Определение устойчивости импульсных систем управления второго порядка по коэффициентам характеристического уравнения | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Несмотря на коронавирус, электронный вариант журнала выйдет 6 июня.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №34 (272) август 2019 г.

Дата публикации: 25.08.2019

Статья просмотрена: 323 раза

Библиографическое описание:

Игнатьев, М. А. Определение устойчивости импульсных систем управления второго порядка по коэффициентам характеристического уравнения / М. А. Игнатьев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 34 (272). — С. 18-20. — URL: https://moluch.ru/archive/272/62118/ (дата обращения: 28.05.2020).



Важнейшим параметром системы автоматического управления (САУ) является ее поведение при внешнем воздействии, данный параметр определяется устойчивостью.

Устойчивость САУ — это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после каждого выхода из него в результате какого-либо воздействия [1].

Целью данной работы является выявление зависимости между коэффициентами характеристического уравнения второго порядка, описывающего импульсную САУ, и устойчивостью системы.

Импульсные САУ — это системы автоматического управления, в которых действуют сигналы, квантованные по времени [1].

Пусть дано уравнение второго порядка, описывающее импульсное САУ:

Где a,b,c, k — коэффициенты, x- входная величина, y-выходная величина.

Для того чтобы определить устойчивость системы по одному из критериев, критерию Гурвица необходимо найти передаточную функцию системы.

Передаточная функция определяется как отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях [1].

К уравнению (1) применим преобразование Лапласа:

Передаточная функция W(z):

Для того чтобы использовать критерий Гурвица для импульсных САУ в выражении (3) введем замену переменной:

Тогда:

Окончательно преобразовав выражение (4), получим:

Для уравнения второй степени, по критерию Гурвица, положительность коэффициентов при u в знаменателе передаточной функции оказывается необходимым и достаточным критерием устойчивости [1].

Исходя из вышесказанного и выражения (5) можно сделать вывод, что для устойчивости импульсной САУ второго порядка необходимо выполнение всех трех неравенств:

Для проверки верности данного вывода используем другой критерий устойчивости, корневой критерий.

Корневой метод определения устойчивости импульсной САУ: для того, чтобы импульсная система считалась устойчивой необходимо, чтобы корни характеристического уравнения принадлежали окружности на комплексной плоскости радиусом 1 и центром в начале координат [1].

Описание: тау.jpg

Рис. 1. Корневой метод определения устойчивости импульсной САУ

В ходе выполнения проверки было установлено, что критерий (6) является не полным, так как, например, при коэффициентах a=-5, b=3, c=1, неравенства (6) не выполняются, однако по корневому условию САУ является устойчивой.

Рис 2. Положение корней характеристического уравнения при a=-5, b=3, c=1 на комплексной плоскости

Поэтому, условие (6) нуждается в дополнении.

При определении устойчивости импульсной разомкнутой САУ второго порядка корневым методом, корнями уравнения будут значения: и , где x — действительная часть комплексного числа, iy — мнимая часть комплексного числа, — мнимая единица.

По теореме Виета:

(7)

То есть:

(8)

(9)

Известно, что уравнение окружности с центром в начале координат:

Следовательно:

(11)

Чтобы дискретная САУ была неустойчивой, нужно чтобы корни характеристического уравнения не выходили за пределы окружности R=1, то есть:

Объединяя найденные условия устойчивости (6) и (12), получим:

(13)

Вывод: в данной работе было выявлена зависимость (13) между коэффициентами характеристического уравнения второго порядка, описывающего импульсную САУ, и устойчивостью системы.

Литература:

  1. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. — 4-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2016. — 560 с.
Основные термины (генерируются автоматически): импульсная САУ, корневой метод, передаточная функция, характеристическое уравнение, устойчивость системы, автоматическое управление, входная величина, комплексная плоскость, комплексное число, характеристическое уравнение второго порядка.


Похожие статьи

Анализ режима устойчивости в обмотке управления магнитного...

Исследование условий устойчивости системы управления принципиально может быть выполнено путем определения знака корней характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению в системе цепи управления.

Исследование статической устойчивости Навоийской ТЭС...

Основные термины (генерируются автоматически): статическая устойчивость, квадратичная форма, характеристическое уравнение, электрическая система, система, уравнение, условие нарушения, прямой метод, общий случай, элемент матрицы. Похожие статьи.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости.

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна

Напряжение и ток. Имеется уравнение . В электротехнике за длину вектора берется не...

Робастная устойчивость системы с одним входом и одним...

Излагается метод построения системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости. Ключевые слова: система управления, неопределенность параметров, робастная устойчивость, структурно-устойчивые отображения, область устойчивости.

Синтез регулятора системы управления электроприводами...

Передаточная функция идеального дифференциального звена имеет вид

АЧХ и ФЧХ системы автоматического управления электроприводами канала ГН.

Из Рис.6 можно сделать вывод о том, что корни характеристического уравнения системы действительны и...

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки.

На рис. 2 изображена функция колебания балки в трёхмерном виде. Рис. 2. Процесс колебания балки при втором способе численного решения.

Система управления статическим компенсатором реактивной...

В теории автоматического управления для замкнутого контура с передаточной функцией известны различные критерии оптимизации с

Известно, что для настройки на технический оптимум передаточная функция всей замкнутой системы с одним контуром управления...

Построение непараметрической модели замкнутой ЛДС

то уравнение замкнутой системы имеет пятый порядок, и число оцениваемых параметров

исходная система, корректирующее устройство, передаточная функция, техническое

Передаточные функции САУ: – регулятора или устройства управления. Так как в системе...

Похожие статьи

Анализ режима устойчивости в обмотке управления магнитного...

Исследование условий устойчивости системы управления принципиально может быть выполнено путем определения знака корней характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению в системе цепи управления.

Исследование статической устойчивости Навоийской ТЭС...

Основные термины (генерируются автоматически): статическая устойчивость, квадратичная форма, характеристическое уравнение, электрическая система, система, уравнение, условие нарушения, прямой метод, общий случай, элемент матрицы. Похожие статьи.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости.

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна

Напряжение и ток. Имеется уравнение . В электротехнике за длину вектора берется не...

Робастная устойчивость системы с одним входом и одним...

Излагается метод построения системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости. Ключевые слова: система управления, неопределенность параметров, робастная устойчивость, структурно-устойчивые отображения, область устойчивости.

Синтез регулятора системы управления электроприводами...

Передаточная функция идеального дифференциального звена имеет вид

АЧХ и ФЧХ системы автоматического управления электроприводами канала ГН.

Из Рис.6 можно сделать вывод о том, что корни характеристического уравнения системы действительны и...

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки.

На рис. 2 изображена функция колебания балки в трёхмерном виде. Рис. 2. Процесс колебания балки при втором способе численного решения.

Система управления статическим компенсатором реактивной...

В теории автоматического управления для замкнутого контура с передаточной функцией известны различные критерии оптимизации с

Известно, что для настройки на технический оптимум передаточная функция всей замкнутой системы с одним контуром управления...

Построение непараметрической модели замкнутой ЛДС

то уравнение замкнутой системы имеет пятый порядок, и число оцениваемых параметров

исходная система, корректирующее устройство, передаточная функция, техническое

Передаточные функции САУ: – регулятора или устройства управления. Так как в системе...

Задать вопрос