Рассеяние свободных электронов на точечных дефектах кристаллической решётки | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 3 августа, печатный экземпляр отправим 7 августа.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Физика

Опубликовано в Молодой учёный №21 (259) май 2019 г.

Дата публикации: 27.05.2019

Статья просмотрена: 7 раз

Библиографическое описание:

Садртдинова К. Д. Рассеяние свободных электронов на точечных дефектах кристаллической решётки // Молодой ученый. — 2019. — №21. — С. 12-16. — URL https://moluch.ru/archive/259/59549/ (дата обращения: 21.07.2019).



1. Введение

С целью повышения прочностных свойств металлических материалов их подвергают интенсивной пластической деформации (ИПД), что позволяет вводить в структуру материала различные дефекты кристаллической решетки. Их влияние на механическую прочность полученных таким образом ультрамелкозернистых материалов достаточно хорошо изучена. Для возможности анализа влияния структурных дефектов на физические свойства и прогноза их изменения в зависимости от факторов, к которым они являются чувствительными, необходимы соответствующие аналитические зависимости между ними. В частности, востребованными являются материалы, обладающие высокой прочностью и достаточной электропроводностью. Целью данной работы явилось вычисление усредненной вероятности рассеяния в единицу времени электронов на вакансиях и примесных атомах, которое позволяет определить время релаксации и соответственно вклад в удельное сопротивление указанных точечных дефектов. Сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными и получение уточненных размеров области взаимодействия электрона с вакансиями и примесными атомами позволяет повысит точность оценок.

2. Удельное сопротивление и прочность металлов, содержащих вакансии

Вклад в удельное сопротивление металлов дефектов кристаллической решетки зависит от вероятности P рассеяния электронов на них, которая определяется размерами области рассеяния. Для вычисления величины P необходимо задать вид рассеивающего потенциала.

Рассмотрим систему из Ne электронов — невзаимодействующих фермионов со спином ½, заключенных в объеме Ω при температуре T=0. Решения уравнения Шредингера для свободной частицы имеют вид плоских волн: ψk=exp(), — радиус-вектор. При этом в k — пространстве волновых чисел на каждое состояние приходится объем dVk=(2π)3/L3=(2π)3/Ω.

Плотность квантовых состояний в металле (плотность разрешенных состояний электронов в единичном интервале энергии E) равна

.(1)

На уровне Ферми , где ne — объемная плотность электронов, EFэнергия Ферми. Потенциал вакантной области U определим плотностью электронов в материале, деленной на плотность состояний: U=(2/3)EF [1]. Чтобы вычислить время релаксации τk, необходимо знать вероятность P того, что электрон в единицу времени испытает столкновение с вакансией: τk~1/P. Рассеиваются лишь электроны в окрестности энергии Ферми. Вычислим вероятность перехода электрона из состояния с волновым числом k в состояние k′ в k — пространстве. Вероятность рассеяния в телесный угол dw в единицу времени равна

,(2)

где — матричный элемент рассеяния (перехода из состояния k в состояние k′ в k — пространстве, ):

.(3)

Возмущение оператора Гамильтона примем равным потенциалу вакантной областиU. При рассеянии энергия частицы сохраняется: . Соответственно стационарное решение уравнения Шредингера запишем в виде . Область рассеяния электронов τ вакансией представим в виде куба, одна из граней которого параллельна вектору . Объем куба равен l3.

Модуль вектора равен. Тогда вероятность рассеяния (2) примет вид

,(4)

где .

Усредненная вероятность рассеяния в единицу времени по всем направлениям вектора в образце с N=CΩ=Cana вакансиями, где na — плотность атомов, C и Caобъемная и атомная концентрации вакансий соответственно, равна

.(5)

Тогда вклад в удельное сопротивление вакансий определится выражением:

.(6)

Согласно известным теоретическим оценкам [2–5] вклад в удельное сопротивление благородных металлов для одного процента вакансий равен ρV=1.5 мкОм∙см, что совпадает с экспериментальными значениями. Известны также значения, полученные рядом авторов для меди, равные 1.64 [6], 1.70 [7] и 1.73 мкОм∙см/at. % [8]. Вклад вакансий в удельное сопротивление меди, согласно формуле (6) равен мкОм∙м, или 1.0 мкОм∙см/at. %, если принять объем области взаимодействия равным l3=a3/4, где а — параметр решетки. Полученная оценка ниже известных теоретических оценок. Результат, полученный в данной работе с использованием потенциала U [1], зависит от размера области взаимодействия l и соответствует известным данным по порядку величины. Если принять значение l равным длине вектора Бюргерса b, то прирост удельного сопротивления составит 1.42 мкОм∙см/at. %. При l=1.06b мкОм∙см/at. %. Если принять l1.06b, то прирост удельного сопротивления при концентрации вакансий CVa=10–5, характерной для материалов, подвергнутых ИПД, составит 1.73∙10–3 мкОм∙см. В то же время удельное сопротивления чистой меди при комнатной температуре равно мкОм∙см [9]. Таким образом, вклад вакансий в удельное сопротивление весьма незначителен.

3. Удельное сопротивление и прочность металлов, содержащих примесные атомы

Удельное сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на легирующих атомах, может быть вычислено и по формуле (6), полученной для случая рассеяния на вакансиях. В данном случае вместо атомной концентрации вакансий Ca нужно брать атомную концентрацию атомов Ca. Результаты вычислений приводят к значению мкОм∙см при l=1.35b и Ca=6.1∙10–3 (ρa=5.15 мкОм∙см/at. %).

Согласно экспериментальным данным, электропроводимость сплава Сu-0.5wt. %Cr, подвергнутого 4 проходам равноканального углового прессования, равно 35 % IACS (=4.93∙10–8 Ом∙м) [10]. Характерное значение плотности дислокаций составляет ρtot= 8.33∙1014 m-2, вклад которых в удельное сопротивление сплава равен ρdisl.=1.42∙10–10 Ом∙м. С учетом вклада вакансий, концентрация которых может достигать значений порядка 10–5, ρ=1.73∙10–3 мкОм∙см и удельного сопротивления чистой меди, равного мкОм∙см можно определить удельное сопротивление, обусловленное легирующими атомами хрома: a=-0-V-disl.=3.19 ∙10–8 Ом∙м. Полученное значение может быть использовано для определения размеров области взаимодействия атомов с электронами. В данном случае la1.354b.

4. Выводы

Результаты, полученные по представленным в работе формулам, согласуются с экспериментальными данными по порядку величины. По известным экспериментальным данным могут быть уточнены размеры области взаимодействия электронов с дефектами кристаллической решетки, что позволяет повысить точность оценок. Область рассеяния вакансий имеет размеры l1.06b. Размер области взаимодействия для атомов составляет l1.35b. Как следует из проведенных расчетов удельное сопротивление сплава Сu-0.5wt. %Cr существенно повышают растворенные в матрице атомы хрома. Наличие вакансий и дислокаций не оказывает какого-либо заметного влияния на электропроводимость материала.

Литература:

  1. Harrison W A 1958 J. Phys. Chem. Solids 5 44
  2. Blatt F J 1956 Phys. Rev. 103 1905
  3. Abeles M F 1953 Compt. Rend. Acad. Sci. 237 796
  4. Seeger A, Stehle H 1956 Z. Phys. 146 242
  5. Blatt F J 1957 Solid State Physics 3
  6. Seeger A 1962 J. Phys. Rad. 146 242
  7. Polác J 1967 Czech. J. Phys. B17 171
  8. Fischer K 1963 Phys. Stat. Solidi 3 2035
  9. Осинцев О Е 2004 Медь и медные сплавы (Машиностроение) p 336
  10. Wei K X, Wei W., Wang F, Du Q B, Alexandrov I V., Hu J 2011 Materials Science and Engineering A528 Issue 3 1478


Задать вопрос