Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом
Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 августа, печатный экземпляр отправим 11 августа.

Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом

Поделиться в социальных сетях
63 просмотра
Библиографическое описание

Турдиев, Х. Х. Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом / Х. Х. Турдиев, М. И. Ахророва. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 9 (143). — С. 7-10. — URL: https://moluch.ru/archive/143/39625/ (дата обращения: 29.07.2021).



Ключевые слова: спектральный оператор Дирака, периодический потенциал, экспоненциально убывающий, периодические функции

Рассмотрим следующий оператор Дирака

(1)

где и периодическая непрерывные действительные функции, а комплексный параметр.

Пусть последовательности непересекающихся интервалов являются лакунами оператора Дирака (1).

Введём решения уравнения (1)

удовлетворяющие начальным условиям:

Обозначим через , собственные значения задачи Дирихле для системы уравнений (1).

Справедливы следующие оценки (см.1)

, ,

Определение. Последовательность чисел и спектральные параметры называются спектральными данными оператора Дирака (1).

Как известно (см.2) коэффициенты оператора (1), т. е. периодические функции и однозначно восстанавливаются по спектральным данным.

Теорема 1. Если — периодический потенциал оператора Дирака (1), имеющий спектр

и спектральные параметры , то для любого действительного параметра , оператор Дирака с потенциалом имеет тот же спектр, и спектральные параметры удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Дубровина-Трубовица

(2)

а также начальным условиям

(3)

где корни понимаются в арифметическом смысле и знак изменяется на противоположный при каждом столкновении точки с границами лакуны .

При помощи системы уравнений Дубровина-Трубовица изучается связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов и оператора Дирака:

Теорема 2. Если и периодические действительные функции из класса и длины лакун экспоненциально убывают, т. е. если существуют постоянные числа для которых при любых целых то и является действительными аналитическими функциями на всей прямой.

Доказательство. По условию теоремы , (). Положим где .

Покажем, что при значение находится в круге .

Действительно,

Рассмотрим множество комплексных последовательностей с действительной частью из пространства и мнимой частью

В частности при вектор-функция является действительной, аналитической и формулы первого следа:

аналитична в окрестности точки Если вместо граничных условий рассмотреть граничные условия

(4)

то вышеизложенным методом можно получить аналитичность собственных значений задачи и в точке .

Вычитая формулы второго следа

друг от друга выводим аналитичность в точке

Рассмотрев вместо системы (1) систему:

где действительное фиксированное число, получим аналитичность функций и в точке

Значит функции и аналитичны в точке .

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Если и действительные аналитические периодические функции, то длины лакун убывают экспоненциально.

Литература:

  1. Мисюра Т. В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I, II. //сб. «Теория функций, функц. анализ и их приложения», Харьков, 1978,вып. 30, с. 90–101, 1979, вып. 31 стр. 102–109.
  2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. Изв. «Наука», 1984, 289 с.
  3. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

основные термины

генерируются автоматически
спектральный оператор Дирака, периодический потенциал, экспоненциально убывающий, периодические функции
Похожие статьи
Шарипова Наргиза Холиковна
Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций многих переменных
Математика
2018
Семенов Иван Евгеньевич
Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов аппроксимации функции в контактных задачах для цилиндра
Математика
2017
Хакимова Шохиста Раимовна
Лакуны как лингвистическое явление
Филология, лингвистика
2014
Мустафоева Зарина Эркин кизи
Существенный спектр модельного трехчастичного оператора Шредингера на решетке
Математика
2017
Расулов Тулкин Хусенович
О достаточном условии конечности числа собственных значений двухканальной молекулярно-резонансной модели
Математика
2015
Расулов Тулкин Хусенович
Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке
Математика
2015
Карахтанов Дмитрий Сергеевич
Использование алгоритмов нечеткого поиска при решении задачи устранения дубликатов в массивах данных
Информационные технологии
2010
Халлокова Ойгул Олимовна
Условия существования собственных значений одной операторной матрицы 2х2
Математика
2015
Рашидов Анваржон Шарипович
Пороговое собственное значение модели Фридрихса
Математика
2015
публикация
№9 (143) март 2017 г.
дата публикации
март 2017 г.
рубрика
Математика
язык статьи
Русский
Опубликована
Похожие статьи
Шарипова Наргиза Холиковна
Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций многих переменных
Математика
2018
Семенов Иван Евгеньевич
Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов аппроксимации функции в контактных задачах для цилиндра
Математика
2017
Хакимова Шохиста Раимовна
Лакуны как лингвистическое явление
Филология, лингвистика
2014
Мустафоева Зарина Эркин кизи
Существенный спектр модельного трехчастичного оператора Шредингера на решетке
Математика
2017
Расулов Тулкин Хусенович
О достаточном условии конечности числа собственных значений двухканальной молекулярно-резонансной модели
Математика
2015
Расулов Тулкин Хусенович
Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке
Математика
2015
Карахтанов Дмитрий Сергеевич
Использование алгоритмов нечеткого поиска при решении задачи устранения дубликатов в массивах данных
Информационные технологии
2010
Халлокова Ойгул Олимовна
Условия существования собственных значений одной операторной матрицы 2х2
Математика
2015
Рашидов Анваржон Шарипович
Пороговое собственное значение модели Фридрихса
Математика
2015