Применение математической модели к исследованию процесса изменения демографической ситуации в Российской Федерации



Важным элементом в управлении общественными процессами являются демографические прогнозы. В настоящее время очень трудно найти какую-либо область экономики или социальной жизни, где бы при долгосрочном планировании не использовались их результаты.

В решении задачи построения перспективных расчетов численности полезным является математическое моделирование. Разработка и использование разного рода математических моделей служат как для анализа воспроизводства населения в целом, так и для выявления закономерностей развития тех или иных демографических процессов. При моделировании принимаются определенные исходные предположения в отношении основных составляющих процесса. На этой основе исчисляются другие характеристики населения и его структуры.

К первым математическим моделям населения относятся детерминированные модели роста человечества, прежде всего это модели линейного и экспоненциального роста [1–2]. Следует отметить, что данные модели дают удовлетворительные результаты только на короткий период, продление же на более длительный срок не дает адекватных результатов.

Наиболее известная детерминированная модель — модель стабильного населения [1, 3–7]. В такой модели население характеризуется неизменными во времени возрастными интенсивностями рождаемости, смертности и возрастной структурой населения. Разработку теории стабильного населения связывают с такими именами как Л. Эйлер, Г. Кнапп, В. Лексис, Дж. Лотка, В. Борткевич, П. Лесли. Большой вклад в разработку методов практического применения стабильного населения внесли советские демографы С. А. Новосельский, В. В. Паевский, А. Я. Боярский, И. Г. Венецкий и др. [7]. Известны непрерывные и дискретные аналоги модели стабильного населения. В основе непрерывных моделей лежит интегральное уравнение воспроизводства населения (уравнение Лотки), в основе дискретных — матричная модель (матрица Лесли).

Современный этап развития теории стабильного населения связывают с обобщением основных выводов на случай демографических процессов с переменными интенсивностями (процессы рождаемости и смертности в виде временных рядов, случайных процессов) — А. Коул [8] и А. Лопес. А также Р. Лии [9], Д. Ахлбург [10], З. Сайкес [11], М. Алхо [12], Б. Спенсер [13], Дж. Поллард [14], Дж. Кохен [15], Н. Кейфица [16], Х. Касвелл [17], Л. Гудман [18] и другие [7].

В конце XIX века учеными была предпринята попытка использовать в качестве модели, описывающей рост человечества, логистическую кривую [1, 3–4, 7, 19]. Этой модели придерживались Р. Пирль и Л. Рид [19]. Следует отметить, что попытки Р. Пирля и других демографов использовать логистическую кривую для прогнозирования численности населения в будущее привели к ненадежным и неправильным выводам. Логистическая кривая может быть полезной лишь при краткосрочном прогнозе численности населения, а также как приближение динамики некоторых демографических показателей, например рождаемости, смертности, функции дожития и т. д.

Еще одной детерминированной моделью воспроизводства населения является модель гиперболического изменения численности населения. Впервые предположение, что скорость роста численности населения пропорциональна квадрату численности, было отмечено в 1960 г. Хайнцом фон Ферстером, П. Мором и Л. Амиотом [7]. По этой же формуле И. С. Шкловский прогнозировал численность населения земного шара в период с 1600 по 1960 г. [1]. В настоящее время в этом направлении работает С. П. Капица [20].

Значительный вклад в математическую демографию сделан О. В.Староверовым [21]. Староверовов О. В. рассматривал демографические процессы в виде марковских моделей в форме цепей Маркова. Староверовым О. В. получены модели миграции, межотраслевого и социального движения населения. Модели естественного движения населения исследованы в дискретном и непрерывном виде, для них в [21] получены основные уравнения. В [21] Староверовым О. В. предложена стохастическая модель развития населения с дискретным временем, учитывающая случайность, как в рождаемости, так и в смертности.

Заметим, что соотношения для модели естественного движения населения в дискретном времени (матричная модель — матрица Лесли), полученные также О. В. Староверовым [21], являются, так называемой передвижкой возрастов [1, 22], то есть применение подхода Лесли приводит к тем же результатам, что и метод передвижки по возрастам. А модель Лотки есть не что иное, как аналог метода передвижки в непрерывном времени.

Метод компонент или метод передвижки разработан П. К. Уэлптоном [22]. В этом методе за основу принимают распределение населения по возрастам и постепенно передвигают численности отдельных возрастных групп в соответствии с показателями таблиц смертности. В России перспективными исчислениями населения методом возрастных передвижек занимались С. Г. Струмилин, А. Я. Боярский, П. П. Шушерин, М. С. Бедный [7], а в последнее время Государственный комитет Российской Федерации по статистике, Центр демографии и экологии человека, Отдел населения ООН, Международный Институт прикладного системного анализа (IISA) в г. Лаксенбург (Австрия).

Приведенный анализ множества моделей показывает, что в моделировании демографических процессов наиболее распространены детерминированные модели (дискретные и непрерывные), и стохастические дискретные (имитационные модели). Поскольку реальные процессы развития численности населения протекают в непрерывном времени и являются стохастическими, то актуальным является построение стохастической демографической модели с непрерывным временем. Решению именно этой проблемы и посвящена работа [23], в которой предлагается для прогнозирования демографических процессов применить модели и методы теории массового обслуживания [24].

В работе [23,] предложена математическая модель процесса изменения демографической ситуации в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов. Ее исследование выполнено методами виртуальных фаз и асимптотического анализа стохастической повозрастной плотности численности заявок, обслуживаемых в системе в момент времени t. Найдено распределение вероятностей стохастической плотности численности заявок и основные характеристики, определяющие это распределение. Разработанная модель и методы ее исследования могут быть применены к анализу процесса изменения демографической ситуации в Российской Федерации.

Покажем, что данная математическая модель, достаточно адекватно моделируют процесс изменения возрастной структуры женского населения.

Будем рассматривать группу всех женщин Российской Федерации. Исходя из предположений о динамике суммарного коэффициента рождаемости и используя результаты из [23, 25], а также возможности пакета MathCAD, можно сделать прогнозную оценку демографической ситуации в Российской Федерации. Начальными условиями являются значения численности женщин в 2005 году [26].

Согласно статистическим данным суммарный коэффициент рождаемости в 2005 году составлял 1,294, в 2010 году — 1,567 [26]. В последние годы по причине активно проводимой социальной политики ожидается его повышение до значения 2,4. Идеализируя демографическую ситуацию, будем предполагать увеличение суммарного коэффициента рождаемости до η(t)=2,4 на интервале прогнозирования от 2010 до 2105 года, получены следующие значения средней численности женщин в долгосрочной перспективе (Рис. 1).

Рис. 1 Сценарий демографической ситуации в период с 2005 года по 2105 год (млн. чел.)

Как видно из рис. 1, в условиях оптимального предположения относительно суммарного коэффициента рождаемости, а именно, что его значение составит 2,4, численность женского населения на рассматриваемом отрезке времени будет продолжать снижаться в течение 50 лет, но, начиная с 2065 года, будет наблюдаться его значительный рост.

Для того чтобы сказать, что сценарий на 2105 год правилен и адекватен, необходимо, чтобы рассчитанные нами значения возрастной структуры населения в 2010 и в 2015 году были наиболее близки к статистическим данным по этим годам. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

Сравнение статистических значений численности возрастных групп женщин срассчитанными значениями (млн. чел.)

	Статистические данные	Рассчитанные данные	Статистические данные	Рассчитанные данные
	2010	2010	2015	2015
Все население	76,810	76,227	78,496	75,495
В том числе в возрасте, лет
0–4	3,884	3,953	4,504	4,637
5–9	3,462	3,556	3,906	3,926
10–14	3,225	3,171	3,475	3,531
15–19	4,111	4,110	3,332	3,148
20–24	5,999	5,972	4,549	4,079
25–29	5,972	6,016	6,241	5,922
30–34	5,546	5,393	6,049	5,961
35–39	5,200	5,068	5,558	5,334
40–44	4,766	4,719	5,213	4,998
45–49	5,632	5,913	4,788	4,632
50–54	6,234	6,120	5,890	5,759
55–59	5,670	5,496	6,099	5,884
60–64	4,587	4,041	5,446	5,172
65–69	2,510	2,809	3,949	3,671
70 и более	10,011	9,880	9,487	8,841

Как видно из представленных в таблице данных, конечно, имеется небольшая погрешность около 5 %, максимальная погрешность наблюдается только в трех возрастных группах, и она составляет не более 10 %.

Предложенная в [23] автономная система массового обслуживания с неограниченным числом приборов и разработанный метод ее исследования, являются эффективным инструментом анализа сложившийся демографической ситуации, а также наблюдения эффективности проводимой политики и прогнозирования будущих динамик демографических процессов.

Литература:

1. Венецкий И. Г. Статистические методы в демографии. — М.: Статистика, 1977. — 207 с.
2. Kendall D. G. Stochastic processes and population growth [Электронный ресурс] // Journal of the Royal Statistical Society. — 1949. — Vol. 11, N 2. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
3. Демографические модели: сб. статей / под ред. Е. М. Андреева, А. Г. Волкова. — М.: Статистика, 1977. — 182 с.
4. Donald T. R. Demographic methods and concepts. — Oxford: Oxford University Press, 2006. — 523 p.
5. Hinde A. Demographic methods. — Arnold, 1998. — 305 p.
6. Newell C. Methods and models in demography. — Belhaven, 1988. — 217 p.
7. Демографический энциклопедический словарь / под ред. Д. И. Валентея. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 608 с.
8. Coale А., Trussell J. The development and use of demographic models [Электронный ресурс] // Population Studies. — 1996. — Vol. 50, N 3. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
9. Lee R. Probabilistic approaches to population forecasting [Электронный ресурс] // Population and Development Review. — 1998. — Vol. 24, Supplement: Frontiers of Population Forecasting. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
10. Ahlburg D., Vaupel J. Alternative projections of the U. S. population [Электронный ресурс] // Demography. — 1990. — Vol. 27, N 4. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
11. Sykes Z., Kim J. Dynamics of some special populations with NRR = 1 [Электронный ресурс] // Demography. — 1978. — Vol. 15, N 4. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
12. Alho M., Spencer B. Uncertain population forecasting [Электронный ресурс] // Journal of the American Statistical Association. — 1985. — Vol. 80, N 390. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
13. Pollard J. Continuous–time and discrete–time models of population growth [Электронный ресурс] // Journal of the Royal Statistical Society. — 1969. — Series A, Vol. 132, N 1. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
14. Cohen J. Ergodicity of age structure in populations with Markovian vital rates, III: Finite state moments [Электронный ресурс] // Advances in Applied Probability. — 1977. — Vol. 9, N 3. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
15. Keyfitz N. Introduction to the mathematics of population with revisions. — Wesley Pub. Co, 1977. — 490 p.
16. Caswell H. Matrix population models: construction, analysis, and interpretation. — Sunderland, Massachusetts, Sinauer Associates, 1989. — 722 p.
17. Goodman L. Stochastic models for the population growth of the sexes growth [Электронный ресурс] // Biometrika. — 1968. — Vol. 55, N 3. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
18. Booth H. Demographic forecasting: 1980 to 2005 in review [Электронный ресурс] // International Journal of Forecasting. — 2006. — N 22. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Sciencedirect”. — URL: http:// www.sciencedirect.com (дата обращения: 19.10.2017).
19. Reed L., Pearl L. On the summation of logistic curves [Электронный ресурс] // Journal of the Royal Statistical Society. — 1927. — Vol. 90, N 4. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
20. Капица С. П. Общая теория роста человечества: сколько людей жило, живет и будет жить на земле. — М.: Наука, 1999. — 190 с.
21. Староверов О. В. Модели движения населения. — М.: Наука, 1979. — 230 с.
22. Whelpton P. K. Population of the United States, 1925 to 1975 [Электронный ресурс] // The American Journal of Sociology. — 1928. — Vol. 34, N 2. — Электрон. версия печат. публ. — Доступ из базы данных “Jstor”. — URL: http://www.jstor.org (дата обращения: 19.10.2017).
23. Носова М. Г. Автономная немарковская система массового обслуживания и ее применение в задачах демографии: Дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18/Мария Геннадьевна Носова. — Томск, 2010. — 204 с.
24. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания. — 3–е изд., испр. и доп. — М.: КомКнига, 2005. — 397 с.
25. Назаров А. А., Носова М. Г. Исследование математической модели демографических процессов в виде пятифазной системы массового обслуживания // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика Решетнева. — 2010. — Том 1. — С. 53–58.
26. Демографический ежегодник России 2015 // Федеральная служба государственной статистики (Росстат). URL: http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/doc_1137674209312 (дата обращения: 19.10.2017).