Планирование производственного процесса при нарушении условий выпуска продукции в задачах линейного программирования | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 30 ноября, печатный экземпляр отправим 4 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Шлейникова А. С., Ульянова Е. А., Татарченкова А. Д., Скрипцов Д. А. Планирование производственного процесса при нарушении условий выпуска продукции в задачах линейного программирования // Молодой ученый. — 2019. — №23. — С. 2-5. — URL https://moluch.ru/archive/261/60322/ (дата обращения: 16.11.2019).



В настоящее время достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в планировании экономических процессов. Однако с развитием общества произошло резкое увеличение объемов производства, появилась необходимость решать задачи планирования и управления, выработки прогнозов на будущее. Увеличилось количество информации, которую необходимо учитывать при решении таких задач, а вместе с этим и увеличилось множество причин, приводящих к невыполнению плана в установленные договором сроки. Под действием внешних и внутренних факторов в нашей задаче нахождения оптимального плана производства коэффициенты со временем могут меняться, и тогда решение задачи становится уже не актуальным. В связи с этим поставлена задача исследовать, как влияют случайные изменения коэффициентов задачи на план производства и как найти новое оптимальное решение при срыве производства.

Пусть некоторый производственный объект может выпускать n различных видов продукции (товаров). При производстве этих товаров предприятие ограничивается имеющимися ресурсами, их количества равны соответственно условных единиц. Известна экономическая выгода от продукции каждого вида, исчисляемая ценой реализации . Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. [1].

Пусть задача линейного программирования решена и вектор X=(x_1,x_2,…,x_n) — ее оптимальное решение.

Необходимо выяснить, как возмущения по вероятности коэффициентов матрицы повлияют на значение целевой функции. Нас интересуют случаи, когда ранг рандомизированной системы ограничений остается прежним и тогда рассматривается отклонение от прежнего решения с невозмущенными коэффициентами. Если же ранг матрицы изменится, то это приведет к событию, не соответствующему поставленной задаче.

Будем называть реализацию случайного отклонения допустимой, если при ней оптимальный план, полученный на последнем шаге симплекс-метода, остается оптимальным. Кроме того, мы не рассматриваем те планы производства, в которых сумма затрат превосходит полученной прибыли, т. е. значение целевой функции: , ведь тогда такой план принесет лишь убытки, хоть и будет оптимальным.

Таким образом, можно сформулировать задачу линейного программирования используя введенные определения:

коэффициенты аij и bi являются независимыми случайными величинами, а коэффициенты сj остаются постоянными

где коэффициенты выглядят следующим образом:

Так как при возмущениях оптимальное решение должно остаться оптимальным, то

С каждым случаем розыгрыша случайных величин в матрице получаются конкретные значения коэффициентов системы ограничений, что позволяет в дальнейшем использовать стандартный симплекс-метод для нахождения оптимального значения целевой функции.

Мы рассматриваем стохастическую задачу линейного программирования, то есть первоначальные коэффициенты системы ограничений нам известны, как и коэффициенты целевой функции. Поэтому нам известен оптимальный вектор и значение целевой функции эти величины не являются случайными.

Необходимо произвести оценку дисперсий случайных возмущений коэффициентов, чтобы в дальнейшем оценить возможные потери плана и выяснить при каких допустимых значениях оптимальный план остается оптимальным.

Вычислим математическое ожидание левой и правой части ограничения при i=1, j=2 (аналогичные выводы будут верны и при i=m, j=n):

Т. к. , то это соотношение совпадает с исходным ограничением. Посчитаем дисперсию:

Т. к. , то:

Аналогичные оценки можно получить и для случая, когда матрица коэффициентов имеет размерность , ведь все случайные возмущения попарно независимы:

Теперь, когда мы вывели зависимость дисперсий коэффициентов системы от дисперсий коэффициентов ограничений, можно определить доли каждой величины в . Величины известны нам из решения детерминированной задачи, а мы определяем сами, тогда можем найти:

Вычислив дисперсии случайных возмущений каждого из коэффициентов и учитывая, что их математические ожидания равны нулю, можно разыграть эти случайные величины. Далее решаем новую детерминированную задачу линейного программирования с помощью симплекс-метода с новыми коэффициентами: получаем новый оптимальный вектор и новое значение целевой функции .

Планирование может производиться на разные периоды времени, в зависимости от требований заказчика: неделя, месяц, год и т. п. Например, разработан план на 1 год. Если в некоторой временной точке (меньше года) происходит увеличение отклонения целевой функции больше, чем полученная оценка дисперсии , то тогда требуется пересмотр плана, учитывая новую . С экономической точки зрения, пересмотр плана подразумевает вмешательство плановых служб предприятия. Далее формулируются новые требования к коэффициентам системы и целевой функции для обеспечения наибольшей разности и вырабатывается новый план на оставшийся период времени по схеме, рассмотренной выше.

Разделив число успешных опытов q на их общее число Q, получим вероятность выполнения плана без каких-либо срывов производства или нарушений сроков:

Результаты исследования позволяют учитывать случайные отклонения в процессах для решения экономических задач и использовать их в прогнозировании достижения оценок.

Литература:

  1. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Советское радио, 1961.
Основные термины (генерируются автоматически): целевая функция, линейное программирование, оптимальное решение, коэффициент, оптимальный план, оптимальный вектор, величина, детерминированная задача, план производства, пересмотр плана.


Похожие статьи

Формирование оптимальной производственной программы на...

Постановка задачи определения оптимального плана производства может выполняться с различными экономическими оценками. Способ решения задачи оптимизации зависит от математического вида целевой функции и ограничений. При линейной целевой функции и...

Некоторые прикладные задачи целочисленного...

Однако найденный оптимальный план не является оптимальным планом решаемой задачи, поскольку две компоненты и не являются целочисленными. При этом дробные части этих чисел равны между собой. Поэтому для одной из этих переменных составим дополнительное...

Приложения линейного программирования к решению...

Решение задачи линейного программирования в Excel позволяет получить оптимальное

Задача линейного программирования характеризуется линейной целевой функцией

Общая задача дробно-линейного программирования в детерминированной постановке...

целевая функция, оптимальное решение задачи, ограничение...

Современные математические методы позволяют отыскать оптимальный вариант плана

Задача линейного программирования характеризуется линейной целевой функцией

Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по...

Предельная эффективность и параметрический анализ в задачах...

Оптимальное решение должно помочь руководителю хозяйства выбрать правильное решение в конкретной ситуации и в меняющихся условиях. Наряду с анализом двойственных оценок и допустимых пределов изменения коэффициентов целевой функции и объемов ограничений...

Решение задач оптимального раскроя средствами MS Excel

Библиографическое описание: Каюгина С. М. Решение задач оптимального раскроя

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в

Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов...

Решение транспортных задач с применением программирования...

Одной из задач линейного программирования является транспортная задачазадача о

Классическая транспортная задача — это задача об оптимальном плане перевозок

Следовательно, целевая функция (функция, связывающая цель с управляемыми...

Роль графического метода в принятии управленческих решений.

После нахождения области допустимых решений производится поиск оптимального решения. Для этого согласно коэффициентам целевой функции строится вектор нормали, для которого рассматривается семейство прямых, перпендикулярных нормали и называемых линиями уровня.

Наглядная программная реализация для решения транспортных...

Эффективные методы по нахождению оптимального решения Т-задач вручную занимают большое количество времени.

Давайте найдем оптимальный опорный план для заданной Т-задачи. Предполагается, что пользователь ознакомлен с необходимой теорией.

Похожие статьи

Формирование оптимальной производственной программы на...

Постановка задачи определения оптимального плана производства может выполняться с различными экономическими оценками. Способ решения задачи оптимизации зависит от математического вида целевой функции и ограничений. При линейной целевой функции и...

Некоторые прикладные задачи целочисленного...

Однако найденный оптимальный план не является оптимальным планом решаемой задачи, поскольку две компоненты и не являются целочисленными. При этом дробные части этих чисел равны между собой. Поэтому для одной из этих переменных составим дополнительное...

Приложения линейного программирования к решению...

Решение задачи линейного программирования в Excel позволяет получить оптимальное

Задача линейного программирования характеризуется линейной целевой функцией

Общая задача дробно-линейного программирования в детерминированной постановке...

целевая функция, оптимальное решение задачи, ограничение...

Современные математические методы позволяют отыскать оптимальный вариант плана

Задача линейного программирования характеризуется линейной целевой функцией

Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по...

Предельная эффективность и параметрический анализ в задачах...

Оптимальное решение должно помочь руководителю хозяйства выбрать правильное решение в конкретной ситуации и в меняющихся условиях. Наряду с анализом двойственных оценок и допустимых пределов изменения коэффициентов целевой функции и объемов ограничений...

Решение задач оптимального раскроя средствами MS Excel

Библиографическое описание: Каюгина С. М. Решение задач оптимального раскроя

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в

Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов...

Решение транспортных задач с применением программирования...

Одной из задач линейного программирования является транспортная задачазадача о

Классическая транспортная задача — это задача об оптимальном плане перевозок

Следовательно, целевая функция (функция, связывающая цель с управляемыми...

Роль графического метода в принятии управленческих решений.

После нахождения области допустимых решений производится поиск оптимального решения. Для этого согласно коэффициентам целевой функции строится вектор нормали, для которого рассматривается семейство прямых, перпендикулярных нормали и называемых линиями уровня.

Наглядная программная реализация для решения транспортных...

Эффективные методы по нахождению оптимального решения Т-задач вручную занимают большое количество времени.

Давайте найдем оптимальный опорный план для заданной Т-задачи. Предполагается, что пользователь ознакомлен с необходимой теорией.

Задать вопрос