Рассмотрена методология автоматизированного получения математических моделей прецизионных систем.
Ключевые слова: моделирование, системы моделирования, динамический объект, электромеханическое устройство, электромеханическая система
Методология динамического моделирования
В процессе моделирования любого объекта меняются во времени методы расчётов (аналитические или численные; тот или иной метод численного интегрирования; тот или иной метод численного решения алгебраических уравнений); их параметры (шаг интегрирования, начальные условия для численного интегрирования, начальные приближения для решения систем алгебраических уравнений); структура модели системы; модели отдельных элементов.
Специальное программное ядро выполняет функции планировщика и наблюдателя за процессом моделирования. Включение или выключение расчётной программы, реализующей тот или иной метод расчёта, а также изменение параметров методов (шага интегрирования и т. п.), осуществляется программно (в зависимости от времени), в следящем режиме (в моменты достижения некоторыми переменными определённых значений) и/или в режиме прерывания (по инициативе исследователя, например, в супервизорном режиме).
При управлении процессом моделирования планировщик выполняет функции регулятора, а монитор — функции датчиков обратных связей для замкнутой системы моделирования. Понятие «замкнутая система моделирования» не является новым, существующие системы представлены в простейших вариантах. Например, системы моделирования, использующие адаптивный выбор шага, уже замкнуты по шагу. Более того, они имеют встроенный «датчик» параметрической идентификации объекта (модели), определяющий наименьшую постоянную времени. Существуют также комбинированные методы численного интегрирования, которые автоматически переходят с метода на метод — в зависимости от разных обстоятельств. Это — тоже замкнутые системы моделирования, если в них по ходу дела анализируются текущие процессы (если выполняется изменение метода программно во времени — например, в начале счёта используется один метод, а через заданное количество шагов — другой, то это уже не замкнутые системы моделирования) [1].
В любой замкнутой системе выделяются такие понятия: переменные состояния, параметры, входные и выходные переменные и ошибка [2].
Входные и выходные переменные, очевидно (как в любой замкнутой системе) должны соответствовать целям управления. Возможные цели управления: уменьшение погрешности и уменьшение времени счёта. Т. е., как и в обычных САУ, имеется задача повышения точности (наименьшая погрешность) и уменьшение потребления ресурсов (наименьшее время счёта). Возможно ещё и ограничение по объёму оперативной памяти (чтобы не затрагивать жёсткий диск, что повлияет на постановку задачи уменьшения потребления ресурсов). Для непрерывного увеличения памяти компьютеров, необходимо ввести входные величины системы моделирования: допустимая погрешность и (или) допустимое время счёта. Таким образом, ставится задача оптимального управления процессом моделирования. Соответственно этому, можно описать систему моделирования в виде совокупности некоторых взаимосвязанных элементов (расчётных блоков), параметрами которых являются параметры моделей, например, размерность, постоянные времени. Эти блоки можно представить в терминах САУ. Во-первых, линейные — нелинейные. Рассмотрим линейную операцию», выполняемую тем или иным блоком системы моделирования. Если она линейна, необходимо понять какие параметры (коэффициенты, постоянные времени) там появляются и что является входом и что выходом. Вначале следует рассмотреть простейшую систему моделирования, реализующую тот или иной метод численного интегрирования, где обычно существует система линейных или нелинейных дифференциальных уравнений, которые при численном интегрировании фактически линеаризуются на шаге интегрирования. При задании фиксированного шага интегрирования имеет место расчёт в заданное количество времени и можно сделать оценку заранее по числу операторов [3].
В настоящее время при автоматическом выборе шага интегрирования выполняется оценка параметров численного интегрирования через расчёт параметров текущего переходного процесса. Этот процесс можно развить следующим образом. На первом оценочном (предварительном) шаге интегрирования проводится расчёт моделей модулей и определяется характер предполагаемых процессов, по которым и следует выбирать шаг интегрирования.
Научная проблема
При замене моделей возникает различие во внутренних переменных — их числе, физической сущности и т. п. Например, при переходе от упрощённых алгебраических моделей для установившихся режимов к дифференциальным необходимо рассчитать начальные значения всех внутренних переменных состояния. При переходе от дифференциальных уравнений к алгебраическим также необходимо выполнить специальные расчёты. В случае, когда осуществляется переход от большего числа переменных к меньшему, задача решается хотя бы в принципе. Но в случае, когда осуществляется переход от меньшего числа переменных к большему, задача становится некорректной. Тогда необходимо искать неформальные приёмы её решения. Например, учитывать дополнительные условия, особенности режима.
Оценка параметров численного интегрирования
через расчёт параметров переходных процессов
Оценка параметров численного интегрирования включает:
1) выбор величины шага интегрирования для каждого модуля;
2) выбор варианта модели модуля из нескольких моделей разной степени детализации;
3) оценка величины шага интегрирования для каждого замкнутого контура, содержащего несколько модулей;
4) выбор варианта каждого замкнутого контура, если такие варианты имеются (вместо некоторых замкнутых контуров из нескольких модулей могут существовать модели из одного обобщённого модуля — например, вместо инвертора тока, выполненного на базе инвертора напряжения с обратными связями по току, можно разработать и иметь для использования модель на основе источника тока, т. е. идеализированную и состоящую из одного устройства, а не из нескольких устройств; то же самое может быть в отношении некоторых датчиков и т. п.);
5) сопоставление различных оценок шага интегрирования с выбором общего шага интегрирования [4].
Для этого необходимо сделать оценки моделей модулей:
1) линейные или нелинейные;
2) если линейные, то какие именно значения коэффициентов заданы;
3) какие переходные процессы возможны в данном модуле — апериодические, колебательные затухающие, колебательные незатухающие (например, генератор);
4) какие точки этих процессов должны быть рассчитаны, чтобы получить хорошее приближение дискритизированной кривой переходного процесса к непрерывной.
Если система — полностью линейна, то оценивать каждый модуль не обязательно, так как можно получать матрицу коэффициентов замкнутой (во всяком случае — всей системы), а затем уже работать с ней. При этом можно определить корни характеристического полинома системы. Они могут быть трёх типов: чисто действительные, чисто мнимые и комплексные (с ненулевой действительной частью). Чисто действительные корни означают апериодический переходный процесс, чисто мнимые — незатухающие колебания, комплексные с ненулевой действительной частью — затухающие колебания. Во всех этих случаях можно вычислить минимально допустимый шаг интегрирования, но для этого следует задать критерии его выбора — сколько точек на кривой переходного процесса следует рассчитать. Это не вполне тривиальная задача и сама по себе является научной проблемой. Если взять, например, колебательный переходный процесс, то его характеристику можно дискретизировать, опираясь на теорему Котельникова, т. е. выбрать частоту дискретизации в два раза большую, чем частота самого процесса. Но этого недостаточно. Можно выбрать две точки за период (по теореме Котельникова), например, при нулевых значениях синусоиды и тогда расчёта не получится. Можно выбрать максимумы синусоиды и тогда расчёт будет весьма точен. При попадании в промежуточные точки синусоиды получают промежуточную точность. Но тогда остается вопрос: как предугадать, чтобы попасть не на нулевые значения синусоиды? Возможно, нужно выбирать не шаг интегрирования, а следующее значение момента времени [5]. Выбор шага интегрирования предназначен также для расчёта следующего момента времени, но не на прямую, а опосредованно, так как при численном интегрировании именно шаг входит в формулы численного интегрирования. А нужно делать иначе: определять непременные точки расчёта и между ними дробить шаг интегрирования. Такими непременными точками могут быть переключения импульсных элементов, совпадения сравниваемых сигналов (на устройствах сравнения), максимумы переходных характеристик в аналоговых модулях. Эти точки нельзя «проскочить». Планировщик должен их предусматривать (предугадывать, рассчитывать). Возможны системы с самообучением. Если всё время моделируется одна и та же система с разными режимами, входными сигналами и т. п., то некоторые её характерные особенности становятся понятными и могут запоминаться системой, чтобы затем организовывать процесс численного интегрирования более оптимально.
Если для линейных моделей впринципе можно без расчёта текущего переходного процесса заранее выбрать минимальный (максимально допустимый, оптимальный) шаг интегрирования (можно такую методику найти или разработать).
В перспективе — динамические методы моделирования могут стать ведущим направлением в научных исследованиях, связанных с автоматизированным проектированием, а также в обучении студентов перспективным методам создания систем моделирования.
Литература:
- Проблематика использования систем моделирования с переменной структурой для аварийных режимов / Д. Д. Мищенко, Р. В. Есин // Вестник КрасГАУ, 2015, № 8 (107). С. 118–121.
- Мищенко Д. Д. Построение системы моделирования прецизионных систем / Д. Д. Мищенко // Технические науки: традиции и инновации — Челябинск: Два комсомольца, 2013. — С. 6–8.
- Моделирование сложных динамических объектов/ Д. Д. Мищенко // Вестник КрасГАУ, 2014, № 3 (90). С. 40–44.
- Курбатов Е. М., Лянсбург В. П., Бронов С. А. // Информатика и системы управления: сб. науч. тр. Красноярск, 2002. Вып. 8. С. 87–94.
- Бронов С. А., Курбатов Е. М., Авласко П. В., Поваляев В. А. Система моделирования с переменной структурой для прецизионных динамических систем // Журнал Сибирского федерального университета. — 2014. — № 7 (7). — С. 797–810.
