерес учеников.

Литература:

1. Василевский А. Е. Методы решения математических задач. Минск, 1969.
2. Литвиненко В. Н. Практикум по решению задач школьной математики (Геометрия). Выпуск IV. — М.: Просвещение, 1989.
3. Шарипов Дж; Бурхонов У. Геометрия. Китоби дарси барои синфи 7–9 мактаби миёна. — Д.:Маориф, 2003.
4. Пагарелов А. В. Геометрия. Китоби дарси барои синфи 7–9 мактаби миёна. — Д. 1993, 334 сах.