Решение задачи методом многих масштабов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №4 (138) январь 2017 г.

Дата публикации: 29.01.2017

Статья просмотрена: 130 раз

Библиографическое описание:

Фатеев Д. С., Сабурова В. И. Решение задачи методом многих масштабов // Молодой ученый. — 2017. — №4. — С. 114-118. — URL https://moluch.ru/archive/138/38997/ (дата обращения: 16.07.2018).



Задача:

Исследовать асимптотическими методами решение с начальными данными , . Привести соответствующий численный счет при малом значении , сравнить полученное асимптотическое решение с численным решением.

Решение:

Дано уравнение:

Разложим искомую функцию u в ряд по степеням

Сгруппируем слагаемые по степеням :

Решением получившегося уравнения с начальными условиями , является функция гармонического осциллятора, которую запишем в виде:

, где - время.

Правая часть:

Обозначим:

Упростим правую часть:

Для того чтобы не происходил резонанс, необходимо исключить члены и той же частоты, что и гармонический осциллятор.

Получаем систему:

Решаем дифференциальные уравнения:

Итак, выпишем итоговый результат:

Ответ:

Фазовый портрет

Для построения фазового портрета используем пакет MatLab для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приводим наше уравнение к системе:

Пишем вспомогательную функцию для ode45:

function f=system(t,y)

eps = 0.3;

f=[y(2); -y(1) - eps*(y(2) - (y(1))^3)];

end

Cкрипт Матлаба, строящий фазовый портрет:

clear;

eps=0.1;

grid on

hold on

options = odeset('RelTol',10e-10);

xrange=5;

yrange=5;

step=1;

xx=-xrange:step:xrange;

yy=-yrange:step:yrange;

for i=1:length(xx)

for j=1:length(yy)

[T,Y]=ode45(@system,[0 50],[xx(i) yy(j)],options);

hLine2=plot(Y(:,1),Y(:,2),'b-')

end

end

axis([-xrange xrange -yrange yrange])

xlabel('U')

ylabel('V')

title(['Фазовый портрет при \epsilon =',num2str(eps)])

Решение при сходится к нулю.

Графики решений:

[t,y]=ode45(@system,[0 100],[1,0]);

plot(t,y(:,1),'r-');

grid on

hold on

C=1;

C1 =-3/8;

u=(C.*exp(-eps.*t./2).*(cos(t+(C^2).*exp(-eps.*t).*3/8+C1)));

plot(t,u);

xlabel('t');

ylabel('U');

title(['Численное и аналитическое решения при \epsilon = ',num2str(eps)]);

legend('Численное','Аналитическое');

Численное и аналитическое решения практически совпадают. Вывод — поставленная задача решена.

Литература:

  1. Зорич В. А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.I. — 1997, 568с.; Ч.II. — 1984, 640с.
  2. Максименко В. Н., Меграбов А. Г., Павшок Л. В. Курс математического анализа: учебное пособие Ч.I. — 2009, 345с.;
  3. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. ISBN: 985–6642–06-X. Издательство «Вассамедина» 2005г. 520 с.
Основные термины (генерируются автоматически): Фазовый портрет, аналитическое решение, гармонический осциллятор, правая часть, численное решение.


Похожие статьи

Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание: Джиянов Т. О., Хотамов О. Ю. Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной среде с

Получено аналитическое решение задачи, которое использовано для описания результатов ранее проведенных экспериментов [2].

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального...

Проблеме численного решения задач оптимизации химико-технологических процессов уделяют особое внимание [1]. Во многих практических задачах правые части уравнений математической модели процессов имеют сложный вид...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Кроме того, способность метода придает ему более широкое применение в обработке огромное количество аналитические и численные приложения.

Целью данной работы является применить МВИ к решению линейных и нелинейных ОДУ с переменными коэффициентами из...

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Изучение численных методов решения нелинейных уравнений с частными производными пользуется интенсивный период деятельности в течение последних 50 лет с теоретической и практической точек зрения.

Реализация численного алгоритма метода вариаций...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Аналитическое решение данной задачи представлено в [2].

На рис. 5 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Решение трехмерного уравнения Пуассона с использованием...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание: Магденко Р. П., Гилева Л. В

Численное решение уравнения Пуассона.

Решение нелинейных задач методом многих масштабов с использованием математического пакета MatLab при построении фазового портрета.

Решение изопериметрической пространственной задачи методами...

В настоящее время разработано большое количество численных методов решения задач оптимального управления и нелинейного программирования и работа по их созданию и совершенствованию продолжается [7]-[11].

фазовых ограничениях

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

. (5). После этого найденное решение подставляется в вектор дополнительных узловых сил (4), который прибавляется к правым частям уравнений системы.

Литература: 1. Решетникова Е. В. Численно-аналитическое моделирование статики, устойчивости и колебаний...

Нелинейные колебания резиновой мембраны | Статья в журнале...

Нелинейные уравнения. Всамом общем случае построить аналитическое решение для уравнений динамики (7) не удается. Поэтому для нахождения решения при заданных граничных и начальных условиях использовались численные методы [16, 24, 25].

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание: Джиянов Т. О., Хотамов О. Ю. Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной среде с

Получено аналитическое решение задачи, которое использовано для описания результатов ранее проведенных экспериментов [2].

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального...

Проблеме численного решения задач оптимизации химико-технологических процессов уделяют особое внимание [1]. Во многих практических задачах правые части уравнений математической модели процессов имеют сложный вид...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Кроме того, способность метода придает ему более широкое применение в обработке огромное количество аналитические и численные приложения.

Целью данной работы является применить МВИ к решению линейных и нелинейных ОДУ с переменными коэффициентами из...

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Изучение численных методов решения нелинейных уравнений с частными производными пользуется интенсивный период деятельности в течение последних 50 лет с теоретической и практической точек зрения.

Реализация численного алгоритма метода вариаций...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Аналитическое решение данной задачи представлено в [2].

На рис. 5 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Решение трехмерного уравнения Пуассона с использованием...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание: Магденко Р. П., Гилева Л. В

Численное решение уравнения Пуассона.

Решение нелинейных задач методом многих масштабов с использованием математического пакета MatLab при построении фазового портрета.

Решение изопериметрической пространственной задачи методами...

В настоящее время разработано большое количество численных методов решения задач оптимального управления и нелинейного программирования и работа по их созданию и совершенствованию продолжается [7]-[11].

фазовых ограничениях

Геометрическая нелинейность в задаче расчета...

. (5). После этого найденное решение подставляется в вектор дополнительных узловых сил (4), который прибавляется к правым частям уравнений системы.

Литература: 1. Решетникова Е. В. Численно-аналитическое моделирование статики, устойчивости и колебаний...

Нелинейные колебания резиновой мембраны | Статья в журнале...

Нелинейные уравнения. Всамом общем случае построить аналитическое решение для уравнений динамики (7) не удается. Поэтому для нахождения решения при заданных граничных и начальных условиях использовались численные методы [16, 24, 25].

Задать вопрос