Автор: Лобарёв Дмитрий Сергеевич

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (22) ноябрь 2010 г.

Статья просмотрена: 461 раз

Библиографическое описание:

Лобарёв Д. С. Многокритериальная динамическая задача с экспертными оценками // Молодой ученый. — 2010. — №11. Т.1. — С. 32-37.

Введение.

 

Человеку в своей деятельности для достижения поставленных целей приходится принимать решения. Задачи, связанные с выбором оптимальных решений, встречаются в экономике, технике, военном деле и т.д. По мере развития этих сфер процессы принятия решений формализуются и приобретают вид математических моделей, которые  отражают проблему в абстрактной форме и позволяют учесть несколько разнообразных характеристик.

При этом на первый план выходит изучение динамических систем. При наличии нескольких критериев в динамических задачах необходимо искать разумный компромисс, который заключается в выборе такого управления, что доставляет экстремальные значения одновременно всем критериям. Например, в экономике, когда в процессе функционирования предприятия одновременно ставятся разные цели: добиться максимально возможных прибыли и выпуска, одновременно с этим выдержать установленные показатели по номенклатуре или ассортименту, снизить себестоимость, добиться определенного уровня качества и рентабельности производимой продукции и т.д. Причем, в выборе такого оптимального решения лицу, принимающего решение (ЛПР) могут помочь независимые эксперты, которые высказываются о важности представленных критериев, например, указав их весовые коэффициенты. В этом случае многокритериальная динамическая задача может быть сведена к однокритериальной. Исследованием таких задач занимается теория оптимального управления. Основы этой теории были заложены академиком Л.С. Понтрягиным, центральным результатом здесь является принцип максимума [1-3].

Очевидно, что для принятия обоснованных решений ЛПР необходимо опираться на опыт, знания и интуицию специалистов. Тем самым недостаток информации можно компенсировать формализовано представленными знаниями экспертов. Для получения и обработки подобной информации стала развиваться самостоятельная дисциплина - теория и практика экспертных оценок. Экспертные исследования проводят с целью подготовки информации для ЛПР. Для проведения работы по методу экспертных оценок создают рабочую группу, которая организует по поручению ЛПР деятельность экспертов, объединенных  в экспертную комиссию. Экспертные оценки часто используются при выборе одного варианта из многих критериев или определения веса каждого критерия. Экспертные оценки бывают индивидуальные и коллективные. Существует множество методов получения экспертных оценок. В одних с каждым экспертом работают отдельно, в других экспертов собирают вместе. В одних методах число экспертов фиксировано и не изменяется со временем, в других - число экспертов растет в процессе проведения исследования, например, при использовании метода "снежного кома". Метод «Дельфи» используется для прогнозирования научно-технического развития, метод Сценариев применяется для экологического или социально-экономического экспертного прогнозирования, популярен метод Мозгового штурма, где эксперты высказывают свои идеи и, обсуждая, приходят к компромиссному решению [4].

С математической точки зрения проводить анализ мнений экспертов легче, если они имеют числовую форму, тем самым можно вывести компромиссное, согласованное мнение, которое устраивает одновременно всех экспертов. Существуют две основные шкалы измерений: количественная и качественная [5]. Наиболее часто мнения экспертов выражены в количественной шкале, т.к. эксперт может сказать, что один показатель (критерий) более важен, чем другой. В качественной шкале (порядковой шкале и шкале наименований) числа используются как метки, поэтому использование этой шкалы не целесообразно в задачах многокритериального выбора. Согласованное же мнение будем определять как среднее значение мнений всех экспертов; наиболее обоснованным в многокритериальных задачах можно считать среднее арифметическое значение экспертных оценок. При этом будем считать, что ЛПР обладает информацией о компетентности экспертов и формирует свою оценку уже по экспертам. Тем самым имеем иерархию, где сначала представлена оценка экспертов лицом, принимающим решение, затем присутствуют экспертные оценки критериев в задаче многокритериального выбора. Процесс нахождения компромиссного весового вектора критериев с учетом мнений экспертов и мнения ЛПР об экспертах представлен ниже.

Во многих задачах многокритериального выбора для принятия решений используют Метод анализа иерархий (МАИ, Analytic Hierarchy Process, AHP), предложенный Саати [6]. Этот метод представляет собой теорию, которая базируется на экспертных оценках и суждениях индивидуальных участников или групп. Число статей, в которых МАИ применяться для решения прикладных задач, в том числе и многокритериальных, превысило несколько тысяч. В России подобные исследования можно встретить в [7]. Согласно МАИ экспертами формируется матрица парных сравнений, а искомый весовой вектор (вектор приоритетов по Саати) вычисляется как собственный вектор матрицы парных сравнений, отвечающий максимальному собственному значению. Этот вектор определяет компромиссный выбор критериев в задаче принятия решений, представленный в форме весовых коэффициентов. Но МАИ не раз подвергался критике различными авторами, так как математически не обоснован способ определения весового вектора из-за нарушения свойства совместности матрицы парных сравнений. Например, Ногиным В.Д. был предложен упрощенный вариант МАИ на основе нелинейной свертки критериев, где решена проблема совместности матрицы парных сравнений [8].

В данной статье представлено решение многокритериальной динамической задачи с экспертными оценками. Многокритериальная динамическая задача имеет стандартную форму [1-3]. Экспертные оценки определяют матрицу, каждая строка которой есть мнение эксперта, представленное в виде весовых коэффициентов критериев динамической задачи. Также имеется мнение ЛПР об экспертах – вектор с коэффициентами важности (компетентности) экспертов при оценивании критериев рассматриваемой задачи. Сначала необходимо найти нормированный весовой вектор критериев, который учитывает как мнения экспертов, так и мнение ЛПР об экспертах. Затем проводиться линейная свертка критериев, относительно весового вектора, и решается задача оптимального управления с одним критерием.

Постановка и решение задачи.

Рассматривается многокритериальная динамическая задача с экспертными оценками

                                                (1)

Аналогичные задачи рассматриваются в [2]. Здесь  - управляемая динамическая система, которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений и начальными условиями

,                                                (2)

,                                                                (3)

где и - матрицы размера и соответственно. Через обозначено множество управлений, выбором которых распоряжается ЛПР. Пусть на управление ограничений не наложено, т.е. . Здесь - промежуток времени функционирования системы, где и - моменты начала и окончания процесса соответственно. В (2)-(3) представлено изменение фазового вектора под воздействием управления. Начальное условие задано и определяет начальное состояние системы.

Имеем множество критериев динамической задачи:

,                                (4)

где и - положительно определенные симметрические матрицы размера и соответственно [9].

Экспертам, независимо друг от друга, для сравнения по весу или важности предлагается набор критериев; они выступают в качестве сравниваемых объектов. Тем самым формируется неотрицательная матрица экспертных оценок, где каждая -ая строка указывает на мнение -го эксперта в виде коэффициентов важности критериев (4) в задаче (1). Например, матрица говорит о том, что первый эксперт (первая строка) считает, что критерий является менее важным, чем критерий в отношении; т.е. вес критерия составляет, а критерия -  . Второй эксперт также отдает предпочтение второму критерию, но уже в отношении.

Лицо, принимающее решение, дает оценку экспертам, например, учитывая их компетентность или важность при оценивании критериев в рассматриваемой задачи. Так определяется диагональная матрица, элементы на главной диагонали которого положительны и указывают на важность (или «вес») экспертов при оценивании критериев. Например, матрица говорит о том, что мнение второго эксперта в два раза считается более важным, чем мнение первого.

Задача нахождения компромиссного решения, где учитывается как мнение всех экспертов, так и ЛПР об экспертах сводится к нахождению весового вектора. Очевидно, что такой вектор, должен быть получены из матрицы экспертов и матрицы, которая дает мнение ЛПР:

,                                                (5)

где - есть вектор-строка, состоящий из - единиц. Например, при вектор. Вектор определяет среднее арифметической значение весов в матрице по критериям с учетом мнения ЛПР об экспертах, выраженное матрицей. Элементы весового вектора можно нормировать, поэтому пусть вектор такой, что.

Применение данного метода нахождения вектора компромиссных экспертных оценок к решению многокритериальной динамической задачи основано на её скаляризации при помощи линейной свертки критериев. А именно, наилучшем решением задачи (1) объявляется то, которое доставляет, возможно, меньшее значение линейной свертке критериев. Применение МАИ к решению многокритериальных задач на основе линейной свертке критериев обосновано в [5,8].

На содержательном уровне в многокритериальной динамической задаче ЛПР, учитывая мнение экспертов и свое мнение об экспертах,  выбирает такую стратегию, которая доставляет, возможно, меньшие значения сразу всем критериям (4). Оптимальная пара находится как решение задачи (1).

Полученную многокритериальную динамическую задачу (1) необходимо свести к задаче оптимального управления (2)-(3) с функционалом качества

,                                        (6)

где вид матриц и учитывает мнение экспертов и ЛПР.

Решение задачи вида (2), (3), (6) подробно рассмотрены в [2, с.336 - 338].

Для его нахождения, воспользуемся алгоритмом применения принципа максимума Понтрягина, который является необходимым  условием экстремума функционала (6).

  1. Составляем гамильтониан:

  1. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения на управление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстремума:

Отсюда находим вид оптимального управления:

                                                 (7)

Найденное управление обеспечивает максимум функции Гамильтона по управлению, так как удовлетворяет достаточным условием максимума в силу положительной определенности матрицы.

  1. Выписываем уравнение системы с учетом (7)  и условий трансверсальности:

,                 ,                                                               (8)

,         .

Таким образом, задача нахождения оптимального управления сводится к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (8).

Модельный пример.

Рассматривается двухкритериальная динамическая задача с двумя экспертными оценками и мнением ЛПР о компетентности экспертов. Динамическая управляемая система, представлена дифференциальными уравнениями и начальными условиями

,                 ,                                                (9)

,    

Здесь, ,. Заданы функционалы-критерии

,                                           (10)

.                                        (11)

Имеем оценку критериев экспертами, представленную матрицей. Оценка ЛПР относительно экспертов имеет вид. Тогда из выражения (5) находим вектор согласования мнений экспертов и ЛПР: . Нормированный вектор весовых коэффициентов для критериев (10) и (11) с учетом экспертных оценок и мнения ЛПР примет вид:

.                                                        (12)

На содержательном уровне цель ЛПР состоит в выборе такого управления, что доставляет, возможно, меньшее значение одновременно двум функционалам (10) и (11) с учетом экспертных оценок (12). Сводим полученную многокритериальную задачу к задаче оптимального управления (2), (3) и (6).

Здесь матрицы, , ,. Целевая функция (6) примет вид:

                                        (13)

Используя принцип максимума Понтрягина, рассмотренный выше, находим вид оптимального управления (7)

.                                                (14)

Имеем систему дифференциальных уравнений с краевыми условиями (8):

, ,

, ,

, ,

,.

Решением этой двухточечной краевой задачи является:

,

,

,.

Учитывая (12) находим вектор оптимального управления, где

,.

Значение функционалов качества (10) и (11) с учетом экспертных оценок (12):

,

.

Заключение.

В работе рассматриваются вопросы, связанные с выбором решений при наличии нескольких критериев. А именно, представлено решение многокритериальной динамической задачи с экспертными оценками. Экспертные оценки представляют собой количественную информацию об относительной важности критериев задачи. Такой же информацией обладает лицо, принимающее решение, высказывая мнение о компетентности экспертов. Оценки экспертов и ЛПР образуют иерархию, поиск весового компромиссного вектора подробно рассматривались в работах Саати (Метод анализа иерархий) и его последователей.

Здесь развивается оригинальный подход к решению многокритериальных задач при наличии количественной информации об относительной важности, как критериев, так и экспертов. Количество экспертов, а также их оценки могут меняться со временем. В этом случае нахождения весового компромиссного вектора, отражающего как мнение экспертов, так и мнение ЛПР, проводится линейная свертка критериев и решается задача оптимального управления стандартным способом, использую принцип максимума Понтрягина. Используя лишь конечный набор информации об относительной важности критериев и экспертов, можно найти единственное решение многокритериальной задачи

В статье представлен модельный пример двухкритериальной динамической задачи с двумя экспертными оценками и мнением ЛПР об относительной важности экспертов. Найдено в явном виде оптимальное управление и определены значения соответствующих критериев.

Литература:

  1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск., Издательство БГУ, 1975.
  2. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2003.
  3. Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. М: Эдиториал  УРСС, 1999.
  4. Орлов А.И. Экспертные оценки. Учебное пособие. - М.: 2002.
  5. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
  6. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. – М.: Издательство ЛКИ, 2008.
  7. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2001.
  8. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев// ЖВМиМФ, 2004, т. 44, № 7, С. 1259-1268.
  9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.  576 c.
Основные термины (генерируются автоматически): экспертных оценок, экспертными оценками, весового вектора, динамической задачи, динамическая задача, важности критериев, мнение ЛПР, мнение экспертов, Экспертные оценки, оценивании критериев, компетентности экспертов, многокритериальной динамической задачи, оптимального управления, относительной важности критериев, мнений экспертов, наличии нескольких критериев, линейная свертка критериев, матрицы парных сравнений, линейной свертке критериев, свертки критериев.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос