Решение задач, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 20 марта, печатный экземпляр отправим 24 марта.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №35 (273) август 2019 г.

Дата публикации: 01.09.2019

Статья просмотрена: 737 раз

Библиографическое описание:

Султыгова, М. А. Решение задач, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям / М. А. Султыгова, Ф. М. Эсмурзиева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 35 (273). — С. 1-3. — URL: https://moluch.ru/archive/273/62216/ (дата обращения: 08.03.2021).



Человек зачастую сталкивается с разными областями деятельности, где встречается большое число задач, решение которых сводится к ОДУ. В данной статье рассматриваются определённые функциональные характеристики физических величин (температура, масса, время, давление и т. д.). Также приведены примеры различных по содержанию задач, решение которых приводится к одинаковым или сходным ДУ.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, общее решение, начальное условие, интегралы по частям.

Пример 1 (размножение бактерий).

В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество бактерий. Из опыта известно, что скорость размножения бактерий прямо пропорциональна их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий с течением времени.

Решение.

Пусть t — время; R(t) — количество размножающихся бактерий в момент времени, с которого начинается размножение бактерий. Отвлекаясь от того, что значения R(t) являются натуральными числами, будем считать, что функция R(t) непрерывно-дифференцируема при . Тогда за достаточно малый промежуток времени будем иметь

где и коэффициент k зависит от вида бактерий и условий, в которых они находятся, его определяют экспериментально; — среднее значение количества размножающихся бактерий за промежуток времени от t до , при . Поделив обе части равенства (1) на и перейдя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

Разделяя в (2) переменные и интегрируя, находим

.

Отсюда

Формула (3) определяет общее решение уравнения (2). Пользуясь начальным условием , найдём значение постоянной . Подставляя найденное значение С в (3), получим искомый закон размножения бактерий

Следует подчеркнуть, что найденный закон роста бактерий годится только для идеальных условий, т. е. сообщество бактерий располагает неограниченными ресурсами питания и не подавляется никакими средствами, кроме собственной гибели. В реальных условиях, когда уже учитывается недостаток пищи, внутренняя конкурентная борьба внутри популяции и другие факторы, закон изменения роста числа бактерий определяется по-другому.

Пример 2 (рост денежных вкладов в банке).

Сумма 0 рублей положена в банк под x % в год. Найти закон изменения суммы при условии, что приращение (т. е. проценты) начисляются непрерывно с течением времени t.

Решение.

Общая сумма вклада в результате начисления x % один раз в конце года составит

Если проценты начисляются по истечению полугодия, то

Если поквартально, то

если ежемесячно, то

В случае при начислении m раз в год общая сумма составит

а по истечении n лет

Если число m начислений процентов в год неограниченно увеличится, то

Т. к. . Заменяя в (16) n через t, получим сумму, накопившуюся по истечении времени t

В течение короткого промежутка времени dt приращение суммы N равно

которое представляет собой дифференциальное уравнение роста денежных вкладов.

Теперь на основании полученного закона роста (17) рассмотрим следующую частную задачу.

Задача. Сумма 6000 руб. положена в банк под 27 % годовых. Через какое время она составит 18000 руб.? По условию задачи N(0)=N0=6000. Тогда из формулы (17) имеем:

Отсюда

Литература:

  1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва — 1967.
  2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958
  3. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. Москва — 2005.
  4. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969
  5. http://booksshare.net/index.php?id1=4&category=biol&author=sabitov-kb&book=2005&page=165
Основные термины (генерируются автоматически): размножение бактерий, начальное условие, течение времени.


Ключевые слова

Общее решение, обыкновенные дифференциальные уравнения, начальное условие, интегралы по частям

Похожие статьи

Математическое моделирование в биологии | Статья в журнале...

Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени

1) Зная коэффициент k и начальное число бактерий , легко определить их число в любой

Если существуют факторы, препятствующие размножению бактерий (повышенная...

Оценка скорости роста бифидобактерий в питательных средах...

В статье предложено оценку скорости роста бифидобактерий в различных питательных средах проводить путем построения однопараметрических линейных моделей (без свободного члена) в процедуре «Оценка кривой» пакета программ статистического анализа данных SPSS.

Математическая модель конкуренции двух популяций на линейном...

Условие обращения в ноль функций и на границе отрезка соответствует невозможности существования популяции в этой точке, а условие обращения в ноль производных и (условие наполнения среды [12, 56, 64]) допускает свободный рост численности популяций.

О моделировании дискретно-непрерывных процессов

В данной работе процесс размножения патогенных микроорганизмов был смоделирован на практическом примере размножения бактерий E. Coli, S. Aureus и Salmonella на питательной среде (мясной фарш) в условиях комнатной температуры и влажности.

Хранение биопрепаратов на основе штаммов... | Молодой ученый

Влияние срока хранения на жизнеспособность бактериальных клеток изучалось в условиях

При этом следует отметить, что в анаэробных условиях у обоих штаммов титр в это время

лактобацилл и культивировали при температуре 38 °С в течение 48 ч, затем в условиях...

Особенности производства сырокопченых колбас

Сырокопченые продукты являются деликатесными продуктами длительного хранения, пользующимися спросом у потребителя из-за высокого качества, органолептических свойств и обладающими высокой пищевой, биологической и энергетической ценностью.

Технология микроклонального размножения хризантемы...

Технология микроклонального размножения хризантемы в условиях in vitro.

 возможность проведения работ в течение года и экономия площадей, необходимых для выращивания

Использование технологий микроклонального размножения позволяет сократить время...

О математических моделях симбиоза | Статья в журнале...

Дается краткий анализ трех моделей симбиоза двух популяций, представленных задачами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическая модель симбиоза двух популяций на отрезке представлена краевой задачей для системы двух нелинейных уравнений...

Математическая модель иммунного ответа организма...

Эти граничные условия предполагают, что клетки отсутствуют на границах отрезка, концентрация клеток в точке поддерживается постоянной (базальная мембрана не повреждена), а в точке диффузионные потоки равны нули.

Похожие статьи

Математическое моделирование в биологии | Статья в журнале...

Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени

1) Зная коэффициент k и начальное число бактерий , легко определить их число в любой

Если существуют факторы, препятствующие размножению бактерий (повышенная...

Оценка скорости роста бифидобактерий в питательных средах...

В статье предложено оценку скорости роста бифидобактерий в различных питательных средах проводить путем построения однопараметрических линейных моделей (без свободного члена) в процедуре «Оценка кривой» пакета программ статистического анализа данных SPSS.

Математическая модель конкуренции двух популяций на линейном...

Условие обращения в ноль функций и на границе отрезка соответствует невозможности существования популяции в этой точке, а условие обращения в ноль производных и (условие наполнения среды [12, 56, 64]) допускает свободный рост численности популяций.

О моделировании дискретно-непрерывных процессов

В данной работе процесс размножения патогенных микроорганизмов был смоделирован на практическом примере размножения бактерий E. Coli, S. Aureus и Salmonella на питательной среде (мясной фарш) в условиях комнатной температуры и влажности.

Хранение биопрепаратов на основе штаммов... | Молодой ученый

Влияние срока хранения на жизнеспособность бактериальных клеток изучалось в условиях

При этом следует отметить, что в анаэробных условиях у обоих штаммов титр в это время

лактобацилл и культивировали при температуре 38 °С в течение 48 ч, затем в условиях...

Особенности производства сырокопченых колбас

Сырокопченые продукты являются деликатесными продуктами длительного хранения, пользующимися спросом у потребителя из-за высокого качества, органолептических свойств и обладающими высокой пищевой, биологической и энергетической ценностью.

Технология микроклонального размножения хризантемы...

Технология микроклонального размножения хризантемы в условиях in vitro.

 возможность проведения работ в течение года и экономия площадей, необходимых для выращивания

Использование технологий микроклонального размножения позволяет сократить время...

О математических моделях симбиоза | Статья в журнале...

Дается краткий анализ трех моделей симбиоза двух популяций, представленных задачами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическая модель симбиоза двух популяций на отрезке представлена краевой задачей для системы двух нелинейных уравнений...

Математическая модель иммунного ответа организма...

Эти граничные условия предполагают, что клетки отсутствуют на границах отрезка, концентрация клеток в точке поддерживается постоянной (базальная мембрана не повреждена), а в точке диффузионные потоки равны нули.

Задать вопрос