Частные случаи дифференциальных уравнений в полных дифференциалах | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 1 июня, печатный экземпляр отправим 5 июня.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №29 (215) июль 2018 г.

Дата публикации: 23.07.2018

Статья просмотрена: 53 раза

Библиографическое описание:

Бессонный С. С. Частные случаи дифференциальных уравнений в полных дифференциалах // Молодой ученый. — 2018. — №29. — С. 1-3. — URL https://moluch.ru/archive/215/52109/ (дата обращения: 20.05.2019).



Отсутствие общего метода отыскания интегрирующего множителя, если неизвестно общее решение исходного уравнения, приводит к необходимости исследования решений отдельных типов дифференциальных уравнений, сводящихся к уравнениям в полных дифференциалах.

Рассмотрим уравнение следующего вида:

(1)

Оно является уравнением в полных дифференциалах при условии, что его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Это возможно при выполнении условия

(2)

Из приведенного выше следует, что для решения уравнения (1) необходимо найти функцию полный дифференциал от которой равен левой части уравнения (1) соответственно:

;

(3)

Затем необходимо проинтегрировать любое из двух уравнений (3), причем интегрировать первое уравнение нужно по x, а второе по y. Причем интегрируя первое уравнение по х будем считаем y константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(y) — неизвестную функция зависящую от y. интегрируя второе уравнение по y будем считаем x константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(x) — неизвестную функция зависящую от x.

Подставляя, полученное в результате интегрирования по x первого из уравнений (3), выражение во второе из уравнений (3) находят C(y). В случае интегрирования по y второго из уравнений (3) получившееся выражение подставляют в первое из уравнений (3) и находят C(x).

Отсюда следует что общий интеграл исходного уравнения в полных дифференциалах представляется в виде:

(4)

Рассмотрим применение данного метода на следующем примере:

Пример № 1. Решить уравнение

(5)

Удостоверимся в том, что представленное дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах. [1, c. 25]

Для этого сначала представим его в стандартном виде

(6)

И проверим выполняется ли условие (2) для уравнения (5)

,

(7)

Делаем вывод о том, что дифференциальное уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию удовлетворяющую следующим условиям

;

(8)

Для этого проинтегрируем по x первое из уравнений (8), принимая y за константу, а значение постоянной интегрирования С за С(y) — неизвестную функцию, зависящую от y.

(9)

Подставляя во второе из уравнений (8) найдем C(y)

(10)

Общее решение уравнения (5) имеет вид

(11)

Найдем решение уравнения (5) другим методом, который называется методом выделения полного дифференциала. Данный метод также применяется для отыскания интегрирующего множителя.

(12)

И сразу получаем решение

(13)

На данном примере видно, что удобней и быстрей применить метод выделения полного дифференциала и сразу записать общий интеграл исходного уравнения. Однако этот метод хорошо работает только в случаях, когда коэффициенты при дифференциалах являются интегрируемыми в квадратурах функциями.

Пример № 2. Привести к уравнению в полных дифференциалах

(14)

Найдем интегрирующий множитель. В данной ситуации мы имеем дело с частным случаем, когда интегрирующий множитель зависит только от x.

(15)

Умножив уравнение (14) на полученное значение получим искомое уравнение в полных дифференциалах

(16)

Приведенные выше примеры демонстрируют простоту нахождения общих интегралов дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, при условии правильного определения оптимального метода в каждом конкретном случае.

Литература:

1. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. / А. Ф. Филиппов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 176 с.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, полный дифференциал, интегрирующий множитель, исходное уравнение, дифференциал, второе, решение уравнения, метод выделения, общий интеграл, первое.


Похожие статьи

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

- интегрированию составленного дифференциального уравнения и определению его общего решения

Далее рассмотрим ретроспективную идентификацию динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

Постановка задачи. Нелинейные уравнения в общем имеет вид.

Для приближенного решения уравнения (2) методом вариационных итераций сначала ее дифференцируем один раз по x, тогда.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

Построение периодических решений для квазилинейных...

Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение

разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы. Методы решения нелинейных уравнений.

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

Если выступает как исходный реагент, то , если – продукт, то .

Во-первых, построенный алгоритм интегрирования второго порядка с контролем точности вычислений и

Литература: 1. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

О методе решения линейных интегральных уравнений...

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

В равенстве интегрирующий множитель считаем а=1. Тогда имеем. . (16). Так как для уравнение (12) выполнятся, условия (13) то находим.

то для решения уравнения. (27). с начальным условием на отрезке имеет место оценка.

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или...

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.

Уравнения во второй строке (3) являются следствиями уравнений первой строки, в результате находим.

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

Улучшение логарифмического метода для дифференциальных...

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений. Здесь и далее: , ... — известные интегрируемые функции, — неизвестная функция, , – вещественные постоянные...

Похожие статьи

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

- интегрированию составленного дифференциального уравнения и определению его общего решения

Далее рассмотрим ретроспективную идентификацию динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

Постановка задачи. Нелинейные уравнения в общем имеет вид.

Для приближенного решения уравнения (2) методом вариационных итераций сначала ее дифференцируем один раз по x, тогда.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

Построение периодических решений для квазилинейных...

Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение

разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы. Методы решения нелинейных уравнений.

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

Если выступает как исходный реагент, то , если – продукт, то .

Во-первых, построенный алгоритм интегрирования второго порядка с контролем точности вычислений и

Литература: 1. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

О методе решения линейных интегральных уравнений...

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

В равенстве интегрирующий множитель считаем а=1. Тогда имеем. . (16). Так как для уравнение (12) выполнятся, условия (13) то находим.

то для решения уравнения. (27). с начальным условием на отрезке имеет место оценка.

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или...

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.

Уравнения во второй строке (3) являются следствиями уравнений первой строки, в результате находим.

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

Улучшение логарифмического метода для дифференциальных...

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений. Здесь и далее: , ... — известные интегрируемые функции, — неизвестная функция, , – вещественные постоянные...

Задать вопрос