Пространство Фока и его обрезанные подпространства | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Мансурова Л. К., Шарипова М. С., Остонов Ж. Б. Пространство Фока и его обрезанные подпространства // Молодой ученый. — 2017. — №6. — С. 22-23. — URL https://moluch.ru/archive/140/39122/ (дата обращения: 21.10.2018).



Пусть — измеримое множество, –декартово произведение, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Обозначим

,

,

,

.

Тогда

,

.

Определение. Гильбертово пространство называется пространством Фока, а гильбертово пространство называется обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Теперь определим скалярное произведение двух элементов и норма элемента в пространствах и .

Утверждение 1. Если

,

то их скалярное произведение определяется по равенству:

,

где –есть скалярное произведение в гильбертовом пространстве , т. е.

,

.

Утверждение 2. Для любых произвольных элементов

имеет место равенство

.

Пример 1. Пусть , и

,

где координаты определены следующим образом:

,

.

Тогда

.

Утверждение 3. Норма любого элемента определяется следующим образом:

,

где норма в гильбертовом пространстве , т. е.

,

..

Утверждение 4. Для любого элемента его норма определяется по правилу

.

Пример 2. Пусть , и

,

где координаты определены следующим образом:

.

Тогда

,

,

.

Поэтому

.

Если , то гильбертово пространство называется стандартное пространство Фока [1,2] над пространством и обычно обозначается через :

.

В этом случае, гильбертово пространство , т. е.

называется обрезанным подпространством пространства Фока, состоящей из одночастичного, двухчастичного, …, –частичного подпространства фоковского пространства. Если рассмотрим симметричные функции [2], то получается стандартное бозонное пространства Фока, в случае антисимметричных функций получается стандартное фермионное пространства Фока.

Литература:

  1. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. –М.: Мир. 1982, –430 С.
  2. R. A. Minlos, H.Spohn. The three-body problem in radioactive decay: The case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, V. 177, eds. R. L. Dobrushin, R. A. Minlos, M. A. Shubin, A. M. Vershik, AMS, Providence, RI, 1996, P. 159–193.
Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, пространство Фока, скалярное произведение.


Похожие статьи

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Пусть - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

, их скалярное произведение определяется по равенству

О достаточном условии конечности числа собственных значений...

Пусть — двухканальное гильбертово пространства, состоящее из одномерного гильбертово пространства (канал 1) и ядерного гильбертово пространства

. Рассмотрим гамильтониан , действующий в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица.

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Пусть — гильбертово пространство - мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

. Пусть , — скалярное произведение и норма в , , соответственно.

Гильбертово пространство обычно называется двухчастичным обрезанным подпространством фоковского пространства.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

Пусть - гильбертово пространство -мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения

и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть и -скалярное произведение и норма в , соответственно.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Пусть комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество.

Всюду в работе под и понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Пусть - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

, их скалярное произведение определяется по равенству

О достаточном условии конечности числа собственных значений...

Пусть — двухканальное гильбертово пространства, состоящее из одномерного гильбертово пространства (канал 1) и ядерного гильбертово пространства

. Рассмотрим гамильтониан , действующий в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица.

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Пусть — гильбертово пространство - мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

. Пусть , — скалярное произведение и норма в , , соответственно.

Гильбертово пространство обычно называется двухчастичным обрезанным подпространством фоковского пространства.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

Пусть - гильбертово пространство -мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения

и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть и -скалярное произведение и норма в , соответственно.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Пусть комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество.

Всюду в работе под и понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

Задать вопрос