Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №14 (148) апрель 2017 г.

Дата публикации: 07.04.2017

Статья просмотрена: 14 раз

Библиографическое описание:

Кожамуратова К. Ш., Марасулов А. М. Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде // Молодой ученый. — 2017. — №14. — С. 80-84. — URL https://moluch.ru/archive/148/41360/ (дата обращения: 23.02.2019).



Пусть прямоугольная декартова система координат связана с пластиной так, что движение происходит в плоскости Х, Z. Внешние поверхности пластины задаются условиями Z = h1 и Z = — h 2. Пусть верхняя пластина, определенная условием 0 < Z < h1, характеризуется величинами . . [1,3]

Уравнения плоской деформации теории упругости имеют вид:

где U и w — компоненты смещения по х и z.

Граничные условия для пластины со свободными границами при у=h1 и у=h2 и жестко связанной при у = 0 имеют вид:

(1)

Чтобы исследовать распространение серии волн, положим

(2)

где k — волновое число, — комплексная частота; С = СR+iCI — комплексная фазовая скорость. Подставляя решение задачи (2) в (1), получаем- амплитудная комплексная векторная функция [4]

Теперь граничные условия (2) преобразуются в виде:

(4)

где Итак, имеем два уравнения (3) и (4) второго порядка для двух областей и восьми граничных условий. Будем решать задачу, не сводя её к уравнению четвертого порядка. Все рассуждения приводятся для одного слоя. Находим частное решение системы (3) в виде:

(5)

Подставляя (5) в (3) и (4) сокращая на е rZ, получим алгебраическую систему. Она имеет непрерывное решение, если ее определитель равен нулю, т. е.

=0. (6)

Уравнение (2.10) можно решить относительно ri,так как

(7)

Найдя ri (i=1,2,... 4), вернемся к системе для Аi и Вi и решим ее для каждого значения ri. В результате найдём четыре частных решения вида (5) (для первого и второго слоев)

n = 1,2.

Здесь А(j)i и В(j)i (j = 1,2; i = 1,2,...., 4) — линейно-зависимые. С(1)i и С(2)i — произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий (2). Выражения для перемещений имеют вид:

+

Следовательно, для (4) получим совокупность восьми граничных условий, которые приводят к восьми однородным уравнениям с восемью неизвестными С(1)j и С(2)j (j =1,4). Для того, чтобы такая система уравнений имела нетривиальные решения, определитель коэффициентов должен быть равен нулю. Последнее условие дает зависимость частот (ωR) и коэффициентов демпфирования (поглощения) (ωI) от волнового числа (или других параметров системы) [5]. Уравнение дисперсии имеет вид:

где

Теперь это уравнение будет решено относительно ω/k для различных значений k.

Рис. 1. Изменение собственных частот от волнового числа. Диссипативно однородная система

Численные расчеты. Корни уравнения рассчитаны на ЭВМ при следующих значениях безразмерных параметров:

С2L1=0.622; С2L2=3.360; С2T1=3.360; С2T2 = 0.776; μ1=0.170; μ 2=0.830:

Результаты представлены графически в виде кривых зависимостей (ξ = kH, H = h1+h2) от ω для h1 / H =0.5. Рассмотрим два варианта системы.

В первом варианте рассмотрена однородная система.

Результаты расчетов приведены на рис 1. Зависимость частот (ωR) и коэффициентов демпфирования от ξ оказалась монотонной, причем характер ее одинаков для частот коэффициентов демпфирования.

Во втором варианте рассмотрена неоднородная система: первый слой упругий; остальные параметры совпадают с указанными выше [2].

Рис. 2. Изменение собственных частот от волнового числа. Диссипативно неоднородная система

Результаты расчетов, представлены на рис. 2. Зависимость частот от ξ оказалась такой же, как и для диссипативно однородной системы: соответствующие кривые совпадают с точностью до 5 %.

Что же касается коэффициентов демпфирования, то их поведение изменилось радикальным образом: зависимость ωI ~ ξ стала немонотонной. Глобальный коэффициент демпфирования при указанном характерном значении ξ имеет ярко выраженный максимум [6].

Литература:

  1. Болтаев З. И. Распространение линейных гармонических волн в протяженных плоских и цилиндрических телах с учетом вязкоупругих свойств материала. Ташкент. Фан.-2013.-136с.
  2. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физика. Решение задач в системе MAPLE.-СПб: Питер,2004.-539с.
  3. Каюмов С. С., Сафаров И. И. Распространение и дифракция волн в диссипативно–неоднородных цилиндрических деформируемых механических систем. Ташкент: ФАН, 2002г,
  4. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. Мир, 1974
  5. Сафаров И. И., Тешаев М. Х., Болтаев З. И. Волновые процессы в механическом волноводе. LAP LAMBERT Academic publishing (Германия). 2012.,217 с.
  6. Сафаров И. И. Распространения волн в слое, лежащем в вязкоупругом полупространстве.- Тезисы докладов конфер. «Опыт применения композитных материалов в сельскохозяйственном машиностроении», Чернягов, 1985, с.91–92.
Основные термины (генерируются автоматически): волновое число, зависимость частот, коэффициент демпфирования, однородная система, вид, неоднородная система, результат расчетов, уравнение.


Похожие статьи

Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом...

где и – действительные числа, называемые коэффициентами демпфирования и собственными частотами демпфированной системы соответственно. Если и удовлетворяют уравнению (5), то комплексно сопряженные и также ему удовлетворяют.

Динамические эффекты, связанные со структурной...

частота, коэффициент демпфирования, глобальный коэффициент демпфирования, однородная система, система, механическая колебательная система, мгновенная жесткость, зависимость...

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

, где φ и ψ- скалярные величины, которые удовлетворяют волновому уравнению, — единичный вектор. Падающая волна определяется в виде.

Информационные флуктуации при математическом моделировании неоднородных совокупностей инновационных систем...

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

Рис. 1. Зависимость Re со от волнового число K (для случая несжимаемой жидкости). Система упругая оболочка — вязкая

Бозоров М. Б., Сафаров И. И., Шокин Ю. И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем.

Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической...

Неопределенные коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений седьмого порядка. (13).

Уравнение (13) решается методом Гаусса с выделением главного элемента [14]. Результаты расчетов ивыводы.

К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным...

Система уравнений (1)-(4) имеет стационарные решения вида

Кроме того, стабилизирующими факторами выступают однородное магнитное поле (альфвеновский эффект), неоднородное вращение, если профиль угловой скорости вращения близок к ( ), а...

Волны в вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной

Получены числовые значения реальной и мнимой части фазовой скорости в зависимости от волновых чисел.

1) ( ) — тогда решение (5) имеет вид синусоиды по z, амплитуда которой затухает по времени

Краевая задача для системы уравнений в частных производных (7)...

Распространение нормальных волн в скважине | Статья в журнале...

Уравнение (3) для нахождения затухания нормальных волн, приравнивая к нулю мнимую часть.

Рассмотрим отдельно зависимость от частоты коэффициентов М и N при и , выходящих в выражение (5)

Рис.1. Зависимость фазовой скорости от волновых чисел.

Распространение волны в клине с произвольным углом вершины

С учетом (9) система уравнений (7) принимает вид: (10). где.

результаты расчета предельной скорости распространения первой моды в клиновидном волноводе по

Измеритель коэффициента стоячей волны. Система автоматического управления углом поворота нагрузки.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом...

где и – действительные числа, называемые коэффициентами демпфирования и собственными частотами демпфированной системы соответственно. Если и удовлетворяют уравнению (5), то комплексно сопряженные и также ему удовлетворяют.

Динамические эффекты, связанные со структурной...

частота, коэффициент демпфирования, глобальный коэффициент демпфирования, однородная система, система, механическая колебательная система, мгновенная жесткость, зависимость...

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

, где φ и ψ- скалярные величины, которые удовлетворяют волновому уравнению, — единичный вектор. Падающая волна определяется в виде.

Информационные флуктуации при математическом моделировании неоднородных совокупностей инновационных систем...

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

Рис. 1. Зависимость Re со от волнового число K (для случая несжимаемой жидкости). Система упругая оболочка — вязкая

Бозоров М. Б., Сафаров И. И., Шокин Ю. И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем.

Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической...

Неопределенные коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений седьмого порядка. (13).

Уравнение (13) решается методом Гаусса с выделением главного элемента [14]. Результаты расчетов ивыводы.

К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным...

Система уравнений (1)-(4) имеет стационарные решения вида

Кроме того, стабилизирующими факторами выступают однородное магнитное поле (альфвеновский эффект), неоднородное вращение, если профиль угловой скорости вращения близок к ( ), а...

Волны в вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной

Получены числовые значения реальной и мнимой части фазовой скорости в зависимости от волновых чисел.

1) ( ) — тогда решение (5) имеет вид синусоиды по z, амплитуда которой затухает по времени

Краевая задача для системы уравнений в частных производных (7)...

Распространение нормальных волн в скважине | Статья в журнале...

Уравнение (3) для нахождения затухания нормальных волн, приравнивая к нулю мнимую часть.

Рассмотрим отдельно зависимость от частоты коэффициентов М и N при и , выходящих в выражение (5)

Рис.1. Зависимость фазовой скорости от волновых чисел.

Распространение волны в клине с произвольным углом вершины

С учетом (9) система уравнений (7) принимает вид: (10). где.

результаты расчета предельной скорости распространения первой моды в клиновидном волноводе по

Измеритель коэффициента стоячей волны. Система автоматического управления углом поворота нагрузки.

Задать вопрос