Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 25 июля, печатный экземпляр отправим 29 июля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: , ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №50 (184) декабрь 2017 г.

Дата публикации: 19.12.2017

Статья просмотрена: 58 раз

Библиографическое описание:

Садиков, Х. С. Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости / Х. С. Садиков, Д. А. Абдуллаева, А. Ж. Халилов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 50 (184). — С. 82-85. — URL: https://moluch.ru/archive/184/47090/ (дата обращения: 12.07.2020).



Работа посвящена численному моделированию задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости.

Ключевые слова: жесткость вязкоупругих пластин, изгиб, коэффициент Пуассона, объемный модуль упругости, R — функция,полные системы координатных функций.

Математическая модель задач изгиба вязкоупругих пластин описывается уравнением

(1)

Если при формулировке основных физических соотношений используется гипотеза о постоянстве коэффициента Пуассона, изгибающие и крутящие моменты определяются следующими зависимостями:

(2)

где D- жесткость вязкоупругих пластин; интегральный оператор с ядрами релаксации R(t), т. е. )d — прогиб пластины;

µ — коэффициент Пуассона; q (x, y, t)-интенсивность внешней нагрузки.

Если же используется гипотеза об упругости объемных деформации, тогда для изгибающих и крутящего моментов справедливы зависимости

(3)

где G=E/2(1+µ) — модуль сдвига; E — модуль упругости; — интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксации — интегральный оператор, т. е.

K=E/3(1- 2µ) — объемный модуль упругости; h — толщина пластины.

Для получения уравнения движения достаточно вместо q(x,y,t) в уравнение (1) подставить выражение q(x,y,t) — ρh и получим следующие уравнение колеблющейся тонкой вязкоупругой плиты

(4)

где ρh — масса плиты, отнесенная к единице поверхности.

Уравнения (1) и (4) решаются при соответствующих граничных и начальных условиях

(5)

где — дифференциальные операторы, зависящие от граничных условий; Г — граница области; и начальные значения.

Решения уравнений (1) и (4) ищем в виде

W(x,y,t)=(6)

где - полные системы координатных функций (полиномы Чебышева, степенные, тригонометрические, сплайны Шенберга и т. д.) СКФ, удовлетворяющие всем граничным условиям, которые строятся с помощью метода R — функций В. Л. Рвачева [1]; — неизвестные функции, являющиеся функциями времени t.

После применения метода Бубнова — Галеркина решение уравнения (1) и (4) сводится к решению системы интегральных (ИУ) и интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) относительно функций времени. Отметим, что при решении задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы используется ортонормированные СКФ по бигармоническому и единичному операторам соответственно. Здесь использование ортонормированной СКФ существенно облегчает решение систем интегральных и ИДУ.

В случае задачи изгиба после ортонормированные СКФ по бигармоническому оператору основные разрешающие уравнений приводятся к автономным системам ИУ. В случае задачи колебаний, основные разрешающие уравнений с помощью метода разложения собственных форм колебаний, приводятся к автономным системам ИДУ. Для решения автономным систем интегральных и ИДУ применяется численный метод, основанный на использовании квадратурных формул [2]. На основе этого метода описан алгоритм численного решений.

Исследована сходимость вычислительного алгоритма и показана достоверность результатов, полученных с помощью комплекса программных средств путем их сопоставления с точным решением или решениями, полученными другими авторами.

Рассмотрим задачи изгиба вязкоупругой пластины (рис.1). Пусть пластина, материал, который характеризуется упругими объемными деформациями, жестко защемлена по всему контуру и находится под действием равномерно распределенной нагрузки (q=1). Исследуется характер поведения прогиба W, изгибающих , и крутящего моментов в зависимости от изменение границы области. В качестве ядра сдвиговой релаксации используется ядро R(t)=ε.

Уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1, имеет вид:

Рис. 1.

Ω=(((Ω 1 3 Ω 5))) 2 4 Ω 6))) Ω 7

где Ω 1 =(a2-x2)/2a, Ω 2 =(b2-y2)/2b,

Ω 3 =((x+a)2+y2-R2)/2R, Ω 4 =(x2+(y+b)2-R2)/2R

Ω 5 =((x-a)2+y2-R2)/2R, Ω 6 =(x2+(y-b)2-R2)/2R, Ω 7 =(x2+y2-R2)/2R

оператор логический конъюнкции нулевого порядка.

На рис.2, а показано изменение прогиба во времени (пунктирная линия) в точке с координатами х=0.5; у=0.5, а на рис.2,б — изменение изгибающего и крутящего моментов (пунктирная линия) в той же точке.

а) б)

Рис. 2. а, б

Для сравнения на тех же рисунках (сплошными линиями) показано изменение тех же величин для пластины с постоянными во времени коэффициентом Пуассона и ядром релаксации, совпадающим с ядром Rc(t) для рассматриваемой пластины.

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:

Λ=a/b=1; r=R/a=0.2; ε=0.05; β=0.075; µ=0.17

Из рис.2 видно, что если материал вязкоупругих пластин характеризуется упругими объемными деформациями, тогда даже при постоянных внешних нагрузках прогиб, изгибающий и крутящий моменты изменяется, т. е. прогиб и изгибающий момент увеличивается во времени, а крутящий момент уменьшается. Результаты полученные на основе гипотезы об упругости объемных деформаций хорошо согласуются с результатами эксперимента. Однако для простоты в инженерных расчетах часто делается предположение, что коэффициент Пуассона является постоянной во времени величиной. А также результаты получено для пластины с постоянным во времени коэффициентом Пуассона при использовании различных ядер релаксации, в частности, ядер экспоненциального вида, ядер Ржаницына — Колтунова и Абеля. Результаты показывает, когда в качестве ядра релаксации используется ядра Абеля, то с увеличением времени t значение прогиба увеличивается гораздо быстрее. Поставленная задача решена при различных значениях безразмерных параметров. Сравнительный анализ показывает, что частично изменение формы границы области приводит к довольно существенному изменению напряженно-деформированного состояния пластин.

Далее рассмотрим вынужденные колебания жестко защемленных вязкоупругих пластин (рис.1) и находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки при начальных условиях W|t=0=0, Wt|t=0=0. В качестве ядра сдвиговой релаксации используется экспоненциальное ядро.

Рис. 3.

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:

Λ=a/b=1; r=R/a=0.2; ε=0.05; β=0.075; µ=0.17

На рис.3 показано изменение прогиба пластины W(0.5;0;t) во времени t (пунктирными линиями), полученные на основе гипотезы об упругости объемных деформаций. Для сравнения сплошными линиями показано изменение прогиба пластины W(0.5;0;t), полученное на основе гипотезы о постоянстве коэффициента Пуассона. Из рисунка видно, что учет упругости объемных деформации приводит к уменьшению амплитуды колебаний, а процесс затухания происходит медленно. Отметим, что при ε=0 процесс колебаний вязкоупругих пластин совпадает с процессом колебаний упругих пластин. Интересно отметить, что при ε<0.001 мы фактически рассматриваем процесс колебаний упругой пластины, и надо подчеркнуть, что при ε=0,1 процесс затухания колебаний происходит быстрее, чем ε=0,05 и ε=0,001.

Задача решена при различных значениях безразмерных параметров, подробно исследовано влияние учета вязкоупругих свойств материала на амплитуду и частоту колебаний в зависимости от внешней нагрузки и граничных условий. Учет вязкоупругих свойств материала пластинки приводит к снижению амплитуды колебаний и вызывает ее затухание по экспоненциальному закону. При затухании колебаний огромную роль играет реологический параметр ε.

Численные результаты показывает, что выбор той или иной гипотезы при формулировке физических соотношений приводит к довольно существенному изменению напряженно-деформированного состояния пластин.

На основе предложенного алгоритма задач разработан комплекс программных средств, с помощью которых оперативно решаются задачи наследственной теории вязкоупругости для тел с произвольной конфигурацией [3–4].

Литература:

  1. Рвачев В. Л., Курпа Л. В. R-функций в задачах теории пластин. Киев: Наукова думка.1987.176 с.
  2. Бадалов Ф. Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент. Мехнат.1987.289 с.
  3. Назиров Ш. А., Садиков Х. С. Комплекс программных средств для решения краевых задач вариационными методами./Алгоритмы. Ташкент: РИСО АН Уз.Вып.65.1988.
  4. Садиков Х. С., Халилов А. Ж. Компьютерное моделирование и исследование краевых задач вязкоупругости произвольной конфигурации в среде системе Maple. Материалы научно-технической конференции «Перспективы науки и производства химической технологии в Узбекистане». Навои. 22–24 мая 2014 г. С. 247–248.
Основные термины (генерируются автоматически): крутящий момент, пластина, основа гипотезы, интегральный оператор, сдвиговая релаксация, пунктирная линия, изменение прогиба пластины, объемный модуль упругости, качество ядра, сложная форма.


Ключевые слова

коэффициент Пуассона, изгиб, жесткость вязкоупругих пластин, объемный модуль упругости, R — функция, полные системы координатных функций

Похожие статьи

Автоматизация решения краевых задач вязкоупругих пластин...

где G=E/2(1+µ) — модуль сдвига; E — модуль упругости; — интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксацииинтегральный оператор, т. е.

Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок

...прогиба прямоугольных пластинок со сложными граничными условиями, нагруженных

интегральной характеристики формы плоской области — коэффициента формы Кf.

0,5999) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные...

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Вопрос об изгибе прямоугольных пластин переменной толщины — один из сложных в теории изгиба тонких плит.

При этом граничные условия (2) принимают форму

Для сравнения в табл.I приведены численные значения прогиба и изгибающих моментов по оси симметрии...

Численное моделирование задач о флаттере вязкоупругих систем

, (1). где — модуль упругости; — коэффициент Пуассона; символ (xy) указывает, что остальные соотношения получаются круговой перестановкой индексов; — интегральный оператор с ядром релаксации .

Прикладные возможности деформационной модели железобетона

Использование жесткой арматуры в качестве ненапрягаемых стержней также не требует изменений

При всем многообразии задач, решаемых на основе деформационной модели

Необходимая жесткость элемента оценивается проверкой расчетных значений прогибов с...

О распространении гармонических волн в деформируемой...

E — операторный модуль упругости, которые имеют вид: -произвольная функция времени; -ядро релаксации; -мгновенной модуль упругости; -коэффициент

Число узловых точек формы колебаний прогиба зависит не только от кривизны, но и от волнового числа. Литература

Исследование динамики разрушения и демпфирования удара...

...меняется, сложно точно зафиксировать момент разрушения по изменению напряжений.

Скорость звука в среде в свою очередь выражается формулой: где Е - модуль упругости, ρ

На основе использования результатов натурных испытаний проведена верификация...

Похожие статьи

Автоматизация решения краевых задач вязкоупругих пластин...

где G=E/2(1+µ) — модуль сдвига; E — модуль упругости; — интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксацииинтегральный оператор, т. е.

Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок

...прогиба прямоугольных пластинок со сложными граничными условиями, нагруженных

интегральной характеристики формы плоской области — коэффициента формы Кf.

0,5999) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные...

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Вопрос об изгибе прямоугольных пластин переменной толщины — один из сложных в теории изгиба тонких плит.

При этом граничные условия (2) принимают форму

Для сравнения в табл.I приведены численные значения прогиба и изгибающих моментов по оси симметрии...

Численное моделирование задач о флаттере вязкоупругих систем

, (1). где — модуль упругости; — коэффициент Пуассона; символ (xy) указывает, что остальные соотношения получаются круговой перестановкой индексов; — интегральный оператор с ядром релаксации .

Прикладные возможности деформационной модели железобетона

Использование жесткой арматуры в качестве ненапрягаемых стержней также не требует изменений

При всем многообразии задач, решаемых на основе деформационной модели

Необходимая жесткость элемента оценивается проверкой расчетных значений прогибов с...

О распространении гармонических волн в деформируемой...

E — операторный модуль упругости, которые имеют вид: -произвольная функция времени; -ядро релаксации; -мгновенной модуль упругости; -коэффициент

Число узловых точек формы колебаний прогиба зависит не только от кривизны, но и от волнового числа. Литература

Исследование динамики разрушения и демпфирования удара...

...меняется, сложно точно зафиксировать момент разрушения по изменению напряжений.

Скорость звука в среде в свою очередь выражается формулой: где Е - модуль упругости, ρ

На основе использования результатов натурных испытаний проведена верификация...

Задать вопрос