О методе подготовительных задач | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 18 июля, печатный экземпляр отправим 22 июля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №46 (232) ноябрь 2018 г.

Дата публикации: 19.11.2018

Статья просмотрена: 7 раз

Библиографическое описание:

Красноперов, В. И. О методе подготовительных задач / В. И. Красноперов, Л. А. Красноперова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 46 (232). — С. 298-300. — URL: https://moluch.ru/archive/232/53936/ (дата обращения: 05.07.2020).



Потребность в подготовительных задачах при изучении доказательств особенно ощутима в тех случаях, когда в доказательстве используются новые непривычные для учащихся рассуждения, которыми «с ходу» овладеть достаточно трудно. Подготовительные задачи позволяют сформировать у учащихся некоторый опыт в проведении таких рассуждений и тем самым облегчить усвоение доказательства. [1. c 12]

Сказанное, например, относится к доказательству теоремы о площади криволинейной трапеции. Эта теорема является «центральной» в теме «Интеграл». С её помощью геометрический смысл понятия первообразной, а позднее обосновывается формула Ньютона-Лейбница. В действующих учебниках она формулируется следующим образом. Теорема. Пусть f-непрерывная и неотрицательная на отрезке [a;b] функция, S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис 1). Если F есть первообразная для f на отрезке [a;b], то S= F(b)-F(a).

C:\Documents and Settings\Ден\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Копия письмо.jpg

Выясним, какие подготовительные задачи целесообразно рассмотреть при изучении данной теоремы.

1. Необходимо, прежде всего учесть что в доказательстве известные учащимся понятия (приращение аргумента, приращение функции) используются в специфических условиях: функция S(x) задается не формулой, таблицей, графиком, а указанием геометрической фигуры — криволинейной трапеции; аналогичным образом представляются её значения S(x), S(x+ Δx) и приращение ΔS =S(x+ Δx) — S(x).Такая интерпретация значений функции и её приращения является новой для учащихся. Поэтому доказательство, полезно предварить следующим заданием: На рисунке 2 площадь криволинейной трапеции S есть функция от х. Укажите на этом рисунке фигуры площади которых равны S(x), S(x+ Δx) и ΔS =S(x+ Δx) — S(x).

C:\Documents and Settings\Ден\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Копия письмо.jpg

2. Определение производной тоже применяется в новой ситуации — к функции S(x). Учащихся можно подготовить к этому поставив такое задание: «Запишите определение производной применительно к функции S(x)».

3. В теореме на наглядном уровне используется понятие непрерывности функции. С этим понятием следует предварительно поработать: «Пусть f(x) — функция непрерывная в точке х0. Отметьте на оси абсцисс точки х0, x0+ Δx и точку С, лежащую между ними (рис 3). Пусть Δx стремится к 0. К чему стремится f(с)?»

C:\Documents and Settings\Ден\Рабочий стол\Чертеж.jpg

4. В теме «Интеграл» важную роль играет утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием Δx и высотой f(с), где с — некоторая точка отрезка [х; x+ Δx]. Существование такой точки с как раз и утверждает данный факт.

Учащихся полезно отдельно ознакомить с данным фактом, проиллюстрировав его на рис. 4 и предложив следующее задание: «Дана криволинейная трапеция с основанием Δx. Постройте прямоугольник, у которого основание Δx, а площадь равна площади криволинейной трапеции».

C:\Documents and Settings\Ден\Рабочий стол\Копия письмо.jpg

5. При доказательстве теоремы о площади криволинейной трапеции определение первообразной применяется в новых обозначениях. Перед рассмотрением доказательств учащимся полезно поупражняться в оперировании с новыми обозначениями: «Пусть S(x) — первообразная f(x). Поясните, что это означает. Пусть S(x) — одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)».

После разбора указанных подготовительных заданий можно перейти к изложению доказательства теоремы, которое целесообразно разбить на три части.

а) Введение функции S(x).

Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a;b] которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента х. Дадим аргументу х приращение Δx такое, что а≤ x+ Δx≤ b. Тогда приращение функции S(x) в точке х равно ΔS(x) =S(x+ Δx) — S(x) (Δx полагаем положительным).

б) Доказательство того, что S'(x)= f(x) для всех х принадлежащих [a;b]. Согласно определению производной имеем: S'(x) равна пределу отношения ΔS(x) к Δx, при стремлении Δx к нулю. Площадь ΔS(x) криволинейной трапеции с основанием Δx можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием Δx и высотой f(с), где с принадлежит [х; x+ Δx]: ΔS(x) = f(с) Δx Тогда S'(x) равна пределу f(с) при Δx стремящемуся к нулю. Поскольку с лежит между х и x+ Δx, то при Δx стремящемуся к нулю точка с стремится к х, а f(с) стремится к f(х). Поэтому предел f(с) равен f(х), при Δx стремящемся к нулю. Итак, S'(x)= f(x).

в) Доказательство равенства S = F(b) –F(a).

Мы доказали, что S(х) — первообразная для f(x) на этом же отрезке. Следовательно функции S(x) и F(х) отличаются друг от друга на некоторую константу С: S(x) = F(х) +С. При х=а это равенство примет вид 0= F(a)+С. Отсюда С = — F(a). При х = b равенство S(x) = F(х) + С примет вид S(b) = F(b) + С. Поэтому S=S(b)= F(b)-F(a), что и требовалось доказать.

Отметим, что использование метода подготовительных задач привносит в изложение доказательства некоторое своеобразие. Оно состоит главным образом в разбиении доказательства на отдельные части, что помогает лучше воспринять общий замысел рассуждений и облегчает соотнесение каждой части доказательства с выполненными ранее подготовительными заданиями.

Литература:

  1. Н. М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
Основные термины (генерируются автоматически): криволинейная трапеция, функция, приращение функции, задание, основание, отрезок, площадь, учащийся, доказательство теоремы.


Похожие статьи

Использование анализа размерностей в геометрии

При доказательстве теоремы Гиппократа применение анализа размерностей сочетается с традиционными методами решения задач геометрии и логикой. Такое сочетание расширяет эффективность использования анализа размерностей. Доказательство этой теоремы здесь...

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и

Произведение квадрата одной стороны треугольника на не прилежащий к ней отрезок второй стороны плюс

Применение теоремы Стюарта при доказательстве теорем стереометрии.

Роль задач в обучении математике | Статья в журнале...

Обучение доказательствам — одна из важнейших целей обучения математике.

Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы...

Обобщение одной из основных задач аналитической геометрии

Площадь трапеции определяется произведением полусуммы оснований на высоту трапеции, т. е. произведением средней линии на высоту (рис. 3). Тогда.

А это и доказывает, что . Из выше сказанного можно сделать следующий вывод. Какую бы прямую через мы не провели...

Функции задач в обучении математике | Статья в журнале...

Обучающие функции задач можно подразделить на функции общего характера, специального и конкретного характера.

5) Формирование умений рационализировать свою учебную работу и приемы ее оформления; воспитание способности доводить любое учебное задание до конца...

Доказательства теоремы Пифагора с точки зрения психологии

Цели и задачи проекта. Ознакомиться с биографией Пифагора, с историей теоремы Пифагора с помощью дополнительной литературы и других источников информации. Выдвинуть гипотезу и провести психологическое исследование среди учащихся на латеральные функции...

Решение задач с применением метода геометрических...

Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач...

Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе...

Ключевые слова: методика, пути изучения, понятие производной, приращение аргумента, приращение функции, геометрический смысл

Опыт показывает, что относительно нетрудно научить учащихся формулировать определение производной, вычислять производную...

Применение теоремы Паппа-Гульдена | Статья в журнале...

Эти теоремы используется в инженерной практике, особенно, если кривая или фигура сложной формы.

Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов

Можно ли аналогичным образом преобразовать криволинейные фигуры?

Похожие статьи

Использование анализа размерностей в геометрии

При доказательстве теоремы Гиппократа применение анализа размерностей сочетается с традиционными методами решения задач геометрии и логикой. Такое сочетание расширяет эффективность использования анализа размерностей. Доказательство этой теоремы здесь...

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и

Произведение квадрата одной стороны треугольника на не прилежащий к ней отрезок второй стороны плюс

Применение теоремы Стюарта при доказательстве теорем стереометрии.

Роль задач в обучении математике | Статья в журнале...

Обучение доказательствам — одна из важнейших целей обучения математике.

Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы...

Обобщение одной из основных задач аналитической геометрии

Площадь трапеции определяется произведением полусуммы оснований на высоту трапеции, т. е. произведением средней линии на высоту (рис. 3). Тогда.

А это и доказывает, что . Из выше сказанного можно сделать следующий вывод. Какую бы прямую через мы не провели...

Функции задач в обучении математике | Статья в журнале...

Обучающие функции задач можно подразделить на функции общего характера, специального и конкретного характера.

5) Формирование умений рационализировать свою учебную работу и приемы ее оформления; воспитание способности доводить любое учебное задание до конца...

Доказательства теоремы Пифагора с точки зрения психологии

Цели и задачи проекта. Ознакомиться с биографией Пифагора, с историей теоремы Пифагора с помощью дополнительной литературы и других источников информации. Выдвинуть гипотезу и провести психологическое исследование среди учащихся на латеральные функции...

Решение задач с применением метода геометрических...

Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач...

Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе...

Ключевые слова: методика, пути изучения, понятие производной, приращение аргумента, приращение функции, геометрический смысл

Опыт показывает, что относительно нетрудно научить учащихся формулировать определение производной, вычислять производную...

Применение теоремы Паппа-Гульдена | Статья в журнале...

Эти теоремы используется в инженерной практике, особенно, если кривая или фигура сложной формы.

Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов

Можно ли аналогичным образом преобразовать криволинейные фигуры?

Задать вопрос