Соотношение между усредненными модулями гладкости функции в разных метриках | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №14 (148) апрель 2017 г.

Дата публикации: 10.04.2017

Статья просмотрена: 8 раз

Библиографическое описание:

Уркен Г. А., Акишев Г. А. Соотношение между усредненными модулями гладкости функции в разных метриках // Молодой ученый. — 2017. — №14. — С. 3-6. — URL https://moluch.ru/archive/148/41118/ (дата обращения: 19.10.2018).



Пусть , измеримая -периодическая функция . Множество всех измеримых, - периодических функций для которых

,,

называют весовым пространством Лебега и обозначается. В этом пространстве норма вычисляется

.

Пусть . Весовая функция , если существует число такая, что для любого интервала выполняется неравенство

,

где — длина интервала .

Если , то положим

,,,

,,

Для функции усредненный модуль гладкость порядка определяется по формуле [2, с.683].

,.

Известно, что - неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция и

,.

Пусть - множество тригонометрических полиномов порядка не выше . Наилучшее приближение функции множеством определяется по формуле

,

Известно следующее утверждение.

Теорема 1 ([2]). Пусть , и , . Тогда для функции справедлива оценка

.

Далее, рассмотрим пространство в случае ,, и обозначим как .

Теорема 2 ([3, с.46]). Пусть ; . Если ,

,(1)

то имеет место неравенство

.(2)

Замечание. В случае теорема 2 доказана П. Л. Ульяновым [4,с.104].

Теорема 3. Пусть ,. Если и выполнено условие (1) то и

.(3)

Доказательство. Пусть и выполнено условие (1). Тогда по теореме 1 функция . Докажем оценку (3). По теореме 1 и неравенству (2) имеем

(4)

где .

Применяя неравенство , , имеем

(5)

В силу оценки

из неравенств (4) и (5) получим

. (6)

Если , то меняя порядок суммирования имеем

Поэтому из неравенства (6) получим

в случае , т.е .

Литература:

  1. Muckenhoupt B. Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function,Trans.Amer.Math.Soc. -1972, № 165.- P.207–226.
  2. Guven A., Israfilov D. M. Improved Inverse Theorems in Weighted Lebesgue and Smirnov Spaces.Bull.Belg.Math.Soc.Simon Stevin.- 2007, № 14.- P.681–692.
  3. Смаилов Е. С., Каримов С. К. Весовые аналоги одной теоремы вложения П. Л. Ульянова // Сб.Математические исследования. — Караганда, 1976.-Вып. 3.- C. 46–50.
  4. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках //Мат.сб., 1970.- Т.81.- № 1.- C.104–131.
Основные термины (генерируются автоматически): неравенство, теорема.


Похожие статьи

Вариации на тему неравенства Эрдёша-Морделла и понятие...

Применим неравенство леммы к точке М1, симметричной к точке М относительно

Теорема. ( [II], стр.68). Вещественная функция , определённая на множестве А Rn, удовлетворяет условию.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

Это неравенство в сочетании с теоремой 1 позволяет установить другое ограничение на число . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть

Применение метода рационализации при решении нестандартных...

Пример 1. Решите неравенство: . [2]. Решение: применяя метод рационализации, приведем неравенство к системе (рис.2)

Методическая разработка по математике. Тема: «Решение...»

Необходимо пользоваться следующей теоремой: Показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x), если a > 1 (т. е. знак не меняется, если функция y...

Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...

. Используя неравенство находим основное неравенство теоремы

Для разделённых разностей (9) при получим одно важное соотношение. Лемма 2. Пусть .

Теорема о мощности множества, содержащего необходимое...

Результаты исследования были сформулированы в виде следующей теоремы: Теорема.

Покажем, что неравенство выполняется для n = k + 1.

Теорема Карамата и её применение в аддитивных задачах

Согласно теореме Карамата [2], при. , откуда следует, что &# ; правильно меняющаяся функция

Применим неравенство Романова-Эрдеша к множеству целых точек (u,&# ;), где .

Характеристическое свойство показательной прогрессии или новое...

Теорема 2. Пусть даны числа , каждое из которых больше единицы. Тогда выполняется следующее неравенство

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик.

Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств».

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые из них заслуживают определённого внимания...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Вариации на тему неравенства Эрдёша-Морделла и понятие...

Применим неравенство леммы к точке М1, симметричной к точке М относительно

Теорема. ( [II], стр.68). Вещественная функция , определённая на множестве А Rn, удовлетворяет условию.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

Это неравенство в сочетании с теоремой 1 позволяет установить другое ограничение на число . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть

Применение метода рационализации при решении нестандартных...

Пример 1. Решите неравенство: . [2]. Решение: применяя метод рационализации, приведем неравенство к системе (рис.2)

Методическая разработка по математике. Тема: «Решение...»

Необходимо пользоваться следующей теоремой: Показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x), если a > 1 (т. е. знак не меняется, если функция y...

Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...

. Используя неравенство находим основное неравенство теоремы

Для разделённых разностей (9) при получим одно важное соотношение. Лемма 2. Пусть .

Теорема о мощности множества, содержащего необходимое...

Результаты исследования были сформулированы в виде следующей теоремы: Теорема.

Покажем, что неравенство выполняется для n = k + 1.

Теорема Карамата и её применение в аддитивных задачах

Согласно теореме Карамата [2], при. , откуда следует, что &# ; правильно меняющаяся функция

Применим неравенство Романова-Эрдеша к множеству целых точек (u,&# ;), где .

Характеристическое свойство показательной прогрессии или новое...

Теорема 2. Пусть даны числа , каждое из которых больше единицы. Тогда выполняется следующее неравенство

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик.

Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств».

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые из них заслуживают определённого внимания...

Задать вопрос