Библиографическое описание:

Цветкова Е. Г., Андреева Е. А. Применение методов нелинейного программирования к решению экстремальных геометрических задач // Молодой ученый. — 2010. — №11. Т.1. — С. 38-40. — URL https://moluch.ru/archive/22/2258/ (дата обращения: 11.12.2017).

Разнообразные задачи геометрии на экстремум площади и объема при заданных ограничениях решались с глубокой древности. Классическая изопериметрическая задача состоит в определении кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь. К экстремальным задачам геометрии относятся задача Архимеда, в которой требуется среди шаровых сегментов, имеющих заданную площадь поверхности, найти сегмент максимального объема; задача Зенодора, в которой среди n-угольников, имеющих заданный периметр, необходимо найти n-угольник наибольшей площади; задача о геодезической кривой наименьшей длины, лежащей на заданной поверхности, и многие другие. Решение экстремальных геометрических задач важно не только с теоретической, но и практической точки зрения. Такие задачи возникают при  раскрое и упаковке промышленных материалов, при размещении грузов на палубах судов и многих  других. Рассматриваемые задачи могут быть формализованы и исследованы как задачи оптимального управления [5]. Целью данной работы является разработка численных методов и алгоритмов оптимизации для решения задачи о построении выпуклой пространственной фигуры вращения максимальной площади поверхности при заданных ограничениях на ее ширину.

Плоскость 

(1)

назовем опорной плоскостью выпуклого множества  в направлении n, функцию - опорной функцией фигуры .

Введем сферические координаты в трехмерном евклидовом пространстве . Тогда  , .

Положим

, ,

и назовем эту функцию опорной функцией фигуры .   

Определим ширину выпуклой пространственной фигуры  в направлении n:

Диаметром выпуклой фигуры  назовем

.

Толщина выпуклой фигуры  определяется равенством

.

Опорная функция овала в  почти всюду на множестве  удовлетворяет дифференциальному уравнению:

  ,

 

(2)

где - радиус кривизны границы овала в точке касания P опорной прямой, соответствующей направлению .

Опорная функция выпуклой замкнутой регулярной фигуры в  почти всюду на множестве  удовлетворяет неравенству:

(3)

Площадь поверхности выпуклой пространственной фигуры определяется выражением:

.

(4)

Опорная функция рассматриваемых фигур удовлетворяет граничным условиям:

.

(5)

Требуется найти выпуклую фигуру вращения, имеющую максимальную площадь поверхности при заданных ограничениях на ее ширину.  Поиск фигур осуществляется в классе выпуклых тел вращения с опорной функцией  . Обозначим через  значение опорной функции фигуры в направлении t.

Для фигуры вращения формула (4) имеет вид:

(6)

ограничения на ширину:

,

(7)

условия выпуклости:

(8)

В заданных направлениях  накладываются дополнительные ограничения на ширину:

(9)

где параметры ,  удовлетворяют условиям:

(10)

Не ограничивая общности рассмотрения, положим  в направлении толщины искомой фигуры:

(11)

Пусть далее - ширина в направлении t: ,, .

Задача (6)-(11) формализуется как задача оптимального управления с фазовыми и промежуточными ограничениями:

,

(12)

при динамических ограничениях:

   

(13)

ограничениях на управление:

(14)

фазовых ограничениях:

(15)

промежуточных

   

(16)

и граничных условиях:

         

(17)

           .

(18)

С использованием метода проекции градиента [6] построено решение задачи при выборе параметров: =0,8, q=500 и дополнительном ограничении . Результаты численных расчетов приведены на рис.1-5 и в табл.1.

Рисунок 1 - График

Рисунок 2 - График

Рисунок 3 - График

Рисунок 4 - Вид сечения

Рисунок 5 - Вид фигуры

Таблица 1.

 

Литература:

1.                  Andreeva E.A., Klötzler R. Zur analytischen Lösung geometrischer Optimierungsaufgaben mittels Dualität bei Steuerungstheorie // ZAMM. 1984, (64). Teil I. P. 35-44; Teil II. P. 147-153.

2.                  Андреева Е.А., Цветкова Е.Г., Савичева Ю.А.   Решение экстремальных задач геометрии двойственным методом: Учеб. пособие. - Тверь: ТвГУ, 2007.- 180 с.

3.                  Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел.- Берлин, 1934.

4.                  Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

5.                  Кутателадзе С.С., Рубинов А.М. Двойственность Минковского и её приложения.– Новосибирск: Наука, 1976.

6.                  Трифонов А.Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения, М., Дело, 2002.



[1] Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ (НШ-4096.2010.1)

Основные термины (генерируются автоматически): экстремальных геометрических задач, фигуры вращения, опорной функцией фигуры, опорной функции фигуры, фигуры вращения формула, фигуры вращения максимальной, площадь поверхности, опорной плоскостью выпуклого, максимальную площадь, Разнообразные задачи геометрии, максимальную площадь поверхности, опорной прямой, замкнутой регулярной фигуры, опорной функцией , выпуклых тел вращения, решению экстремальных геометрических, Классическая изопериметрическая задача, задачи оптимального управления, кривой наименьшей длины, фигуру вращения.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос