Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №14 (148) апрель 2017 г.

Дата публикации: 10.04.2017

Статья просмотрена: 7 раз

Библиографическое описание:

Уркен Г. А., Акишев Г. А. Соотношение между усредненными модулями гладкости функции в разных метриках // Молодой ученый. — 2017. — №14. — С. 3-6. — URL https://moluch.ru/archive/148/41118/ (дата обращения: 20.04.2018).



Пусть , измеримая -периодическая функция . Множество всех измеримых, - периодических функций для которых

,,

называют весовым пространством Лебега и обозначается. В этом пространстве норма вычисляется

.

Пусть . Весовая функция , если существует число такая, что для любого интервала выполняется неравенство

,

где — длина интервала .

Если , то положим

,,,

,,

Для функции усредненный модуль гладкость порядка определяется по формуле [2, с.683].

,.

Известно, что - неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция и

,.

Пусть - множество тригонометрических полиномов порядка не выше . Наилучшее приближение функции множеством определяется по формуле

,

Известно следующее утверждение.

Теорема 1 ([2]). Пусть , и , . Тогда для функции справедлива оценка

.

Далее, рассмотрим пространство в случае ,, и обозначим как .

Теорема 2 ([3, с.46]). Пусть ; . Если ,

,(1)

то имеет место неравенство

.(2)

Замечание. В случае теорема 2 доказана П. Л. Ульяновым [4,с.104].

Теорема 3. Пусть ,. Если и выполнено условие (1) то и

.(3)

Доказательство. Пусть и выполнено условие (1). Тогда по теореме 1 функция . Докажем оценку (3). По теореме 1 и неравенству (2) имеем

(4)

где .

Применяя неравенство , , имеем

(5)

В силу оценки

из неравенств (4) и (5) получим

. (6)

Если , то меняя порядок суммирования имеем

Поэтому из неравенства (6) получим

в случае , т.е .

Литература:

  1. Muckenhoupt B. Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function,Trans.Amer.Math.Soc. -1972, № 165.- P.207–226.
  2. Guven A., Israfilov D. M. Improved Inverse Theorems in Weighted Lebesgue and Smirnov Spaces.Bull.Belg.Math.Soc.Simon Stevin.- 2007, № 14.- P.681–692.
  3. Смаилов Е. С., Каримов С. К. Весовые аналоги одной теоремы вложения П. Л. Ульянова // Сб.Математические исследования. — Караганда, 1976.-Вып. 3.- C. 46–50.
  4. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках //Мат.сб., 1970.- Т.81.- № 1.- C.104–131.
Основные термины (генерируются автоматически): разных метриках, модулями гладкости функции, весовым пространством Лебега, Наилучшее приближение функции, тригонометрических полиномов порядка, функции справедлива оценка, теоремы вложения П, -периодическая функция, Весовая функция, пространстве норма, Уркен Г, Молодой ученый, Акишев Г, периодических функций, следующее утверждение, модулями непрерывности, Теоремы вложения, Весовые аналоги.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос