Аналог задачи Трикоми для смешанного параболо-гиперболического уравнения второго рода



Рассмотрим уравнение

(1)

где — действительные постоянные; D1— прямоугольник, ограниченный отрезками АВ, ВВ1, В1А1, А1А прямых

соответственно; — область, ограниченная отрезком оси Оy и двумя характеристиками

уравнения (1) при Примем обозначения

Задача T₂. Требуется определить функцию u (х, у), обладающую следующими свойствами: 1) ; 2)— регулярное решение уравнения (1) в области ; 3) — обобщенное решение уравнения (1) класса в области D2; 4) удовлетворяет граничным условиям

(2)

(3)

5) на отрезке АА₁ выполняется условие склеивания вида

yϵI (4)

где , , , , (у) — за энные функции, причем , , , (у) , , , при ,

может обращаться в бесконечность порядка не выше при 0.

Следует отметить, что задача изучалась для параболо-гипер- болических уравнений: для общего уравнения с одной линией вырождения первого рода [2]; для модельного уравнения с негладкой линией вырождения второго рода [3].

При исследовании задачи важную роль играют функциональные соотношения между и , принесенные на отрезок из параболической [2, 4] и гиперболической [1] частей смешанной области D

(5)

где -

известные операторы и функции, приве енные соответственно в работах |5] и [1, 2, 4].

Соотношение (6) приведем к виду

(7)

где

При получении соотношения (7) мы использовали вид операторов и тождество

С учетом условия (4) и из (-5) и (7) будем иметь

где

Обратив последнее как обобщенное интегральное уравнение Абеля, получим

(8)

где

Исследуем гладкость ядра Очевидно, гладкость ядра определяется гладкостью первого слагаемого правой части. Следовательно, ядро имеет слабую особенность. Исследование правой части (8) показывает, что

Таким образом, равенство (8) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода. На основании этого заключаем, что существует единственное решение задачи

Замечание. В постановке задачи вместо условия может быть задано разрывное условие. При определенных ограничениях на заданные функции задача будет однозначно разрешима и в этом случае.

Литература:

1. Эргашев Т. Г.//Докл. АН УзССР. 1989. № 12. С. 3–5.
2. Е леев В. А,//Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С, 53–56.
3. Исамухамедов С.С, //Вырождающиеся дифференциальные уравнения и обратные задачи: Сб. ст. Ташкент: Фан, 1986. С. 98–113.
4. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. // Йзв. АН УзССР. Сер. ф.-м. наук. 1986. № 3. С. 21–27.
5. Салахитдинов М. С., Уринов А. К.., //Дифференциальные уравнения и их приложения к механике: Сб. ст. Ташкент, 1985. С.