Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №4 (138) январь 2017 г.

Дата публикации: 29.01.2017

Статья просмотрена: 94 раза

Библиографическое описание:

Фатеев Д. С., Сабурова В. И. Решение задачи методом многих масштабов // Молодой ученый. — 2017. — №4. — С. 114-118. — URL https://moluch.ru/archive/138/38997/ (дата обращения: 22.05.2018).



Задача:

Исследовать асимптотическими методами решение с начальными данными , . Привести соответствующий численный счет при малом значении , сравнить полученное асимптотическое решение с численным решением.

Решение:

Дано уравнение:

Разложим искомую функцию u в ряд по степеням

Сгруппируем слагаемые по степеням :

Решением получившегося уравнения с начальными условиями , является функция гармонического осциллятора, которую запишем в виде:

, где - время.

Правая часть:

Обозначим:

Упростим правую часть:

Для того чтобы не происходил резонанс, необходимо исключить члены и той же частоты, что и гармонический осциллятор.

Получаем систему:

Решаем дифференциальные уравнения:

Итак, выпишем итоговый результат:

Ответ:

Фазовый портрет

Для построения фазового портрета используем пакет MatLab для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приводим наше уравнение к системе:

Пишем вспомогательную функцию для ode45:

function f=system(t,y)

eps = 0.3;

f=[y(2); -y(1) - eps*(y(2) - (y(1))^3)];

end

Cкрипт Матлаба, строящий фазовый портрет:

clear;

eps=0.1;

grid on

hold on

options = odeset('RelTol',10e-10);

xrange=5;

yrange=5;

step=1;

xx=-xrange:step:xrange;

yy=-yrange:step:yrange;

for i=1:length(xx)

for j=1:length(yy)

[T,Y]=ode45(@system,[0 50],[xx(i) yy(j)],options);

hLine2=plot(Y(:,1),Y(:,2),'b-')

end

end

axis([-xrange xrange -yrange yrange])

xlabel('U')

ylabel('V')

title(['Фазовый портрет при \epsilon =',num2str(eps)])

Решение при сходится к нулю.

Графики решений:

[t,y]=ode45(@system,[0 100],[1,0]);

plot(t,y(:,1),'r-');

grid on

hold on

C=1;

C1 =-3/8;

u=(C.*exp(-eps.*t./2).*(cos(t+(C^2).*exp(-eps.*t).*3/8+C1)));

plot(t,u);

xlabel('t');

ylabel('U');

title(['Численное и аналитическое решения при \epsilon = ',num2str(eps)]);

legend('Численное','Аналитическое');

Численное и аналитическое решения практически совпадают. Вывод — поставленная задача решена.

Литература:

  1. Зорич В. А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.I. — 1997, 568с.; Ч.II. — 1984, 640с.
  2. Максименко В. Н., Меграбов А. Г., Павшок Л. В. Курс математического анализа: учебное пособие Ч.I. — 2009, 345с.;
  3. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. ISBN: 985–6642–06-X. Издательство «Вассамедина» 2005г. 520 с.
Основные термины (генерируются автоматически): асимптотическими методами решение, соответствующий численный счет, учебное пособие Ч.i, Курс математического анализа, гармонический осциллятор, асимптотическое решение, начальными данными, численным решением, малом значении, научных вычислениях, Математический анализ.


Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос