Автор: Шустов Виктор Владимирович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (18) июль 2010 г.

Статья просмотрена: 62 раза

Библиографическое описание:

Шустов В. В. Расширение набора арифметических операций до множества целых чисел в рамках общего действия // Молодой ученый. — 2010. — №7. — С. 19-24.

Рассмотрены  обратные  арифметические операции как отрицательные значения операционного параметра в общем действии a[n]kh. С использованием двух аксиом знака  расширено множество натуральных операций до множества целых операций. Показано, что все 7 арифметических операций могут быть представлены как числовые значения операционного параметра общего арифметического действия. Установлено свойство двойственности, имеющее место для ассоциативных и коммутативных операций при n= 1, 2, и позволяющее единообразно выводить свойства операций с целыми числами, дробями, логарифмами и корнями. Показана упорядоченность арифметических операций, соответствующая упорядоченности целых чисел.

Ключевые слова: обратные арифметические операции, аксиоматика общего действия, отрицательный номер операции, итерационный параметр, расширение числа операций

Введение

В работе [1] предложено представление прямых арифметических операций в числовой форме, согласно которого операциям сложения, умножения и возведения в степень поставлено в соответствие положительные целые числа 1, 2, 3 , соответствующие номеру операции n в арифметическом выражении a[n]kh. Это выражение  можно также рассматривать как запись общего арифметического действия, имеющего четыре параметра: начальный, операционный, итерационный и шаговый, обозначенные буквами a, n, k,h, соответственно. Общее арифметическое действие определено на расширенном множестве натуральных чисел, включающем число ноль.

Общее действие представляет собой рекурсивную функцию, представленную в инфиксной форме и определяемую набором итерационных и начальных аксиом. В аксиомах используется понятие функция следования, ставящая в соответствие своему аргументу – натуральному числу x  следующее натуральное число x',  и числовые константы 0 – ноль и 1 – единица, связанные соотношением     0' = 1, а также обозначение en - начальное значение n-ой операции. При этом используется  соглашение по умолчанию, что при значении итерационного параметра  k= 1 этот параметр может опускаться.

Итерационными аксиомами, определяющее общее действие, являются следующие равенства.

I1        a[1] 1 1 = a' .                           I1'               a + 1 = a' .

I2        a[1] 1 h' = (a[1] 1 h)' .              I2'               a + h' = (a + h)'.

I3             a[n']1 h = en [n] a h .               I3'          a[n+1]h = en [n] a h .      


I4        a[n] k' h = (a [n] k h) [n] 1 h.    I4'        a[n] k+1 h = (a [n] k h) [n]1 h .

 

Начальными аксиомами являются следующие равенства.

N1                  a[1]1 0 =  a .                  N1'           a + 0 = a .

N2                  a[0]k h =  a .

N3                  a[n]0 h =  a .

Аксиомы со штрихом отличаются от аксиом без штриха лишь символьным обозначением “+” операции сложения, соответствующей значению операционного параметра n = 1, и основным свойством начального значения операции en, выраженной аксиомой I5' .

В работе [1] исследованы общие и частные свойства общего действия при неотрицательных значениях его параметров.

Было бы интересно в рамках предложенного подхода рассмотреть обратные операции - вычитание, деление и логарифмирование, а также извлечение корня - и с другой стороны расширить множество значений операционного параметра в общем арифметическом действии до целых чисел.  Для этого необходимо ввести  понятие знака числа и дать определяющие его свойства аксиомы.

Аксиомы отрицательных чисел

Наряду   с   натуральными  или    положительными   целыми  числами  вида  n = 1, 2, 3… можно рассматривать и отрицательные целые числа вида  -n = -1, -2, -3… , которые получаются из положительных чисел приписыванием впереди знака  минус: “–”. Таким образом, для каждого положительного  числа существует, или, то же самое, можно построить,  отрицательное число.

Множество положительных, отрицательных целых чисел и числа нуль составляет множество целых чисел и обозначается как Z. Таким образом, в понятиях теории множеств [2]  Z равно объединению множеств N,  –N и {0}, т.е.  Z =  –N È {0} È  N .

Числа вида –n = -1, -2, -3,… можно также рассматривать как результат применения операции изменения знака “-” к натуральному числу n. К отрицательному  числу -n также можно применить операцию “–”. Принимается, что в этом случае получается исходное число n. Аналогично для отрицательного числа –n двойное применения операции отрицания дает в результате то же отрицательное число -n.

Первая знаковая аксиома целых  чисел может быть записана как

 Z1                                   -(-z)) = z .

Двукратное изменение знака числа z приводит к тому же самому числу z. Таким образом, множество значений знака числа бинарно: либо знака у числа нет - в этом случае число называется положительным,  либо знак есть - в этом случае число называется отрицательным. Применение операции изменения знака, выполненное четное число раз, не изменяет знак исходного числа, а выполненное нечетное число раз,  изменяет его.

Вторая знаковая аксиома целых  чисел может быть записана как

Z2                                   -z + z = 0

и выражена словами: сумма противоположных чисел равна нулю.

 

 Определение итерационного параметра при отрицательных его значениях

Расширим область определения итерационного параметра  общего  действия a[n]kh до множества целых чисел.

Формула для суммы m+k итерационных параметров m и k  из [1, с. 22]

                              a[n]m+ k h = (a[n]m h)[n]k h

при m = -k может быть записана как

                              a[n]-k + k h = (a[n]-k h)[n] k h .                          (1)

Левая часть (1) в силу аксиомы Z2 и аксиомы N3   (a[n]0 h a) будет равна      

                            a[n]-k + k  h = a[n]0 h = a

и, соответственно, (1) перепишется в виде

                                  (a[n]-kh)[n]kh = a,                                     (2)

что дает определение итерационного параметра при отрицательных его значениях.

 

Определение обратных операций

Пусть для общего арифметического действия известен результат c, но не известен начальный параметр x. Тогда говорят, что  x определяется уравнением

                                 x[n]kh = с .                                                  (3)

В силу формулы (2) корень уравнения (3) может быть представлен как

                                 x= с[n]-kh,

а выражение с[n]-kh может быть названо обратным арифметическим действием.

Таким образом,  можно сказать, что прямые арифметические операции  это общее арифметическое действие при натуральных значениях  итерационного параметра, а обратные операции - при отрицательных значениях этого параметра.

Учитывая, что обратные арифметические операции традиционно определяются соотношениями

                            (c -h) + h = c,

                            (c / h) * h = c,

                                hloghc     = c,

соответственно, для вычитания, деления и логарифмирования, которые могут быть переписаны в обозначениях  общего арифметического действия при k= 1 как

                                       (c - h)[1]h = c,

                               (c / h)[2]h = c,

                                loghc[3]h = c,

можно поставить в соответствие знакам обратных арифметических операций -, /, log соответствующие числа прямых операций и значение итерационного параметра k, равного –1.

Ниже представлена таблица соответствия символьного и числового представления обратных операций

Номер обратной операции

1

2

3

n

Название обратной операции

вычитание

деление

логарифми-рование

n-я опе-рация

Символьное обоз-начение операции

a-h

a/h

logha

нет

Числовое обоз-начение операции

a[1]-1h

a[2]-1h

a[3]-1h

a[n]-1h

 

Расширение множества натуральных операций до множества целых операций

По аналогии с отрицательным числом операций введем отрицательный номер операции. Примем по определению, что

                            a[-n]h= a[n]-1h ,                                         (4)

то есть действие с отрицательным номером операции есть действие с положительным ее номером и значением итерационного параметра k = -1.

 В случае, когда и операционный параметр отрицателен и итерационный параметр также отрицателен, примем соглашение, что

                           a[-n]-kh = a[n]kh  .                                      (5)

Правило знаков номера операции n и числа повторений операции k можно записать в виде таблицы

n\k

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

Заметим, что цепочка соотношений

                    a[-n]-k h = a[n]-(-k) h = a[n]k h

и цепочка соотношений

                    a[-n]-kh = a[-(-n)]h = a[n]kh

соответствуют второй знаковой аксиоме Z2 как для итерационного параметра k, так и для номера операции n.

Правило знаков может также быть записано в виде двух положений.

1. Знак операционного параметра можно изменить одновременно с изменением знака итерационного параметра без изменения результата действия.

2. Знак итерационного параметра  можно перенести на операционный параметр и наоборот.

Определение обратной операции для шагового параметра при n= 1, 2

Рассмотрим уравнение относительно шагового параметра

                             a[n]x= с .                                                (6)

Для n = 1, 2 в силу коммутативности операций сложения и умножения это уравнение эквивалентно уравнению

                           x[n]a= с,

и решение его представляется аналогично решению для начального параметра в виде

                                 x = с[n]-1 a       

или в соответствии с правилом знаков (4)  выражением

                               x= с[-n]a .

В этом случае одна и та же обратная операция применяется как к начальному параметру, так и к шаговому параметру общего действия.

В случае, когда n ³ 3 (возведение в степень и выше), прямая операция является некоммутативной, т.е. в общем случае при произвольных a, n, h

                                 a[n]h¹  h[n]a ,

поэтому обратная операция для шагового параметра не равна обратной операции для ее начального параметра.

Определение обратной операции для шагового параметра при n= 3

Пусть   имеем уравнение относительно  шагового параметра для операции  возведения в степень

                            a[3]x= с,                                                      (7)

что эквивалентно в обычных обозначениях уравнению

                            xa  = с.

Решением уравнения (7) является выражение

                      x= (1/a)[3]с .                                                        (8)

Действительно, подставляя выражение (8) в уравнение (7) и используя формулу  a[n+1](b[n+1]c) = (a*b)[n+1]c из работы [1, с. 25],  имеем для левой части (7) при n = 2

            a[3]((1/a)[3]с) = (a*1/a)[3]с = 1[3]с = с ,

что обращает  (7) в верное равенство.

В привычных обозначениях решение уравнения (7) записывается как

                        x= aÖс  .                                                               (9)

Из выражений (8) и (9) следует, что

                     aÖс = (1/a)[3]с .

Таким образом, операция определения величины шагового параметра по известным значениям начального параметра a и результата операции с,  называемая традиционно извлечением корня a-й степени из числа с, выражается через прямую операцию с обратным значением начального параметра прямой операции.

Ниже представлена единая таблица названий и обозначений прямых и обратных операций в числовом и символьном обозначениях при значениях итерационного параметра k= 1 (по умолчанию он не пишется) и k = -1.

Номер операции

Название операции

Символьное обозначение

Числовое обозначение операции (k = 1)

Числовое обозначение (k = -1)

n

n-я операция

нет

a[n]h

a[-n] -1 h

4

тетрация

ah

a[4]h

a[-4] -1 h

3

возведение в степень

ha

a[3]h

a[-3] -1 h

2

умножение

a*h

a[2]h

a[-2] -1 h

1

сложение

a+h

a[1]h

a[-1] -1 h

0

нулевая

нет

a[0]h

a[0] -1 h

-1

вычитание

a-h

a[-1]h

a[1] -1 h

-2

деление

a/h

a[-2]h

a[2] -1 h

-3

логарифмирование

logha

a[-3]h

a[3] -1 h

-n

-n-я операция

нет

a[-n]h

a[n] -1 h

Таким образом, все 7 известных арифметических операций представлены как определенные значения номера операции и  для операции извлечения корня – значения начального параметра в общем арифметическом действии.

В рамках рассмотрения обратных операций приобретает однозначность выбор начала нумерации операций сложения, умножения,  возведения в степень и далее. Нумерацию операций следует начинать не с 0, как сделано в работе [3], а с 1 как предложено в работе [4].

На основе предложенных в  [1] аксиом  и аксиом знака Z1, Z2 могут быть получены известные свойства обратных операций. Так, например, если к обеим частям равенства из [1, с. 25], верного при n = 1, 2

           (a[n+1]c)[n](b[n+1]c) = (a+ b)[n+1]c

применить обратную операцию, то получится равенство

((a[n+1]c)[n](b[n+1]c)) [n+1] -1c = ((a+ b)[n+1]c) [n+1] -1c .

Левая часть равенства при a x[n+1]-1c  и  b y[n+1]-1c будет равна

(x[n]y)[n+1]-1c, а правая часть равенства преобразуется как

(x[n+1] -1c + y[n+1] -1c) [n+1] 1-1c = x[n+1] -1c + y[n+1] -1c .

Окончательно, приравнивая правую и левую части, имеем

               (x[n]y)[n+1] -1c = x[n+1]-1c + y[n+1] -1c.

Это тождество при n= 1 соответствует равенству

                (x+y)/c= x/c+y/c  - известное свойство дроби 

и при n = 2 соответствует равенству

          (x[2]y)[3]-1c= x[3] -1c+ y[3] -1c , что в привычных обозначениях

             log c x*y = log c x + log c y

выражает одно из свойств логарифмов.

Необходимо отметить, что общее действие определено для всех  значений своих параметров только в неотрицательном диапазоне изменений этих параметров и в смысле теории алгоритмов [3] оно представляет собой при этих значениях параметров пример общерекурсивной функции. В тоже время, если какой либо параметр принимает отрицательное значение, то общее действие при каких-то значениях других параметров может быть не определено, т.е. при этих условиях общее действие представляет собой частично рекурсивную функцию. Типичный пример: как известно, не существует действительного числа x, такого, что x2 = -1, т.е. выражение (1/2)[3] (-1) не определено.

Также и выражение вида 1[3] –2 h= logh logh 1 не определено.

Таким образом, необходимо всякий раз исследовать вопрос о том, при каких значениях своих параметров общее действие определено и имеет смысл.

Заключение

В рамках общего арифметического действия и с использованием двух аксиом знака показано, что все четыре обратные действия: вычитание, деление и логарифмирование, а также извлечение корня, могут быть представлены как определенные числовые значения операционного параметра общего действия.

Расширено множество значений операционного и итерационного параметров общего арифметического действия с натурального ряда до множества целых чисел.

Показано, что свойства операций с целыми числами, дробями, логарифмами и корнями могут быть единообразно получены из аксиом, определяющих общее арифметическое действие и знаковых аксиом. Отмечено свойство двойственности, имеющее место для ассоциативных и коммутативных операций при n = 1, 2.

Показана естественная упорядоченность арифметических операций с указанием ее начала (нулевая операция) и взаимной обратимости операций сложения и вычитания, умножения и деления, возведения  в степень и логарифмирования, соответствующих противоположным числам 1 и –1, 2 и –2, 3 и –3.

 

Литература:

1. Шустов В.В. Общее действие и некоторые его свойства – М.: Изд. ЛКИ, 2008. – 64с.

2. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Пер. с англ. Тайманова А.Д. - М.: 1970. - 416с.

3. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. , 1986.- 386с.

4. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. Пер. с англ. А.О. Слисенко. Под ред. Г.Е. Минца. – М.: Наука, 1970 - 472с.

 

Основные термины (генерируются автоматически): операционного параметра, арифметических операций, итерационного параметра, общего арифметического действия, шагового параметра, значения операционного параметра, начального параметра, операционного параметра общего, целых чисел, обратных операций, обратной операции, итерационного параметра k, общее действие, арифметические операции, общего действия, обратные арифметические операции, упорядоченность арифметических операций, операций сложения, знака числа, операции изменения знака.

Ключевые слова

обратные арифметические операции, аксиоматика общего действия, отрицательный номер операции, итерационный параметр, расширение числа операций

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос