Особенности составления дифференциальных уравнений в военно-прикладных задачах | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 20 марта, печатный экземпляр отправим 24 марта.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №22 (208) июнь 2018 г.

Дата публикации: 05.06.2018

Статья просмотрена: 164 раза

Библиографическое описание:

Желтикова, О. О. Особенности составления дифференциальных уравнений в военно-прикладных задачах / О. О. Желтикова, Д. И. Беляев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 22 (208). — С. 1-2. — URL: https://moluch.ru/archive/208/51145/ (дата обращения: 07.03.2021).



При решении военно-прикладной задачи первым этапом является построение математической модели, которое часто осуществляется при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные, являются основой многих законов материального мира. С их помощью можно установить связь между кривой и её касательной, пройденным путём и скоростью движения, описать такие известные физические законы как второй закон Ньютона и закон Гука.

Часто сам процесс вывода дифференциального уравнения представляет собой сложную математическую задачу. Во-первых, для построения модели, адекватной рассматриваемому явлению или процессу, необходимы глубокие знания в смежных областях науки, таких как физика, теоретическая механика и динамика полёта. Во-вторых, получающееся в процессе построения математической модели дифференциальное уравнение должно по возможности приводиться к уравнению известного вида: линейного, однородного и т. п. Поэтому часто бывает необходимо ввести различные упрощения, но при этом учесть все основные факторы, влияющие на процесс.

Рассмотрим некоторые задачи военно-прикладного характера, основанные на решении дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 1.

В некоторый момент времени самолёт-цель находится в точке А, истребитель в районе точки В. Скорости цели и истребителя соответственно равны и (). Установить траекторию полёта истребителя в горизонтальной плоскости от точки В, чтобы обнаружить цель, если от точки А цель летит прямолинейно, но с неизвестным курсом.

Решение. Пусть цель летит из точки А в точку В, то время полёта будет равно , где расстояние от точки A до точки B. За это время истребитель должен прибыть в точку В. Если в точке В цель не будет обнаружена, т. е. она следует не по прямой АВ, истребитель следует из точки В по какой-то кривой. Пусть точка М, принадлежащая этой кривой, является точкой предполагаемой встречи. Пути, проходимые целью и истребителем, найдём по формулам:

. Выражая из первой формулы и подставляя во вторую, получим . Пусть точка М имеет полярные координаты в системе координат с началом координат в точке A. Тогда . Дифференцируя по , найдем . Используя формулу , получим равенство . После несложных преобразований перейдём к дифференциальному уравнению . Приняв , будем иметь . Решением уравнения с разделяющимися переменными будет семейство функций или . Учитывая начальные условия , найдём , тогда . Получили уравнение логарифмической спирали, по которой должен лететь истребитель, чтобы обнаружить цель.

Пример 2.

Истребитель пикирует с горизонтального полёта. Определить закон изменения скорости пикирования по вертикальной составляющей в зависимости от пути, пройденного истребителем. Сопротивление воздуха считать пропорциональным квадрату скорости.

Решение. На самолёт при пикировании действует сила тяжести и сопротивления воздуха , где это пройденный самолётом путь по вертикали за время . На основании второго закона Ньютона получим дифференциальное уравнение . Так как в задаче требуется установить связь между скоростью и пройденным по вертикали путём , то введём переменную . Тогда . Отсюда получим или , откуда . Значение найдём с учётом начальных условий: при откуда Подставив в общее решение, найдём Получили закон изменения скорости пикирования по вертикальной составляющей в зависимости от пути, пройденного самолётом.

Пример 3.

На высоте 2 км самолёт начинает боевой разворот и выполняет его с постоянной скоростью км/ч и углом наклона траектории к горизонту . За сколько времени самолёт достигнет высоты 3 км? На какую высоту поднимется самолёт за 30 секунд?

Решение. Пусть высота, на которой находится самолёт. Из условия получим, что . Тогда , откуда Учитывая, что , из последней формулы получим, что время, за которое самолёт достигнет высоты 3 км равно

Аналогично получаем, что , откуда высота, на которую самолёт поднимется за 30 секунд можно найти как

Литература:

  1. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.– Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. –176с.
  2. Докучаев В. Д., Озерецковская М. М. Высшая математика. Военно-прикладные задачи.– Тип. СВВАУЛШ, 1989.– 127c.
Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, истребитель, высота, изменение скорости пикирования, математическая модель, решение, сопротивление воздуха.


Похожие статьи

Определение некоторых параметров летательных аппаратов...

Рассматривается математическая модель, описывающая силы подъема и сопротивления

Математически уравнения идеальной гидроаэромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и...

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

Существенное влияние на биоценозы оказывает и производственная деятельность человека, приводящая к изменению условий

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. О математических моделях симбиоза | Статья в журнале...

Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса

В результате расчетов получены зависимости изменения безразмерной осевой скорости с. Исходные уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости для плоского случая в... Идентификация математической модели обтекания крыльевого...

Процесс проектирования авиационного ГИД в системе...

Под математической моделью двигателя и самолета понимается система уравнений и аналитических связей, характеризующих движение

- коэффициент, учитывающий повышенный расход топлива при взлете, наборе высоты и скорости и при посадке самолета.

Изучение движения квадрокоптера в вертикальной плоскости

Математическая модель квадрокоптера.

где , - проекции силы сопротивления на оси x, z соответственно. Запишем систему дифференциальный уравнений, описываемых движение объекта в вертикальной плоскости

О точном решении задачи движения вязкой сжимаемой жидкости...

Так как модель одномерная, то равны нулю и компоненты скорости по осям Y, Z. Таким образом, исходное уравнение с граничными

Решена система уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь... Возможные методы решения математических задач...

Математическая модель популяции, подверженной промыслу

В работе [60] в качестве математической модели одиночной популяции было предложено уравнение.

Для построения численного решения дифференциальных уравнений используются различные методы аппроксимации решений.

Математическая модель динамики вязкой жидкости...

Библиографическое описание: Комилова Х. М. Математическая модель динамики вязкой жидкости

Решением уравнения(10) при условии (11) будет

Определение расхода воздуха, проходящего через... В настоящее время таким параметром является

вязкая сжимаемая жидкость, распределение скорости, определяющее соотношение, уравнение, прямоугольная...

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Поставлена математическая задача о двух взаимодействующих на отрезке популяциях по принципу хищник-жертва. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных уравнений в частных производных.

Похожие статьи

Определение некоторых параметров летательных аппаратов...

Рассматривается математическая модель, описывающая силы подъема и сопротивления

Математически уравнения идеальной гидроаэромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и...

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

Существенное влияние на биоценозы оказывает и производственная деятельность человека, приводящая к изменению условий

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. О математических моделях симбиоза | Статья в журнале...

Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса

В результате расчетов получены зависимости изменения безразмерной осевой скорости с. Исходные уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости для плоского случая в... Идентификация математической модели обтекания крыльевого...

Процесс проектирования авиационного ГИД в системе...

Под математической моделью двигателя и самолета понимается система уравнений и аналитических связей, характеризующих движение

- коэффициент, учитывающий повышенный расход топлива при взлете, наборе высоты и скорости и при посадке самолета.

Изучение движения квадрокоптера в вертикальной плоскости

Математическая модель квадрокоптера.

где , - проекции силы сопротивления на оси x, z соответственно. Запишем систему дифференциальный уравнений, описываемых движение объекта в вертикальной плоскости

О точном решении задачи движения вязкой сжимаемой жидкости...

Так как модель одномерная, то равны нулю и компоненты скорости по осям Y, Z. Таким образом, исходное уравнение с граничными

Решена система уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь... Возможные методы решения математических задач...

Математическая модель популяции, подверженной промыслу

В работе [60] в качестве математической модели одиночной популяции было предложено уравнение.

Для построения численного решения дифференциальных уравнений используются различные методы аппроксимации решений.

Математическая модель динамики вязкой жидкости...

Библиографическое описание: Комилова Х. М. Математическая модель динамики вязкой жидкости

Решением уравнения(10) при условии (11) будет

Определение расхода воздуха, проходящего через... В настоящее время таким параметром является

вязкая сжимаемая жидкость, распределение скорости, определяющее соотношение, уравнение, прямоугольная...

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Поставлена математическая задача о двух взаимодействующих на отрезке популяциях по принципу хищник-жертва. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных уравнений в частных производных.

Задать вопрос