Отсутствие общего метода отыскания интегрирующего множителя, если неизвестно общее решение исходного уравнения, приводит к необходимости исследования решений отдельных типов дифференциальных уравнений, сводящихся к уравнениям в полных дифференциалах.
Рассмотрим уравнение следующего вида:
|
|
(1) |
Оно является уравнением в полных дифференциалах при условии, что его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции
Это возможно при выполнении условия
|
|
(2) |
Из приведенного выше следует, что для решения уравнения (1) необходимо найти функцию
полный дифференциал от которой 
равен левой части уравнения (1) соответственно:
|
|
(3) |
; 
Затем необходимо проинтегрировать любое из двух уравнений (3), причем интегрировать первое уравнение нужно по x, а второе по y. Причем интегрируя первое уравнение по х будем считаем y константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(y) — неизвестную функция зависящую от y. интегрируя второе уравнение по y будем считаем x константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(x) — неизвестную функция зависящую от x.
Подставляя, полученное в результате интегрирования по x первого из уравнений (3), выражение во второе из уравнений (3) находят C(y). В случае интегрирования по y второго из уравнений (3) получившееся выражение подставляют в первое из уравнений (3) и находят C(x).
Отсюда следует что общий интеграл исходного уравнения в полных дифференциалах представляется в виде:
|
|
(4) |
Рассмотрим применение данного метода на следующем примере:
Пример № 1. Решить уравнение
|
|
(5) |
Удостоверимся в том, что представленное дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах. [1, c. 25]
Для этого сначала представим его в стандартном виде
|
|
(6) |
И проверим выполняется ли условие (2) для уравнения (5)
|
|
(7) |
, 
Делаем вывод о том, что дифференциальное уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию удовлетворяющую следующим условиям
|
|
(8) |
; 
Для этого проинтегрируем по x первое из уравнений (8), принимая y за константу, а значение постоянной интегрирования С за С(y) — неизвестную функцию, зависящую от y.
|
|
(9) |
Подставляя 
во второе из уравнений (8) найдем C(y)
|
|
(10) |
Общее решение уравнения (5) имеет вид
|
|
(11) |
Найдем решение уравнения (5) другим методом, который называется методом выделения полного дифференциала. Данный метод также применяется для отыскания интегрирующего множителя.
|
|
(12) |
И сразу получаем решение
|
|
(13) |
На данном примере видно, что удобней и быстрей применить метод выделения полного дифференциала и сразу записать общий интеграл исходного уравнения. Однако этот метод хорошо работает только в случаях, когда коэффициенты при дифференциалах являются интегрируемыми в квадратурах функциями.
Пример № 2. Привести к уравнению в полных дифференциалах
|
|
(14) |
Найдем интегрирующий множитель. В данной ситуации мы имеем дело с частным случаем, когда интегрирующий множитель
зависит только от x.
|
|
(15) |
Умножив уравнение (14) на полученное значение
получим искомое уравнение в полных дифференциалах
|
|
(16) |
Приведенные выше примеры демонстрируют простоту нахождения общих интегралов дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, при условии правильного определения оптимального метода в каждом конкретном случае.
Литература:
1. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. / А. Ф. Филиппов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 176 с.
