Модель Фридрихса и ее спектр | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №5 (139) февраль 2017 г.

Дата публикации: 26.01.2017

Статья просмотрена: 43 раза

Библиографическое описание:

Ганиев М. М. Модель Фридрихса и ее спектр // Молодой ученый. — 2017. — №5. — С. 551-553. — URL https://moluch.ru/archive/139/38634/ (дата обращения: 22.08.2018).



Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектра модели Фридрихса [1–3].

Введем оператор модели Фридрихса, действующий в , как

,

где операторы и определяются по правилам

,

.

Здесь –положительное действительное число, а функция имеет вид

,

.

При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в .

В настоящей работе изучаем некоторые спектральные свойства модели Фридрихса .

Возмущение оператора является самосопряженным одномерным оператором. Из известной теоремы Вейля [4] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

,

где числа и определяются равенствами

,

.

Следовательно,

.

Пусть –комплексная плоскость. Для любого определим аналитическую функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором ):

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Теорема 1. При каждом фиксированном оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть число есть собственное значение оператора , а –соответствующая собственная функция. Тогда функция удовлетворяет уравнению

. (1)

Заметим, что для любых и имеет место соотношение . Тогда из уравнения (1) для имеем

, (2)

где

. (3)

Подставляя выражение (2) для в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

,

т. е. когда

.

Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 вытекает следующее:

.

Из определения функции видно, что при всех имеет место неравенство . В силу теоремы 1 это означает, что для любого оператор не имеет собственных значений в интервале . Из монотонности функции в интервале имеем, что для любого оператор имеет не более одного собственного значения в интервале . Если при некотором , то оператор имеет единственное простое собственное значение в интервале .

Литература:

  1. Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды мат. инс-та АН СССР, Т. 73, М.: Наука, 1964, С. 292–313.
  2. Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. ТМФ, 1979, Т. 2, № 2. С. 230–243.
  3. Е. М. Дынкин, С. Н. Набако, С. И. Яковлев. Границы конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. Т. 3, № 2, 1991, С. 77–90.
  4. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, оператор, собственное значение, собственное значение оператора.


Похожие статьи

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение...

Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где.

Доказательство. Пусть собственное значение оператора...

Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора . Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, вектор–функция , где , а определен по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора...

Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром...

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Множество называется существенным спектром оператора .

Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное . Теперь сформулируем основной результат работы.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не

в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение...

Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где.

Доказательство. Пусть собственное значение оператора...

Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора . Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, вектор–функция , где , а определен по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора...

Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром...

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Множество называется существенным спектром оператора .

Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное . Теперь сформулируем основной результат работы.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не

в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение...

Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где.

Доказательство. Пусть собственное значение оператора...

Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора . Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, вектор–функция , где , а определен по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора...

Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром...

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Множество называется существенным спектром оператора .

Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное . Теперь сформулируем основной результат работы.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не

в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение...

Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где.

Доказательство. Пусть собственное значение оператора...

Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора . Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение...

При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, вектор–функция , где , а определен по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора...

Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром...

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Множество называется существенным спектром оператора .

Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное . Теперь сформулируем основной результат работы.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не

в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.

Задать вопрос