Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны

В этой работе изучается поле динамических напряжений и смещений, возникающее вблизи цилиндрической полости (подкрепленной или неподкрепленной) в вязкоупругой среде при прохождении плоской волны. Показано, что в случае неподкрепленной полости динамические напряжения зависят от волнового числа падающей волны, от коэффициента Пуассона и от параметров ядра релаксации, а также от мгновенного модуля упругости.

Ключевые слова: потенциалы перемещений, напряженно-деформированное состояние, продольные и поперечные волны, гармонических волны, метод Гаусса

Введение. Воздействие продольных и поперечных волн на цилиндрическое тело, исследовалось многими авторами [1, 2, 3, 4]. При этом рассматривались осе симметричные, (не осе симметричные) задачи применялись различные модели для жидкости и слоя (или оболочек). В предыдущих работах цилиндрическое тело рассматривалось в виде цилиндрической оболочки и уравнение движения получено на основе гипотезы Кирхгофа — Лява [5,6,7,8]. Также окружающая среда рассматривалась как упругая, т. е. связь напряженного и деформированного состояния подчиняется закону Гука [9,10]. Настоящая работа отличается от предыдущих тем, что цилиндрическую оболочку окружает среда, обладающая вязкие свойства, т. е. связи напряжения и деформации подчиняются интегральному соотношению Больцмана — Вольтера [12]. Модели воздействия продольных и поперечных волн на цилиндрические слои и жидкости базируются на методах, которые разработаны в динамике тел, взаимодействующих с деформируемой средой, например, в книге [11].

Подстановка задачи. На бесконечно длинный, однородный, изотропно-деформируемый цилиндр, находящийся в бесконечной вязкоупругой среде, падает гармоническая плоская волна расширения (или сдвига) (рис.1). Фронт волны является параллельным оси цилиндра. Таким образом, рассматривается задача о плоской деформации. Здесь внешнего и -внутреннего радиусов цилиндрического слоя. Основной целью работы является определение напряженно — деформированного состояния цилиндрического слоя и окружающей среды при воздействии продольных (или поперечных) гармонических волн. В предположении обобщенного плоско деформированного состояния уравнение движения в смещениях имеет вид [1]

(1)

где и (, -относятся к окружающей среде, - к слою) операторные модули упругости

(2)

— вектор плотности объемных сил ; — некоторая функция; — плотности материалов, и -ядро релаксации, -мгновенные модули упругости вязкоупругого материала, -вектор смещения, который зависит от . На контакте двух тел r= R выполняется равенство смещений и напряжений (условие жесткого контакта)

. (3)

Рис. 1. Цилиндрическое тело, находящееся в деформируемой среде: а. цилиндрическая полость; в. цилиндрическая оболочка

Отметим, что в случае скользящего контакта грунта по поверхности трубы последнее уравнение в (3) примет вид [2,10,11,13]: .

Пусть падающая плоская волна распространяются в положительном направление оси х: -при воздействии продольных волн (или - при воздействии волн сдвига); и -величины амплитуды падающих волн; -круговая частота падающих волн; α₁ и β₁ — волновое число, которое может быть комплексным числом α₁ = α_R1 + i α_I1;

β₁ = β_R1+ i β_I1, α_I1< 0 и β_I1< 0 обозначают коэффициенты затухания; α_R1 и β_R1 обозначает волновое число продольных волн и волн сдвига соответственно. Выражение (или ) можно представить в полярных координатах цилиндрического слоя посредства ряда

(4)

где , -цилиндрическая функция Бесселя первого рода.

Методы решения

Поставленная задача решается в потенциалах перемещений, для этого представим вектор перемещения в виде:

,

где — потенциал продольных волн; — векторного потенциала поперечных волн.Основные уравнения теории вязко упругости (1) для этой задачи о плоской деформации сводятся к следующему уравнению

(5)

где – дифференциальные операторы в цилиндрических координатах и — коэффициент Пуассона [12].

На бесконечности r → ∞потенциалы продольных и поперечных волн при удовлетворят условию излучения Зоммерфельда [1]:

, (6)

.

Решение уравнения (5) можно искать в виде:

(7)

где и — комплексная функция, которое является решение уравнениям

(8)

где, ,

, .

Решение уравнения (5) с учетом (8) выражается через функции Ханкеля 1-го и 2-го рода n-го порядка:

(9)

где и– коэффициенты разложения, которые определяются соответствующими граничными условиями; и — соответственно функция Ханкеля 1-го и 2-го рода n-го порядка. Решение (9) при j=1 удовлетворяет на бесконечности r→∞условию излучения Зоммерфельда (6) и представляется в виде:

Полный потенциал можно определить путем наложения потенциалов падающих и отраженных волн. Таким образом, потенциалы смещений будут

, (10)

(11)

После подставляя (10) в (11) с учетом (9), получим следующее выражение для перемещения и напряжения:

(12)

где

где .

Неопределенные коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений седьмого порядка

(13)

где {q}-вектор столбец, содержащий произвольные постоянные; {F}-вектор столбец внешних нагрузок; [C]-квадратная матрица, элементы -которого выражаются через функции Бесселя и Ханкеля. Уравнение (13) решается методом Гаусса с выделением главного элемента [14]

Результаты расчетов ивыводы

Для данных падающих волы напряжения и смещения определяются рядами, описываемыми выражениями (9)-(12) в случае жесткого контакта. Вычисления были выполнены на компьютерном программном комплексе «Matlab», ряды вычислены с точностью до 10–⁸. С увеличением их аргумента ряд (9)–(11) сходится. Поэтому на основе численных экспериментов установлено, что точность из 5–6 членов ряды точность достигла 10–^6–10–⁸. В качестве ядра релаксации вязкоупругого материала примем трехпараметрическое ядро Рижаницена –Колтунова [3], обладающее слабое сингулярностью, где -параметры материалы [3]. Примем следующие параметры:;

В табл. 1 приведены значения контурного напряжения в зависимости от α₀а, полученные в работе [2] и наши результаты.

Контурное напряжение | σ^*_θθ| (σ_{θθ /} σ₀) взависимости от волнового числа (θ = π / 2).

При воздействии поперечных волн в цилиндрической полости максимальное контурное напряжение достигнет значения .

Учет вязких свойств материала (или окружающей среды) при расчете на действие продольных и поперечных гармонических волн, снижает напряжения и перемещения на 10–16 %. Максимальное радиальное напряжение при воздействии продольных волн достигается в  = 90⁰ и 270⁰.Следует отметить, что максимальное радиальное напряжение при воздействии поперечных волн достигается в  = 45⁰ и 135⁰; а также распределение напряжение при ₁R₁= 0,099 почти такой же как в статическом случае (λ→ ∞), в то время как при более высоких волновых () числах распределение напряжений значительно отличается от статического. Отношения плотностей =₁/₂ оказывает большое влияние на напряжения и смещения слоя. По мере возрастания плотности слоя максимальные величины напряжения и смещения слоя возрастают. Таким образом, разработанная методика и алгоритм для решения поставленных задач, позволяют найти напряженно-деформированное состояние цилиндрических тел при воздействии гармонических волн.

Литература:

1. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевенко М. А. Дифракция упругих волн. «Наук», 1978. 308 с.
2. Pao Y. H., Mow C. C. diffraction of elastic waves and dynamic stress concentration. № 4, Grane, Russak, 1973 694 p.
3. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976.- 276с.
4. Datta S. K. Tensional waves in an infinite elastic solid containing a penny — shaped crack.-z. answer. Math. And Phys., 1970, 21, № 3, р.343–351
5. Мубариков Я. Н., Сафаров И. И. О действии упругой волны на цилиндрическую оболочку. Изв.АнУзССР, серия технических наук, 1987. № 4. с. 34–40
6. Сафаров И. И. Оценка сейсмонапряженного состояния подземных сооружений методики волновой динамики Сборник «Сейсмодинамика заданий и сооружений» Ташкент, Фан. 1988.
7. Филиппов И. Г., Егорычев О. А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах.. — М.: Машиностроение, 1977.-304 с.
8. Сафаров И. И. Взаимодействие волн в многослойных цилиндрических слоях, находящихся в безграничной упругой среде. Труды VII вссоюз. конференция «Динамика основный, фундаментов и подземных сооружений» Днепропетровск, 1989. с. 56–57
9. Сафаров И. И., Жумаев З. Ф. О разрушении тоннеля при сильных движениях земли. Международная конференция по сейсмостойкому строительству. С-Петрбург, 2000, с. 71–78
10. Авлиякулов Н. Н., Сафаров И. И. Современные задачи статики и динамики подземных трубопроводов. Ташкент, Fanvatexnologiya. 2007. 306 с.
11. Бозоров М. Б., Сафаров И. И., Шокин Ю. И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд. СО РАН. 1996.189 с.
12. Рашидов Т. Р., Сафаров И. И. и др. О двух основных методах изучения сейсмонапряженного состояния подземных сооружений при действии сейсмических волн. Ташкент: ДАН. № 6, 1989. С. 13–17.
13. Сафаров И. И. Авлиякулов Н. Н. Методы повышения сейсмостойкости подземных пластмассовых трубопроводов // Узбекский журнал нефти и газа, 2005, № 4.С.42–44.
14. Грейс Э., Мэтьюз Г. Б. Функции Бесселля и их приложение к физике и механике.-М.: Изд.воиностр.лит., 1953, — 371 с.