Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана с рациональными коэффициентами



Рассматриваются вопросы разрешимости сингулярных интегральных уравнений с дробно-линейным сдвигом Карлемана в случае, когда коэффициенты уравнения рациональные функции.

The article discusses the solvability of singular integral equations with a fractional-linear Carleman shift in the case when the coefficients of the equation are rational functions.

Пусть Г — простая замкнутая кривая Ляпунова и совокупность всех определенных на Г функций , удовлетворяющих условию Гелъдера с показателем , т. е. таких что (t)- ()| А , A-const для всех t, Г. Для (t)(Г) норму определяем соотношением

=max| (t)|+sup, t,

Через (Г) (соотв. (Г)) обозначаем пространство всех функций , допускающих аналитическое продолжение в областъ (соотв. , и обращающихся в нуль на бесконечности).

Рассмотрим интеграл типа Коши.

z

и оператор сингулярного интегрирования S, определяемый

(S)(t) = t (1.1)

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. называется плотностью интеграла. Через w обозначим оператор, действующий по правилу ()(t)=. Функция называется функцией сдвига. Говорят, что сдвиг удовлетворяет условие Карлемана, если (t)=t, tГ, где (t)=, =t, k=1,2,3,…n.

Рассмотрим оператор T=, где C= D= функциональные операторы, -рациональные функции, а — взаимно дополнительные проэкторы в пространстве

Пусть Г₀ = {t: |t| = 1} единичная окружность, — сохраняющая ориентацию, удовлетворяющий условию Карлемана (n = 2) дробной-линейный сдвиг единичной окружности Г₀ на себя,

= , | | < 1

Обозначим = , ₊(t) = ₊ = , _-(t) = _- =

Тогда, функция представима в виде = ₊(t) t_-(t),

где , , причём. [] = (t), _- [] = .

Рассмотрим функциональный оператор

A = p(t)J + q(t)W, где р(t), q(t) — рациональные функции.

Предположим, что

_А(t) = p(t)p [] — q(t)q [

Тогда, оператор А, а вместе с ним, и соответствующая ему матрица-функция

A(t)

непрерывно обратимы.

Определение. Под факторизацией матрицы-функции G(t), определенной на замкнутом контуре Г₀, понимается представление G(t) в виде

G(t) = G₊(t) G_-(t), (1)

где G_±(t) суть граничные значения матрицы-функции, аналитических и невырожденных в D^±, = diag{}k₁, k₂ называются частными индексами матрицы G(t).

Так как матрица A(t) рациональная, она допускает факторизацию вида (1) (см.). При факторизации рациональных матриц-функций существенную роль играет следующая Лемма. Пусть м. –ф. B(z) аналитична в области D(₀) и det B(₀) = 0. Тогда B = CU. Где м. –ф. С аналитична в области D, имеет те же (с учетом кратности) нули определителя, что и В, за исключение точки ₀, где кратность нуля det C на единицу меньше, чем det B, а

U(z) =

𝛌₁, 𝛌₂ — некоторые числа.

Действительно, при z≠z₀ матрица U(z) обратима и обратная к ней матрица имеет вид

V(z) = U^-1(z) =

Положим при . Так как det C = detB, а м.–ф. U^-1(z) аналитична в плоскости с выколотой точкой ₀, остаётся добиться того, чтобы м.–ф. C(z) была аналитична в точке ₀. Если (i,j=1,2) элементы м.–ф. С и B то

= ).

Таким образом, для аналитичности матрицы C(z) необходимо и достаточно, чтобы столбцы матрицы B(z) (при ) были линейно зависимы, а (i=1,2) коэффициенты линейной комбинации.

Так как det B(z₀) = 0, то такие существуют.

Обозначим теперь _A(t) = det A(t), и пусть

_A(t) = ₀(t) ≠ 0, t_0, z_kD⁺, k=1,2,…,m.

Пусть k=0. Умножая матрицу A(t) справа на V(z) получаем

A(t) = = B₀U₀

Для того чтобы м.–ф. B₀(t) была аналитична в D⁺, очевидно, достаточно взять =q(z₀)_, =-p(z₀)_. Тогда, det B₀ в точке z=z₀ имеет нуль порядка n₀–1. Эту же процедуру проделаем теперь для матрицы B₀ и получаем B₀ = B₁U₁, где

U₁=

и det B₁ имеет нуль порядка n_0–2 в точке z_0. Повторяя этот процесс n₀ раз мы получаем представление A(t) = U, где U= и det не обращается в нуль в точке z₀. Этот же процесс повторяем теперь для точки

z₁, z₂, z₃,…,z_m и получаем представление

A(t)=A₊(t)(t)A_-(t) (2)

где A₊(t) (A_-(t)) — рациональная м. –ф., все полюса элементов и нули определителя, которые сосредоточены в D^- (в D⁺). (t) — диагональная матрица (t) = diag {}. — частные индексы матрицы A(t).

Обозначим

A₊(t) = _, A_-(t) =

Следуя (7), если м.–ф. A(t) допускает факторизацию вида (2), то функциональный оператор A=p(t)J + q(t)W представляется в виде

A=A₊RA_- (3)

где оператор A₊, A_- и R соответственно имеют вид:

R=

При этом, операторы A₊ и A_- удовлетворяют условиям , , (4)

— постоянная, и не обращается в нуль на Г_0, полином степени n = k₁ — k_2, удовлетворяющий условию , а оператор U = — т. е.,

Рассмотрим теперь оператор

T = CP₊ + DP_-, где C=

Обозначим, тогда в силу (3), оператор представим в виде

или в силу (4)

Операторы C, A₊ и непрерывно обратимы, причём

И следовательно, обратимость оператора Т зависит от обратимости оператора .

Рассмотрим различные случаи.

1) Пусть k₁=0, k₂=0. Тогда, можно положить R=J и оператор Т непрерывно обратим и обратный для него оператор.

2) Пусть k₁<0. Тогда, как видно из (3) коэффициенты функционального оператора принадлежат и следовательно, оператор R удовлетворяет условию

И, следовательно, (см.) Т обратим слева и его левый обратный имеет вид

в частности, dim Ker T=0.

3) Пусть k₁>0, k₁<0. Тогда (см.) функции k=0,1…., [k₁/2], где

образует базис ядра оператора Т.

4) Если k₁>0, k₂>0, то коэффициенты функционального оператора R принадлежат и следовательно, удовлетворяют условию . Отсюда, оператор обратим справа и его правый обратный. Поэтому, оператор Т обратим справа и его правый обратный имеет вид

Литература:

1. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. — Издательство «Наукa», Главная редакция физико-математической литературы, 1977.
2. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. — Изд-во Рост. ун-та, 1988.
3. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения, М., 1968 //Институт математики Поступило им. ВИ Романовского. — 1973. — Т. 25.
4. Литвинчук Г. С., Спитковский И. М. Факторизация матриц-функций //М.: ВИНИТИ. — 1984.
5. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов //Кишинев: Штиинца. — 1973.
6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — Главная редакция физико-математической литературы издательства “Наука”, 1977.
7. Кравченко В.Г, Шаев А. К. Теория разрешимости сингулярных интегральных уравнений с дробно-линейным сдвигом Карлемана. ДАН СССР, 1991, том 316, № 2.