Метод разложения Адомиана и метод вариационных итераций решения начальной задачи для n-мерного волнового уравнения | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 21 декабря, печатный экземпляр отправим 25 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Мустафоева А. Х., Шарипова М. А., Ортиков Б. Б., Кадиров Н. Х., Абдурашидов А. А. Метод разложения Адомиана и метод вариационных итераций решения начальной задачи для n-мерного волнового уравнения // Молодой ученый. — 2018. — №27. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/213/51985/ (дата обращения: 10.12.2019).



В работе приведена математическая модель задачи Коши, основные идеи метода разложения Адомиана и метода вариационных итераций, а затем решены конкретные начальные задачи с уравнениями гиперболического типа.

Ключевые слова. задача Коши, волновое уравнение, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение.

В настоящее время для решения практических задач механики активно используются различные современные аналитические и приближенные методы с применением вычислительной техники, в частности, наибольшее распространение получили приближенные методы: метод гомотопического анализа (HAM), метод гомотопического разложения (HPM), метод разложения Адомиана (ADM), метод вариационных итераций (VIM) и др., а также их различные модифицированные варианты [1–9]. В данной работе показаны возможности нахождения приближенных решений некоторых начальных задач. Сначала описывается математическая модель задачи Коши, основная идея метода разложения Адомиана и метода вариационных итераций [5], а затем рассмотрены решения конкретных начальных задач для уравнения гиперболического типа.

Требуется точно решать задачи Коши для n-мерного волнового уравнения методом вариационных итераций (VIM) и методом разложения Адомиана (ADM) [5].

Математическая модель задачи имеет вид

, (1) , (2)

где — точка в n-мерном пространстве; — оператор Лапласа; — неизвестная функция (функция волны); — заданные функции (форма и скорость волны при соответственно).

а) Для решения задачи (1) и (2) ADM воспользуемся соотношениями [5]:

.

По идею ADM:

; ; ;

;…;

и т. д.

Решение задачи (1) и (2) имеет вид:

. (3)

б) Для решения задачи (1) и (2) VIM воспользуемся следующей заменой:

. (4)

Тогда уравнение (1) приводится к следующему интегро-дифференциальному уравнению:

. (5)

Для уравнения (5) приближенная формула VIM имеет вид [4]:

Здесь — множитель Лагранжа, а для стационарного случая , и отсюда имеем . Тогда имеем приближенную формулу вида

Применяя МВИ, получим следующие результаты:

; ;

и т. д. Тогда решение уравнение (5) пишутся в виде

Учитывая замену (4) имеем

. (3)

Для того чтобы проверят на равномерную сходимость этого ряда воспользуемся теоремой Вейерштрасса.

Теорема (Признак Вейерштрасса). Если каждый член функционального рядя

. (6)

удовлетворяет неравенства (n=1,2, …) в множестве и численный ряд сходящиеся, то функциональный ряд (6) будет равномерно сходящимся в множестве M [6].

Будем оценивать ряда (3):

.

Если функции в непрерывно и имеют производные достаточного порядка, то в момент времени t справедлива следующая оценка:

, (7)

где M, K, p, q = const. Теперь будем проверять на равномерную сходимость рядов и . По признаку Даламбера о сходимости ряда с положительными членами имеем , аналогично имеем . Тогда числовые ряди и также будет сходящимся. Отсюда по справедливости оценки (7) и по признаку Даламбера ряд (3) будет сходящимся. Исходя из этого функция является решением волнового уравнения (1) задачи Коши. Теперь будем применят формулу (3) в следующих примерах.

Пример 1. Найти решение следующего однородного трехмерного волнового уравнения задачи Коши [7]: .

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся формулой (3):

Тогда решение заданной задачи имеет вид:

Пример 2. Найти решение неоднородного трехмерного волнового уравнения задачи Коши: , .

Решение. Для решения данной задачи введем обозначение вида:

Тогда получим следующую начальную задачу:

, ,

Для решения данной задачи воспользуемся формулой (3):

Тогда решение вспомогательной задачи имеет вид:

.

Окончательно имеем решение вида .

Таким образом, в данной работе рассмотрена начальная задача для уравнения гиперболического типа. Решения задач Коши строились с помощью метода разложения Адомиана и метода вариационных итераций.

Литература:

  1. Abdirashidov A., Kadirov N. X., Ortikov B. B., Abdurashidov A. A. Exact solution of fractional diffusion equations using the variational iteration method and Adomian decomposition method // International Scientific Journal «Theoretical & Applied Science», № 5, 2018. P.101–107.
  2. Abdurashidov A. A., Ortiqov B. B., Qadirov N. X., Abdirashidov A. Exact solution of nonlinear equations Burgers-Huxley, Korteweg-de Vries-Burgers and Klein-Gordon using the modified simple equation method // International Scientific Journal «Theoretical & Applied Science», № 3, 2018. P.101–107.
  3. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Boston, MA: Kluwer, 1994.
  4. Wazwaz A. M. Linear and Nonlinear Integral Equations. Higher Education Press, Berlin Heidelberg, 2011. — 658 p.
  5. Wazwaz A. M. Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Higher Education Press, Berlin Heidelberg, 2009. — 761 p.
  6. Азларов Т. А., Мансуров Х. Математический анализ. II часть. — Ташкент: “Ўқитувчи”, 1989. — 424 с.
  7. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. Учебное пособие. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1985. — 310 с.
  8. Ибрагимов Н. Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования.- Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунив.-та, 2007.-421 с.
  9. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие. 2-е изд. — Долгопрудный: Интеллект, 2010. — 368 с.
Основные термины (генерируются автоматически): ADM, VIM, задача, решение, Кош, решение задачи, метод разложения, математическая модель задачи, гиперболический тип, волновое уравнение.


Похожие статьи

Программирование разностного метода решения одной задачи...

краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].

Решение методом продолжения задач математической физики...

Используя это решение, мы можем решить задачу Коши. Задача Коши: Найти решение

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1]. В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Поставлена математическая задача о двух взаимодействующих на отрезке популяциях по принципу хищник-жертва. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных уравнений в частных производных.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

Решение методом продолжения задач математической физики... Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача. Решения задачи Коши задается формулой Даламбера

Возможные методы решения математических задач...

Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса. Исследование статической задачи несимметричной теории...

Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость. Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения...

Использование метода Фурье для решения смешанной задачи... Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Программирование разностного метода решения одной задачи... Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения. , , , (1). Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по , так как соотношение (4)...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений, окончательное решение, нулевое приближение, начальное условие вида.

Похожие статьи

Программирование разностного метода решения одной задачи...

краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].

Решение методом продолжения задач математической физики...

Используя это решение, мы можем решить задачу Коши. Задача Коши: Найти решение

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1]. В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Поставлена математическая задача о двух взаимодействующих на отрезке популяциях по принципу хищник-жертва. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных уравнений в частных производных.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

Решение методом продолжения задач математической физики... Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача. Решения задачи Коши задается формулой Даламбера

Возможные методы решения математических задач...

Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса. Исследование статической задачи несимметричной теории...

Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость. Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения...

Использование метода Фурье для решения смешанной задачи... Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Программирование разностного метода решения одной задачи... Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения. , , , (1). Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по , так как соотношение (4)...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений, окончательное решение, нулевое приближение, начальное условие вида.

Задать вопрос