Нахождение сил и моментов в кинематических деревьях тел

В работе рассматривается задача нахождения сил и моментов в кинематическом дереве произвольной структуры. Получены замкнутые аналитические выражения сил и моментов через динамические структуры тел.

Ключевые слова: кинематические деревья, робототехника, обратная задача динамики, динамика деревьев тел.

Введение

При построении робототехнических систем часто рассматриваются кинематические цепи тел, соединенных вращательными сочленениями, естественным обобщением данного типа систем тел является система типа кинематического дерева, то есть некоторое количество абсолютно твердых тел, связанных вращательными сочленениями в соответствии с некоторым ациклическим графом — деревом. В данной работе рассматривается задача нахождения сил и моментов, действующих между телами подобной системы.

Обозначения

Определим некоторые функции на графах, которые будем использовать:

1. — множество вершин графа ,
2. — множество ребер графа , входящих в вершину ,
3. — множество листов дерева ,
4. — множество мостов (например — пустое) исходящих из вершины и входящих в вершину ; — подграфы ,
5. — множество мостов исходящих из вершины и входящих в любую вершину графа ,
6. — минимальная длинна пути между вершинами .
7. — связная компонента графа, в которую входит вершина , для ориентированного графа предполагается сильная компонента связности,
8. — вершины данной связной компоненты.

Уравнения баланса количества движения

Рассмотрим — множество тел системы. Допустим, что структура связей между телами из множества эквивалентна некоторому дереву . То есть если то между телами имеется связь (сочленение) допускающее их относительное вращательное движение (шарнир). В сочленении действует некоторый момент и некоторая сила реакции. Рассмотрим изоморфный для ориентированный граф . Введем следующие обозначения:

1. — количество движения тела , которое считаем заданным,
2. — масса тела ,
3. — сила реакции, действующая на тело со стороны тела , при этом ,
4. — внешняя сила (по отношению ко всей системе), действующая на тело (следует заметить, что, хотя сила тяжести является внешней силой, в данной работе под силой понимается внешняя сила за вычетом силы тяжести).

Запишем уравнение баланса количества движения для тела A в предположении, что внешние силы действуют только на тела, являющиеся листьями дерева :

Возьмем теперь произвольный лист . Будем рассматривать подграф дерева построенный следующим образом:

В граф входят все вершины, расстояние до которых от заданного листа не менее фиксированного числа . Так же нам понадобится граф расстояния до вершин которого менее . Также определим изоморфные ориентированные графы . Почти очевидно следующее равенство:

Будем считать, что и . С учетом всех замечаний уравнение (1) переписывается в виде:

(2)

На основе (2) получим замкнутую форму уравнений для внутренних сил. Просуммируем (2) по телам :

Преобразуем полученное уравнение:

При этом сумма внутренних сил в равна нулю:

Выразим силу, соответствующую мосту:

Рассмотрим теперь любое ребро , такое что , тогда данное ребро является мостом от к , тогда Если же , то, используя третий закон Ньютона, получим: . Обобщая данный результат, получаем окончательную форму решения:

A внешние силы связаны условием, которое не зависит от выбора :

1. — кинетический момент тела относительно центра масс,
2. — момент в сочленении, действующий на тело со стороны тела , ,
3. — радиус-вектор неподвижной точки сочленения тел в теле относительно центра масс тела ,
4. — радиус-вектор относительно центра масс тела произвольно выбираемой точки приведения внешнего собственно момента,
5. — внешний (по отношению ко всей системе) собственно момент [1], действующий на тело , суть которого заключается в том, что общее моментное действие окружения на тело выражается посредством суммы .

Сформулируем уравнение баланса кинетического момента для тела :

Повторяя те же действия, что и для уравнения баланса количества движения, приводим уравнение баланса момента к следующему виду:

Аналогично предыдущему пункту суммированием по получаем:

Выражаем решение в общей форме

Заключение

Литература:

1. Жилин П. А. Динамика твердого тела. СПбГПУ, 2014.
2. Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПбГПУ, 2012.
3. Бабаджанянц Л. К., Пупышева Ю. Ю., Пупышев Ю. А. Классическая механика. Издательство Санкт-Петербургского Университета, 2011.
4. Оре О. Теория графов. Наука, 1980.