Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (149) апрель 2017 г.

Дата публикации: 18.04.2017

Статья просмотрена: 7 раз

Библиографическое описание:

Бахшуллаева М. Ш. Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра // Молодой ученый. — 2017. — №15. — С. 102-104. — URL https://moluch.ru/archive/149/41671/ (дата обращения: 15.10.2018).



Пусть — некоторая аналитическая функция на . Определим регулярную функцию

.

Задача состоит из определения функции в точках и . Обычно такие задачи возникают при изучении пороговых явлений в спектре модели Фридрихса и их обобщений [1].

Очевидно, что

,

.

Из определения функции видно, что оно монотонно возрастает в интервалах и . Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега [2] следует, что существуют конечные или бесконечные интегралы

,

.

Для любого и положим

.

Тогда имеет место соотношение

.

Отметим, что если , то из аналитичности функции в следует, что существуют положительные числа и такие, что имеет место неравенство

(1)

для некоторого . В силу непрерывности функции на компактном множестве , существует число такое, что имеет место неравенство

(2)

при всех . Так как функция имеет невырожденный минимум в точке , для найденных положительных и также имеет место неравенства

, (3)

. (4)

Для определенности предположим, что . Тогда имеет место равенство

. (5)

Учитывая неравенства (2) и (4) для первого и третьего слагаемого стоящей в правой части равенства (5) имеем

,

.

Далее, учитывая неравенства (1) и (3), для второго слагаемого стоящей в правой части равенства (5) имеем

.

Таким образом, если , то

.

Пусть теперь . В этом случае силу непрерывности функции существуют положительные числа и такие, что при всех . Учитывая этот факт и неравенства (3) получим, что

.

Таким образом, в случае имеет место соотношение

.

Рассуждая аналогично можно указать условия существования интеграла

.

Пусть – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . В рассмотрим ограниченный самосопряженный модель Фридрихса

.

Для этой модели определитель Фредгольма имеет вид

.

Изложенные факты в этой работе играют важную роль при изучении спектральных свойств оператора , т. е. модели Фридрихса.

Литература:

  1. S.Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. The threshold effects for a family of Friedrichs model under rank one perturbations. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 330 (2007), P. 1152–1168.
  2. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М. «Наука». 1981.
Основные термины (генерируются автоматически): место, неравенство, правая часть равенства, сила непрерывности функции.


Похожие статьи

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Имеет место равенство. (3). Учитывая неравенства (1) и непрерывность функции на имеем, что - тое ( ) слагаемое в правой части (3) оценивается следующим образом

1) Если , то верно равенство . 2) При имеет место равенство .

Разрешимость одной краевой задачи для...

Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение. (8).

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Из леммы 1 вытекает, что для дискретного спектра оператора имеет место равенство.

Пусть . Тогда из непрерывности функции на следует, что существуют числа и такие, что при всех .

Сначала заметим, что если при всех и имеет место неравенство . Поэтому в силу леммы 1...

Методическая разработка по математике. Тема: «Решение...»

Особое место отводится методическим рекомендациям по изучению решения уравнений и неравенств данной темы, даются указания по работе с ними (алгоритм) и решения наиболее трудных из них с подробной

1) построить графики функций левой и правой частей уравнения

О методике применения теоремы о пределе последовательности

где — некоторое вещественное число, решаются следующим образом: возведя в квадрат обе части равенства (1), получим.

В силу (3), имеем. . Учитывая это равенство в (5), получим

Функция, заданная по формуле (6), получена с помощью арифметических операций над...

О некоторых бинарных задачах для прогрессий | Статья в журнале...

Тогда справедливо равенство.

Так как правая часть неравенства возрастает по и убывает по , то из полученных оценок и следует

Тогда, если то имеет место неравенство. где - положительная абсолютная константа.

Геометрические приложения определенного интеграла в задачах...

Точно так же, как некоторые потребители, благодаря действию рыночных сил, получают

Решение. Найдем точку рыночного равновесия из равенства : . Откуда . Так как по условию

Как видно из графика, в обществе всегда имеет место быть неравенство в распределении...

Применение метода рационализации при решении нестандартных...

Скачать Часть 7 (pdf). Библиографическое описание

Решение неравенств тривиальными алгебраическими методами вызывает у обучающихся ряд трудностей вычислительного характера.

Рассмотрим следствия, выделенные с учетом области определения функций

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Имеет место равенство. (3). Учитывая неравенства (1) и непрерывность функции на имеем, что - тое ( ) слагаемое в правой части (3) оценивается следующим образом

1) Если , то верно равенство . 2) При имеет место равенство .

Разрешимость одной краевой задачи для...

Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение. (8).

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Из леммы 1 вытекает, что для дискретного спектра оператора имеет место равенство.

Пусть . Тогда из непрерывности функции на следует, что существуют числа и такие, что при всех .

Сначала заметим, что если при всех и имеет место неравенство . Поэтому в силу леммы 1...

Методическая разработка по математике. Тема: «Решение...»

Особое место отводится методическим рекомендациям по изучению решения уравнений и неравенств данной темы, даются указания по работе с ними (алгоритм) и решения наиболее трудных из них с подробной

1) построить графики функций левой и правой частей уравнения

О методике применения теоремы о пределе последовательности

где — некоторое вещественное число, решаются следующим образом: возведя в квадрат обе части равенства (1), получим.

В силу (3), имеем. . Учитывая это равенство в (5), получим

Функция, заданная по формуле (6), получена с помощью арифметических операций над...

О некоторых бинарных задачах для прогрессий | Статья в журнале...

Тогда справедливо равенство.

Так как правая часть неравенства возрастает по и убывает по , то из полученных оценок и следует

Тогда, если то имеет место неравенство. где - положительная абсолютная константа.

Геометрические приложения определенного интеграла в задачах...

Точно так же, как некоторые потребители, благодаря действию рыночных сил, получают

Решение. Найдем точку рыночного равновесия из равенства : . Откуда . Так как по условию

Как видно из графика, в обществе всегда имеет место быть неравенство в распределении...

Применение метода рационализации при решении нестандартных...

Скачать Часть 7 (pdf). Библиографическое описание

Решение неравенств тривиальными алгебраическими методами вызывает у обучающихся ряд трудностей вычислительного характера.

Рассмотрим следствия, выделенные с учетом области определения функций

Задать вопрос