Convergent sequences in Cesaro mean | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 30 ноября, печатный экземпляр отправим 4 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (193) февраль 2018 г.

Дата публикации: 17.02.2018

Статья просмотрена: 26 раз

Библиографическое описание:

Ахмедова Д. Д., Охундадаев У. Р. Convergent sequences in Cesaro mean // Молодой ученый. — 2018. — №7. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/193/48395/ (дата обращения: 21.11.2019).



In mathematics, the Cesàro means of a sequence are the terms of the sequence , where

is the arithmetic mean of the first n elements of .

This concept is named after Ernesto Cesàro (1859–1905).

A basic result states that the limit of a convergent sequence equals the limit of its Cesàro mean. That is, the operation of talking Cesàro means preserves the convergence and the limit of a sequence. This is the basis for using Cesàro means in summability method in the theory of divirgent series.

Let m space of really limited sequences with norm where . It is known that, m is a complete bordered space. We denote by the space of convergent sequence. It is obvious that, is a closed sub-space in . Next, we denote by the subset of consisting of sequence of convergent in Cesàro mean, i.e

if, exist limit , where

Let the operator ch Cesàro be the operator associated with the sequence . We denote by set of sequence of , for which it is easy to notice that,

Let

Statement 1

All are a linear subspace of

Task 1

Whether closed subspace when ?

We consider sequences of m, such that or 1

Task 2

Does conformity m?

Definition 1. Let us given the sequence . If the sequence which consist of elements of the sequence converges to then the sequence converges to in Cesàro mean.

Example. Let us consider the following sequence

We have an oscillating sequence, but in the Cesàro means it has limit

So, the sequence converges to in Cesàro mean.

Suppose given the sequence such that

Where are terms of arithmetic progression.

Theorem 1. If are the terms of arithmetic progression, where and then sequence (1) is convergent in Cesàro mean.

Proof.

Where sum of odd members of arithmetic progression,

sum of all members of arithmetic progression.

Then sequence (1) is convergent in Cesàro mean to

.

Theorem 2. If are terms of geometric progression, where and when

then sequence is not convergent in Cesàro mean.

Proof.

Where sum of odd members of geometric progression,

sum of all members of geometric progression.

then sequence is not convergent in Cesàro mean

.

Definition 2. Let us given the sequence . The sequences and whose consist of elements of the sequences and accordingly. If the second sequence converges to then the sequence has the second convergence to in Cesàro mean.

Theorem 3. If are the terms of geometric progression, where and

Then the sequence (2) has the second convergence in Cesàro mean.

Proof.

Suppose given the sequence such that

Where sum of odd members of geometric progression,

sum of all members of geometric progression.

Then sequence (2) is convergent in Cesàro mean to

References:

  1. Hardy, G.H.(1992). Divergent Series. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978–0-8218–2649–2
  2. Katznelson, Yitzhak (1976). An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover publications. ISBN 978–0-486–63331–2
Основные термины (генерируются автоматически): ISBN.


Похожие статьи

Зачем нам нужен ISBN? — Молодой ученый

Расшифровывается ISBN как International Standard Book Number, то есть «международный стандартный номер книги».

Спецвыпуски журнала — Молодой ученый

По итогам конференции всегда издается сборник статей, и с этим связаны многочисленные трудности: верстка, обложка, ISBN, обязательная рассылка, загрузка на elibrary.ru и т.д...

История становления бухгалтерского учета | Статья в журнале...

– 240 с. – ISBN 978-5-699-23985-6. Все положения по бухгалтерскому учету: с изменениями и дополнениями на 2016 год.

Материалы II международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Санкт-Петербург. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в ноябре 2012 года. ISBN 978-5-91918-183-5.

Материалы II международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Санкт-Петербург. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в ноябре 2013 года. ISBN 978-5-91918-393-8.

Материалы IV международной научной конференции «Актуальные...

Место проведения конференции и издания сборника Уфа. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в ноябре 2013 года. ISBN 978-5-87308-055-7.

Материалы III международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Краснодар. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в феврале 2016 года. ISBN 978-5-905557-78-1.

Материалы VI международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Москва. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в июне 2015 года. ISBN 978-5-4465-0695-8.

Материалы II международной научной конференции «Государство...

Место проведения конференции и издания сборника Чита. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в марте 2013 года. ISBN 978-5-905483-11-0.

Материалы международной научной конференции «Современная...»

Место проведения конференции и издания сборника Уфа. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в апреле 2011 года. ISBN 978-5-87308-035-6.

Похожие статьи

Зачем нам нужен ISBN? — Молодой ученый

Расшифровывается ISBN как International Standard Book Number, то есть «международный стандартный номер книги».

Спецвыпуски журнала — Молодой ученый

По итогам конференции всегда издается сборник статей, и с этим связаны многочисленные трудности: верстка, обложка, ISBN, обязательная рассылка, загрузка на elibrary.ru и т.д...

История становления бухгалтерского учета | Статья в журнале...

– 240 с. – ISBN 978-5-699-23985-6. Все положения по бухгалтерскому учету: с изменениями и дополнениями на 2016 год.

Материалы II международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Санкт-Петербург. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в ноябре 2012 года. ISBN 978-5-91918-183-5.

Материалы II международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Санкт-Петербург. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в ноябре 2013 года. ISBN 978-5-91918-393-8.

Материалы IV международной научной конференции «Актуальные...

Место проведения конференции и издания сборника Уфа. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в ноябре 2013 года. ISBN 978-5-87308-055-7.

Материалы III международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Краснодар. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в феврале 2016 года. ISBN 978-5-905557-78-1.

Материалы VI международной научной конференции...

Место проведения конференции и издания сборника Москва. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в июне 2015 года. ISBN 978-5-4465-0695-8.

Материалы II международной научной конференции «Государство...

Место проведения конференции и издания сборника Чита. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в марте 2013 года. ISBN 978-5-905483-11-0.

Материалы международной научной конференции «Современная...»

Место проведения конференции и издания сборника Уфа. Конференция состоялась в заочной (дистанционной) форме в апреле 2011 года. ISBN 978-5-87308-035-6.

Задать вопрос