Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (149) апрель 2017 г.

Дата публикации: 18.04.2017

Статья просмотрена: 23 раза

Библиографическое описание:

Джураев Р. М. Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве // Молодой ученый. — 2017. — №15. — С. 104-105. — URL https://moluch.ru/archive/149/42259/ (дата обращения: 26.09.2018).



Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1].

Пусть -регулярное поверхность, -какая-нибудь ее регулярная параметризация.

В теории поверхностей важную роль играют первая квадратичная форма, связанные с поверхностью:

Перваяквадратичная форма является положительно определенной, так как она принимает только неотрицательные значения и обращается в нуль только при . Коротко слова,

где , , [4].

Теорема [1]. Если регулярные поверхности и можно параметризовать так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы, то поверхности изометричны. Изометрическое отображение заключается в сопоставлении точек с одинаковыми координатами.

Обратно, если поверхности и изометричны, то они могут быть параметризованы, так что их первые квадратичные формы будут одинаковы

Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой [2].

Все поверхности пространства , изометричные евклидовой плоскости, простираются в бесконечность, так как они необходимо должны быть линейчатыми поверхностями. Напротив, в пространстве существует поверности, изометричные плоскости в малом и не являющиеся линейчатыми поверхностями. Дадим пример подобной поверхности ; она целиком расположена в конечной области и топологически эквивалентна поверхности тора. Это поверхность представляется в параметрической форме очен просто:

Линейный элемент поверхности есть

Таким образом поверхность в самом деле изометрична плоскости с прямоугольными координатами . Эта поверхность целиком расположена в конечной области, так как все координаты лежат между -1 и +1. Впрочем можно представить поверхность как сечение двух трехмерных гиперцилиндров

и .

Все точки поверхности можно получить, если застамить в декартовой плоскости координат пробегать все точки квадрата со сторонами, параллельными осям и имеющими длина . Различным внутренним точкам квадрата соответствуют различные точки поверхности .Наоборот две граничныеточки квадрата представляют одну и ту же точку поверхности , если они расположены но одной и той же прямой и на противоположных сторонах квадрата. Следовательна, есть поверхность тора, а -плоскость есть универсальная поверхность наложения для поверхности .

Можно было бы попытаться осуществить евклидову геометрию на замкнутых поверхностях, не имеющих вида тора. Оказывается, однако, что для этого можно взять только бутылку Клейна. Но на замкнутых поверхностях со связностью и только на них можно осуществить гиперболическую геометрию. Эллиптическая геометрия не может быть осуществлена ни на какой замкнутой поверхности, кроме шара и проективной плоскости. Эти теоремы можно вывести из дифференциально-геометрической формулы Бонне относительно полной кривизны [3].

Существует ещё поверхностьизометрично евклидовой плоскости но неявляется линейчатым поверхностям, параметрической формы

(1)

Линейный элемент поверхности есть

Литература:

  1. А. В. Погорелов Дифференциальная геометрия Изд: «наука» Москва 1974
  2. П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии. Москва 1950
  3. Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен, Наглядная геометрия,Москва “Наука” 1981
  4. Артыкбаев А., Соколов Д. Д. Геометрия в целом в целом в плоском пространстве-времени. Ташкент. Изд. «Фан» 1991
  5. С. Б. Кадомцев, исследование некоторых свойств нормального кручения двумерной поверхности в четырехмерном пространстве. «Проблемы геометрии» 1975,7,267–278.
Основные термины (генерируются автоматически): поверхность, евклидова плоскость, конечная область, линейный элемент поверхности, параметрическая форма, поверхность тора.


Похожие статьи

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Рассмотреть области применения поверхностей вращения.

Величины a,b,c называются полуосями; удвоенные величины 2a, 2b и 2c — осями и представляют его линейные размеры в

Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой .

Определение параметров формы и положения кривых 2-го порядка

При этом особенно уделяются внимание методам исследования кривых линии и поверхностей, которые часто встречаются на различных отраслях

Совокупность парабол на плоскости четырех параметрическое множество, мощность которого равна ∞4 (один — параметр формы.

Цепно-полевой подход к анализу переходных процессов в системе...

Для решения задачи нестационарного магнитного поля системы катушка индуктора — токопроводная поверхность область моделирования прокрывается сеткой из конечных треугольных элементов.

Методика измерения параметров на координатно-измерительной...

После создания модели задаются все элементы детали, которые будут использованы в процессе контроля: плоскости и точки.

На основе CAD данных поверхности PC-DMIS определит начальную и конечную точку на сечении.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Простейший класс разделяющих поверхностей – гиперплоскости.

Очевидно, , где q – число элементов в подмножестве.

2. Горелик В.А., Ерохин В.И. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Плоскости данных окружностей являются перпендикулярными к оси поверхности вращения.

Построение линии пересечения двух цилиндров в параметрическом виде. Анализ и разработка измерительной установки для определения момента инерции тел вращения сложной формы.

Метод и устройство измерения чистоты рабочих поверхностей...

Понятие чистоты поверхности актуально не только в вакуумных, ядерных, космических

пластин: одной подвижной 2 в плоскостях ее двустороннего контакта и двух неподвижных 1,3 в

подвижной элемент пары 2 для перемещения от начальной точки контакта к конечной.

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

— соответственно линейные и нелинейные составляющие тензора деформаций координатной поверхности оболочки.

— М.: Мир, 1979. — 392 с. 4. Еременко С. Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С. Ю. Еременко.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Рассмотреть области применения поверхностей вращения.

Величины a,b,c называются полуосями; удвоенные величины 2a, 2b и 2c — осями и представляют его линейные размеры в

Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой .

Определение параметров формы и положения кривых 2-го порядка

При этом особенно уделяются внимание методам исследования кривых линии и поверхностей, которые часто встречаются на различных отраслях

Совокупность парабол на плоскости четырех параметрическое множество, мощность которого равна ∞4 (один — параметр формы.

Цепно-полевой подход к анализу переходных процессов в системе...

Для решения задачи нестационарного магнитного поля системы катушка индуктора — токопроводная поверхность область моделирования прокрывается сеткой из конечных треугольных элементов.

Методика измерения параметров на координатно-измерительной...

После создания модели задаются все элементы детали, которые будут использованы в процессе контроля: плоскости и точки.

На основе CAD данных поверхности PC-DMIS определит начальную и конечную точку на сечении.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Простейший класс разделяющих поверхностей – гиперплоскости.

Очевидно, , где q – число элементов в подмножестве.

2. Горелик В.А., Ерохин В.И. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Плоскости данных окружностей являются перпендикулярными к оси поверхности вращения.

Построение линии пересечения двух цилиндров в параметрическом виде. Анализ и разработка измерительной установки для определения момента инерции тел вращения сложной формы.

Метод и устройство измерения чистоты рабочих поверхностей...

Понятие чистоты поверхности актуально не только в вакуумных, ядерных, космических

пластин: одной подвижной 2 в плоскостях ее двустороннего контакта и двух неподвижных 1,3 в

подвижной элемент пары 2 для перемещения от начальной точки контакта к конечной.

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

— соответственно линейные и нелинейные составляющие тензора деформаций координатной поверхности оболочки.

— М.: Мир, 1979. — 392 с. 4. Еременко С. Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С. Ю. Еременко.

Задать вопрос