Спектральные разложения минимального квазидифференциального оператора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №3 (26) март 2011 г.

Статья просмотрена: 79 раз

Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. Спектральные разложения минимального квазидифференциального оператора // Молодой ученый. — 2011. — №3. Т.1. — С. 29-33. — URL https://moluch.ru/archive/26/2861/ (дата обращения: 15.08.2018).

Получено спектральное разложение симметрического квазидифференциального оператора, порожденного обобщенной квазидифференциальной операцией.

1. Пусть - - матрица, где - комплекснозначных функций, определенные на и удовлетворяющих следующим условиям:

(1) в интервале для индексов, удовлетворяющих неравенствам ; (2) - локально суммируемы, т. е. для ;

(3) в промежутке для индексов.
Определим квазипроизводные следующим образом:

.

Этот подход к определению квазипроизводных и соответствующего формально самосопряженного квазидифференциального выражения предложен в работе [1]. Будем считать, что функции и их квазипроизводные до - го порядка включительно абсолютно непрерывны на любом компактном подынтервале промежутка . Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только симметрические дифференциальные выражения, то предположим, что матрица , кроме требований (1), (2) и (3), удовлетворяет также условию симметричности , где - матрица, сопряженная к матрице , - символ Кронекера. Легко убедиться, что , где - натуральное число. Предположим, что матрица совпадает с матрицей , если натуральное число - четно, и с матрицами , если натуральное число - нечетно. Можно считать, что скалярное квазидифференциальное выражение , где - мнимая единица, порождается матрицей . Квазидифференциальная операция определяет минимальный замкнутый симметрический оператор в гильбертовом пространстве .

Для любых функций и , к которым применима квазидифференциальная операция , имеет место обобщенная формула Лагранжа

, (1)

где . Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (1), получим формулу Грина ,

где . Заметим, что , где - скалярное произведение в -мерном евклидовом пространстве. - вектор-столбец, составленный из квазипроизводных . С помощью матрицы тождество Лагранжа можно переписать в виде .

Теорема 1. Пусть- матрица, удовлетворяющая условиям (1) – (3). -квазидифференциальное выражение., где - положительная функция на . Тогда для любого , любого и любых , существует единственное решение , заданное на , начальной задачи .

Доказательство в целом повторяет рассуждения, приведенные в монографии [2].

Теорема 2. Пусть , , матрица , удовлетворяет требованиям (1) – (3) и условию симметричности. Тогда для любых комплексных чисел существует функция , принадлежащая области определения оператора , такая что

2. Построим квазисамосопряженные расширения минимального квазидифференциального оператора . Предположим, что индексы дефекта оператора равны. Зафиксируем какое-либо невещественное число . Пусть - линейный оператор, отображающий дефектное подпространство в дефектное подпространство . Квазисамосопряженным расширением оператора , определяемым оператором , называется оператор , являющийся частью оператора и имеющий своей областью определения линейное многообразие элементов , где . Если - оператор, сопряженный оператору , отображающий в , то соответствующие квазисамосопряженные расширения и являются взаимно сопряженными. Охарактеризуем область определения оператора при помощи краевых условий. Пусть - какой-либо ортонормированный базис дефектного подпространства , а - ортонормированный базис в . Пусть в этих базисах оператору соответствует матрица . Следовательно, . Рассмотрим систему вектор-функций , полагая . На основании формулы Лагранжа для принадлежности вектор-функции к линейному многообразию необходимо и достаточно выполнение условия

(2.)

для всех . Согласно определению квазисамосопряженного расширения , откуда, в силу определения функций , поскольку , имеем .

3. Как известно, каждой спектральной функции оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента . При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте ; для любых функций и из и любых вещественных и имеет место равенство:

. (3)

Равенство (3) позволяет построить формулу всех спектральных функций оператора . Пусть - какая-либо обобщенная резольвента оператора и - ее характеристическая матрица. При любых вещественных определим матрицу формулой

. (4)

Формула (4) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Так как регулярна в верхней комплексной полуплоскости и , то формула (4) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Матрицу называют спектральной функцией распределения оператора , соответствующей обобщенной резольвенте .

Пусть - гильбертово пространство -мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Теорема 3. Для любой функции из пространства имеет место равенство , где ; а несобственный интеграл сходится в смысле метрики пространства .

Сначала предположим, что функция из обращается в нуль вне какого либо конечного отрезка . При любом невещественном положим . Пусть и - произвольные вещественные числа. Введем в рассмотрение функцию .

При любом и, в силу представления . С другой стороны, принимая во внимание, формулы для ядра обобщенной резольвенты, получим:

(5)

Для любого фиксированного второй интеграл в правой части этого равенства стремится к нулю при . Так как регулярная в верхней полуплоскости матричная функция с неотрицательной мнимой частью то, переходя в равенстве (5) к пределу при при любом фиксированном получим:

.

Итак, при имеет предел и в смысле слабой сходимости в , и в смысле сходимости всюду в промежутке . Но, как известно, оба этих предела совпадают, так что имеет место равенство: .

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим

Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение

.

Теорема доказана для любой вектор функции из пространства , обращающейся в нуль вне конечного отрезка .

Для любой функции из доказательство теоремы получается с помощью некоторого предельного перехода, расширяющего носитель функции [3,4,5].


Литература:
  1. Everitt, W.N. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1: The general theory / W.N. Everitt, A. Zettl // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. - V. 27, № 3. - P. 363 – 397.

  2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 526 с.

  3. Филиппенко В.И. Обобщенные резольвенты неплотно заданного квазидифференциального симметрического оператора // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, 5 – 11 сентября 2006 года, Ростов-на-Дону, изд-во ООО «ЦВВР», 2006. – С. 167 – 169.

  4. Фетисов В.Г., Филиппенко В.И., Козоброд В.Н. Операторы и уравнения в линейных топологических пространствах. – Владикавказ: ВНЦ РАН, 2006. – 432 с.

  5. Филиппенко В.И. Обобщенные спектральные функции квазидифференциального оператора // Укр. математический конгресс – 2009 / Киев: www.imath, kiev.ua/~congress 2009.

Основные термины (генерируются автоматически): любой, функция, матрица, оператор, правая часть, натуральное число, обобщенная резольвента, гильбертово пространство, конечный отрезок, линейное многообразие.


Похожие статьи

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Пусть — какая-либо обобщенная резольвента оператора и — ее характеристическая матрица. При любых вещественных определим матрицу формулой.

Литература: 1. Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве...

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Обобщенная резольвента — симметрического оператора допускает представление вида , где обобщенная спектральная функция оператора .

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Пусть — комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно операторная матрица.

. Учитывая выше сказанные фактов для спектра оператора имеем. . Теперь переходим к построению резольвенты обобщенной модели Фридрихса .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Скачать Часть 1 (pdf).

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Рассмотрим уравнение или. . Видно, что функции вида , где любая функция, а функция ортогональна к функции .

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Введем два гильбертовых пространства , в которых определены линейные операторы .

2. Как известно, каждой спектральной функции минимального оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента , определенная формулой.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

, то и тем самим появляется часть существенного спектра оператора , правее

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Пусть — какая-либо обобщенная резольвента оператора и — ее характеристическая матрица. При любых вещественных определим матрицу формулой.

Литература: 1. Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве...

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Обобщенная резольвента — симметрического оператора допускает представление вида , где обобщенная спектральная функция оператора .

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Пусть — комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно операторная матрица.

. Учитывая выше сказанные фактов для спектра оператора имеем. . Теперь переходим к построению резольвенты обобщенной модели Фридрихса .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Скачать Часть 1 (pdf).

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Рассмотрим уравнение или. . Видно, что функции вида , где любая функция, а функция ортогональна к функции .

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Введем два гильбертовых пространства , в которых определены линейные операторы .

2. Как известно, каждой спектральной функции минимального оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента , определенная формулой.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

, то и тем самим появляется часть существенного спектра оператора , правее

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора.

Задать вопрос