Модель Фридрихса и ее спектр | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №5 (139) февраль 2017 г.

Дата публикации: 26.01.2017

Статья просмотрена: 42 раза

Библиографическое описание:

Ганиев М. М. Модель Фридрихса и ее спектр // Молодой ученый. — 2017. — №5. — С. 551-553. — URL https://moluch.ru/archive/139/38634/ (дата обращения: 26.05.2018).



Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектра модели Фридрихса [1–3].

Введем оператор модели Фридрихса, действующий в , как

,

где операторы и определяются по правилам

,

.

Здесь –положительное действительное число, а функция имеет вид

,

.

При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в .

В настоящей работе изучаем некоторые спектральные свойства модели Фридрихса .

Возмущение оператора является самосопряженным одномерным оператором. Из известной теоремы Вейля [4] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

,

где числа и определяются равенствами

,

.

Следовательно,

.

Пусть –комплексная плоскость. Для любого определим аналитическую функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором ):

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Теорема 1. При каждом фиксированном оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть число есть собственное значение оператора , а –соответствующая собственная функция. Тогда функция удовлетворяет уравнению

. (1)

Заметим, что для любых и имеет место соотношение . Тогда из уравнения (1) для имеем

, (2)

где

. (3)

Подставляя выражение (2) для в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

,

т. е. когда

.

Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 вытекает следующее:

.

Из определения функции видно, что при всех имеет место неравенство . В силу теоремы 1 это означает, что для любого оператор не имеет собственных значений в интервале . Из монотонности функции в интервале имеем, что для любого оператор имеет не более одного собственного значения в интервале . Если при некотором , то оператор имеет единственное простое собственное значение в интервале .

Литература:

  1. Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды мат. инс-та АН СССР, Т. 73, М.: Наука, 1964, С. 292–313.
  2. Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. ТМФ, 1979, Т. 2, № 2. С. 230–243.
  3. Е. М. Дынкин, С. Н. Набако, С. И. Яковлев. Границы конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. Т. 3, № 2, 1991, С. 77–90.
  4. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, оператор, собственное значение, собственное значение оператора.


Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос