Об одном применении критерия Вейля | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 30 ноября, печатный экземпляр отправим 4 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №25 (159) июнь 2017 г.

Дата публикации: 27.06.2017

Статья просмотрена: 15 раз

Библиографическое описание:

Ражабова Г. С. Об одном применении критерия Вейля // Молодой ученый. — 2017. — №25. — С. 12-13. — URL https://moluch.ru/archive/159/44770/ (дата обращения: 20.11.2019).



Исследованию существенного спектра модельных непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см. например, [1] и [2], соответственно). Обычно в физической литературе используется “локальные” потенциалы, т. е. операторы умножения на функцию. Однако потенциалы, которые строятся, например, в теории псевдопотенциала оказываются нелокальными и представляют собой, в том числе для периодического оператора, сумму локального потенциала и некоторого конечномерного. В настоящей работе рассматривается модельный оператор Н, как сумма оператор умножения и частично интегрального оператора. Рассмотрим модельный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве по формуле где — есть оператор умножения, а V — частично-интегральный оператор:

Можно проверить, что в этом случае оператор Н, является ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Для формулировки основного результата настоящей работы наряду с оператором Н рассмотрим также ограниченную и самосопряженную модель Фридрихса , действующую в как

, где операторы и v определяются по правилам

Видно, что оператор v является одномерным. Поэтому

Теперь перейдем к изучению дискретного спектра оператора . Пусть С- комплексная плоскость. При каждом фиксированном определим регулярную в функцию

Тогда легко проверяется, что

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и для него имеет место равенство

Доказательство. Сперва докажем, что Пусть — произвольная точка. Покажем, что Для этого удобно воспользоваться критерием Вейля [1], т. е. достаточно построить последовательность ортонормированных векторов , для которых

Так как – непрерывная функция в компактном множестве т. е. в квадрате , существует точка такая, что . Рассмотрим следующую окрестность точки :

,

где

— выколотая окрестность точки .Пусть µ() — мера Лебега множества .

Последовательность выбираем следующим образом:

Очевидно, что –ортонормированная последовательность.

Рассмотрим (H-) и оценим его норму:

Из построения множества следует , . В силу непрерывности функции имеем, что

.

Тем самым доказано, что , т. е. .

Из произвольности точки следует, что .

Включение. доказывается аналогично. А обратное утверждение, т. е. факт

доказывается с помощью уравнения Фаддеева для собственных вектор функций оператора H.

Литература:

1. Г. М. Жислин. Труды ММО, 9, 1960, 81–120.

2. S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. J. Muminov, Russ. J. Math.Phys., 14:4 (2007), 377–387.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор умножения, оператор Н, гильбертово пространство, основной результат, существенный спектр, модельный оператор Н.


Похожие статьи

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

. Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

В гильбертовом пространстве рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле. где — оператор умножения на функцию в : , a , — нелокальные операторы взаимодействия вида.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр, тензорная сумма, линейный ограниченный самосопряженный оператор, место равенства...

Описание существенного спектра матричной модели...

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная

Описание спектра одного интегрального оператора в гильбертовом пространстве с весом.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, оператор, полученное выражение, собственное...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

. Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор действующий в гильбертовом пространстве по формуле , где.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

Основные термины (генерируются автоматически): модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство...

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

. Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

В гильбертовом пространстве рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле. где — оператор умножения на функцию в : , a , — нелокальные операторы взаимодействия вида.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр, тензорная сумма, линейный ограниченный самосопряженный оператор, место равенства...

Описание существенного спектра матричной модели...

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная

Описание спектра одного интегрального оператора в гильбертовом пространстве с весом.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, оператор, полученное выражение, собственное...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

. Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор действующий в гильбертовом пространстве по формуле , где.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

Основные термины (генерируются автоматически): модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство...

Похожие статьи

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

. Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

В гильбертовом пространстве рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле. где — оператор умножения на функцию в : , a , — нелокальные операторы взаимодействия вида.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр, тензорная сумма, линейный ограниченный самосопряженный оператор, место равенства...

Описание существенного спектра матричной модели...

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная

Описание спектра одного интегрального оператора в гильбертовом пространстве с весом.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, оператор, полученное выражение, собственное...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

. Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор действующий в гильбертовом пространстве по формуле , где.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

Основные термины (генерируются автоматически): модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство...

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

. Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

В гильбертовом пространстве рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле. где — оператор умножения на функцию в : , a , — нелокальные операторы взаимодействия вида.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр, тензорная сумма, линейный ограниченный самосопряженный оператор, место равенства...

Описание существенного спектра матричной модели...

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная

Описание спектра одного интегрального оператора в гильбертовом пространстве с весом.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, оператор, полученное выражение, собственное...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

. Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор действующий в гильбертовом пространстве по формуле , где.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

Основные термины (генерируются автоматически): модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство...

Задать вопрос