Описание Ω-спутников Ω-расслоенных формаций и классов Фиттинга конечных групп | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 октября, печатный экземпляр отправим 30 октября.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Горепекина А. А., Максаков С. П., Саакян А. С. Описание Ω-спутников Ω-расслоенных формаций и классов Фиттинга конечных групп // Молодой ученый. — 2019. — №13. — С. 1-6. — URL https://moluch.ru/archive/251/57581/ (дата обращения: 15.10.2019).



В работе изучаются -расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп. Получено описание строения -спутников некоторых -расслоенных формаций и классов Фиттинга конечных групп.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, класс Фиттинга, -расслоенная формация, -расслоенный класс Фиттинга.

В теории классов конечных групп центральное место занимают такие классы групп, как формации, и двойственные им классы — классы Фиттинга (см., например, [1]). Эффективным средством для изучения классов конечных групп являются функциональные методы, с помощью которых были построены такие важные классы, как локальные и композиционные формации и классы Фиттинга, -локальные и -композиционные формации и классы Фиттинга. Исследованиями таких классов групп занимались В. Гашюц, К. Дерк, Т. Хоукс, Л. А. Шеметков, В. А. Ведерников, А. Н. Скиба, Н. Н. Воробьев и многие другие (см., например, [1, 2, 5–7]).

В настоящей работе изучаются -расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп, введенные в рассмотрение В. А. Ведерниковым и М. М. Сорокиной в 1999 году [3]. Статья посвящена описанию строения -спутников ряда -расслоенных формаций и классов Фиттинга.

Рассматриваются только конечные группы. В работе используются классические методы теории групп и теории классов групп. Используемые определения и обозначения для групп и классов групп стандартны, их можно найти в [1]. Приведем лишь некоторые из них.

Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные; класс групп называется формацией, если выполняются условия:

1) если и , то ,

2) если и , то ;

Класс групп называется классом Фиттинга, если выполняются условия:

1) если и , то,

2) если и , , , то [1].

Через обозначается -корадикал группы , т. е. наименьшая нормальная подгруппа группы , фактор-группа по которой принадлежит формации ; -радикал группы , т. е. наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая классу Фиттинга . В дальнейшем обозначает множество всех простых чисел. Пусть – непустое множество групп. Через обозначается класс групп, порожденный ; в частности — класс всех групп, изоморфных группе — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы . Пусть — класс всех конечных групп, — класс всех простых конечных групп, — непустой подкласс класса . Если , то группа называется -группой. Через обозначается класс всех -групп; , [3].

  1. Equation Chapter 1 Section 1-расслоенные формации конечных групп

Функции {формации групп}, {непустые формации Фиттинга}, принимающие одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно-функцией и -функцией [4]. Формация

и для любого )

называется -расслоенной формацией с -спутником и направлением и обозначается [3]. Пусть . Направление -расслоенной формации называется -направлением, если [4].

Теорема 1.1. Пусть , , где — произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется . Тогда .

Доказательство. 1) Установим, что . Пусть . Тогда для любого . Поэтому . Так как , то и поэтому . Это означает, что и . Из и получаем, что и . Таким образом, и, значит, .

2) Покажем, что . Пусть . Установим, что . Для этого проверим, что выполняются условия: (а) и для любого (б). Так как , то . Следовательно, (а) верно. Пусть . Так как , то и поэтому . Таким образом, (б) верно. Следовательно, и .

Из 1) и 2) получаем, что . Тем самым установлено, что класс всех единичных групп является -расслоенной формацией с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

Теорема 1.2. Пусть , , где — произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется . Тогда .

Доказательство. 1) Пусть . Тогда по определению -расслоенной формации . Следовательно, .

2) Пусть . Покажем, что . Для этого проверим, что выполняются следующие условия: (а) и для любого (б). Так как и — формация, то . Поскольку то . Следовательно, (а) верно. Пусть . Так как и — формация, то Поскольку , то . Таким образом, (б) верно. Следовательно, и, значит, .

Из 1) и 2) получаем, что . Тем самым установлено, что класс всех конечных групп является -расслоенной формацией с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

Теорема 1.3. Пусть , , где произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется . Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Так как формация, то . Покажем, что для любого справедливо Действительно, так как , то . Это означает, что не существует таких , для которых . Поэтому утверждение о том, что для любого , верно. Таким образом, и .

2) Покажем, что . Пусть . Тогда (а) для любого . Далее, для любого по заданию функции выполняется (б). Таким образом, утверждения (а) и (б) выполняются одновременно. Это возможно в единственном случае, когда . Следовательно, . Таким образом, .

Из 1) и 2) получаем, что . Тем самым установлено, что класс всех конечных -групп является -расслоенной формацией с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

Теорема 1.4. Пусть , , , где -направление, -функция такая, что и для любого выполняется. Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Так как , то по заданию функции имеем . Для любого из того, что , следует, что Тогда по условию теоремы . Следовательно, достаточно показать, что . Действительно, так как и -направление, то . Поэтому и . Это означает, что . Таким образом, и .

2) Покажем, что . Пусть . Тогда . Поскольку , то для любого справедливо . Следовательно, по заданию функции для любого выполняется . Поэтому , откуда . Тогда Таким образом, и .

Из 1) и 2) получаем, что . Поэтому класс всех конечных -групп является -расслоенной формацией с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым -направлением . Теорема доказана.

Теорема 1.5. Пусть , , , , где произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется.

Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Так как , то . Для любого из следует, что Поэтому и, значит, . Тогда . Таким образом, и .

2) Покажем, что . Пусть . Тогда и для любого справедливо . Следовательно, по заданию функции для любого выполняется . Так как , то . Поэтому и, значит, .

Из 1) и 2) получаем, что . Таким образом, класс всех конечных -групп является -расслоенной формацией с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

2. -расслоенные классы Фиттинга конечных групп

Функции {классы Фиттинга групп}, {непустые формации Фиттинга}, принимающие одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно -функцией и -функцией [3]. Класс Фиттинга

и для любого )

называется -расслоенным классом Фиттинга с -спутником и направлением и обозначается [3]. Пусть Направление -расслоенного класса Фиттинга называется -направлением, если [4].

Теорема 2.1. Пусть , , где произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется . Тогда

Доказательство. 1) Установим, что Пусть Тогда . Поэтому . Таким образом, . Это означает, что . Далее, так как , то и, значит, . Поэтому второе условие из определения выполняется. Следовательно, и

2) Покажем, что . Пусть Тогда . Поэтому и . Тогда . Так как , то для любого . Так как , то . Поэтому и, значит, . Таким образом, .

Из 1) и 2) следует, что Тем самым установлено, что класс -расслоенный класс Фиттинга с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

Теорема 2.2. Пусть , где произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется Тогда

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Тогда и для любого . Следовательно, . Поэтому .

2) Покажем, что . Так как множество всех конечных групп, а состоит только из конечных групп, то .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что -расслоенный класс Фиттинга с -спутником , описанным в условии теоремы, и направлением для любой -функции . Теорема доказана.

Теорема 2.3. Пусть , , где произвольная -функция, -функция такая, что и для любого выполняется . Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что Пусть Так как и — класс Фиттинга, то . Покажем, что для любого справедливо . Действительно, так как , то и, значит, . Поскольку , то . Следовательно, утверждение о том, что для любого , верно. Таким образом, и

2) Покажем, что . Пусть . Проверим, что . Так как , то (а) для любого . С другой стороны, для любого по заданию функции выполняется (б). Из (а) и (б) следует, что и, значит, . Следовательно, Таким образом, .

Из 1) и 2) получаем, что Тем самым установлено, что -расслоенный класс Фиттинга с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

Теорема 2.4. Пусть , , , где - направление -расслоенного класса Фиттинга, -функция такая, что и для любого выполняется.

Тогда

Доказательство. 1) Покажем, что Пусть . Так как , то . Пусть. Установим, что . Поскольку и , то Отсюда следует, что Поэтому достаточно показать, что . Действительно, так как и , то . Отсюда следует, что . Таким образом, и .

2) Покажем, что . Пусть Тогда и для любого справедливо . Согласно заданию , для любого справедливо . Таким образом, и . Отсюда следует, что и, значит, .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что -расслоенный класс Фиттинга с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым -направлением . Теорема доказана.

Теорема 2.5. Пусть , , , , где произвольная -функция, -функция такая, что и для любого справедливо . Тогда

Доказательство. 1) Покажем, что Пусть Тогда , то . Пусть. Покажем, что . Так как , то . Пусть . Покажем, что . Так как и то . Отсюда следует, что по условию теоремы. Поскольку , то . Таким образом, , и поэтому

2) Покажем, что . Пусть . Тогда и для любого справедливо . По заданию для любого выполняется . Отсюда следует, что . Из следует, что . Поэтому . Так как , то .

Из 1) и 2) следует, что Тем самым установлено, что -расслоенный класс Фиттинга с -спутником , описанным в условии теоремы, и любым направлением . Теорема доказана.

Литература:

  1. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Нawkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 901 с.
  2. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen / W. Gaschutz // Math. Z. — 1963. V. 80, N 4. — P. 300−305.
  3. Ведерников, В. А., Сорокина, М. М. -расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп / В. А. Ведерников, М. М. Сорокина // Дискретная математика. — 2001. — Том 13, Выпуск 3. — С. 125–144.
  4. Ведерников, В. А. Максимальные спутники -расслоенных формаций и классов Фиттинга / В. А. Ведерников // Труды ИММ УрО РАН. — 2001. — Том 7, № 2. — С. 55–71.
  5. Воробьев Н. Н. Алгебра классов конечных групп. — Витебск: ВГУ имени П. М. Машерова, 2012. — 322 с.
  6. Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
  7. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
Основные термины (генерируются автоматически): любой, условие теоремы, группа, класс, расслоенная формация, расслоенный класс, функция, теорема, класс групп, направление.


Похожие статьи

О спутниках τ-замкнутых n-кратно Ω-расслоенных формаций...

Ключевые слова:конечная группа, класс групп, формация групп, Ω-расслоенная формация, подгрупповой функтор. Теория формаций конечных групп представляет собой один из важных разделов современной теории классов групп. Понятие формации было введено В...

О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях...

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация групп, подгрупповой функтор, Ω-композиционная формация, ω-центральная формация. Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Классом групп называется всякое множество групп...

Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых...

Тогда тоже принадлежит классу . Теорема 2. Пусть - интегрируема в и такая, что и принадлежат классу при котором . Тогда функция принадлежит классу т. е. оператор отображает пространство функций n-ая производная, которых принадлежит классу на пространство .

Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической...

Для выполнение условия (6) очевидно.

Классом групп называется всякое множество групп, содержащее вместе с.

Отметим прежде всего, что тождество Романова, на котором основано доказательство его теоремы, можно обобщить на любую аддитивную группу.

О характеристике неподвижных точек одного класса p-адических...

Для любого и обозначим. Функция называется аналитической, если она может быть

Определим функции следуюшим образом. Теорема. Пусть для неподвижных точек имеет место или .

Для доказательства теоремы при условии или достаточно доказать (см. [7]) следующее.

Сильные средние уклонений операторов Валле Пуссена

Для приближения функций из классов будем использовать операторы Валле Пуссена.

Теорема 1. Пусть , и такие,что найдутся константы и для которых выполняется условие.

2.Доказательство теорем начнем с получения некоторых вспомогательных утверждений.

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые из них заслуживают определённого внимания, так как обладают некоторой общностью и могут помочь в сложных заданиях ЕГЭ.

Аксиоматические теории в курсе математической логики

Любая аксиома является теоремой — доказательство состоит из одного шага. Аксиоматической теорией называют систему из двух множеств

Действительно, пусть C — любое высказывание противоречивой теории, содержащей теоремы A и A. Используя тавтологию A → (A → C)...

Обобщенный закон ассоциативности. Таблица Кэли

Пусть дана полугруппа . Сформулируем теорему, которая обобщает закон ассоциативности. Суть этого обобщенного закона в том, что если рассмотреть композицию любой конечной последовательности элементов полугруппы, то скобки в выражении можно расставлять любым...

Похожие статьи

О спутниках τ-замкнутых n-кратно Ω-расслоенных формаций...

Ключевые слова:конечная группа, класс групп, формация групп, Ω-расслоенная формация, подгрупповой функтор. Теория формаций конечных групп представляет собой один из важных разделов современной теории классов групп. Понятие формации было введено В...

О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях...

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация групп, подгрупповой функтор, Ω-композиционная формация, ω-центральная формация. Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Классом групп называется всякое множество групп...

Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых...

Тогда тоже принадлежит классу . Теорема 2. Пусть - интегрируема в и такая, что и принадлежат классу при котором . Тогда функция принадлежит классу т. е. оператор отображает пространство функций n-ая производная, которых принадлежит классу на пространство .

Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической...

Для выполнение условия (6) очевидно.

Классом групп называется всякое множество групп, содержащее вместе с.

Отметим прежде всего, что тождество Романова, на котором основано доказательство его теоремы, можно обобщить на любую аддитивную группу.

О характеристике неподвижных точек одного класса p-адических...

Для любого и обозначим. Функция называется аналитической, если она может быть

Определим функции следуюшим образом. Теорема. Пусть для неподвижных точек имеет место или .

Для доказательства теоремы при условии или достаточно доказать (см. [7]) следующее.

Сильные средние уклонений операторов Валле Пуссена

Для приближения функций из классов будем использовать операторы Валле Пуссена.

Теорема 1. Пусть , и такие,что найдутся константы и для которых выполняется условие.

2.Доказательство теорем начнем с получения некоторых вспомогательных утверждений.

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые из них заслуживают определённого внимания, так как обладают некоторой общностью и могут помочь в сложных заданиях ЕГЭ.

Аксиоматические теории в курсе математической логики

Любая аксиома является теоремой — доказательство состоит из одного шага. Аксиоматической теорией называют систему из двух множеств

Действительно, пусть C — любое высказывание противоречивой теории, содержащей теоремы A и A. Используя тавтологию A → (A → C)...

Обобщенный закон ассоциативности. Таблица Кэли

Пусть дана полугруппа . Сформулируем теорему, которая обобщает закон ассоциативности. Суть этого обобщенного закона в том, что если рассмотреть композицию любой конечной последовательности элементов полугруппы, то скобки в выражении можно расставлять любым...

Задать вопрос